2.2等差数列的前n项和（第2课时）等差数列前n项和的性质 学案（含答案）

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1、第2课时等差数列前n项和的性质学习目标1.会利用等差数列性质简化求和运算.2.会利用等差数列前n项和的函数特征求最值知识点一等差数列an的前n项和Sn的性质性质1等差数列中依次k项之和Sk，S2kSk，S3kS2k，组成公差为k2d的等差数列性质2若等差数列的项数为2n(nN)，则S2nn(anan1)，S偶S奇nd，(S奇0)；若等差数列的项数为2n1(nN)，则S2n1(2n1)an(an是数列的中间项)，S奇S偶an，(S奇0)性质3an为等差数列为等差数列知识点二等差数列an的前n项和公式与函数的关系将等差数列前n项和公式Snna1d整理成关于n的函数可得Snn2n.知识点三等差数列前

2、n项和的最值(1)在等差数列an中，当a10，d0时，Sn有最大值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定；当a10时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定(2)因为Snn2n，若d0，则从二次函数的角度看：当d0时，Sn有最小值；当d0，由得又nN，当n13时，Sn有最大值169.方法三同方法一，求出公差d2.S9S17，a10a11a170.由等差数列的性质得a13a140.a130，a140，d0，则Sn存在最大值，即所有非负项之和若a10，则Sn存在最小值，即所有非正项之和(2)求等差数列前n项和Sn的最值：寻找正、负项的分界点，可利用等差数列的性质或利用或来寻找；运用二次函数

3、求最值跟踪训练2已知等差数列an中，a19，a4a70.(1)求数列an的通项公式；(2)当n为何值时，数列an的前n项和取得最大值？解(1)由a19，a4a70，得a13da16d0，解得d2，ana1(n1)d112n.(2)方法一由(1)知，a19，d2，Sn9n(2)n210n(n5)225，当n5时，Sn取得最大值方法二由(1)知，a19，d20，n6时，an0，Tn|a1|a2|an|a1a2anna1d13n(4)15n2n2；当n5时，an0，Tn|a1|a2|an|a1a2anSnn210n.当n6时，an0，Tn|a1|a2|an|a1a2a5a6a7an2S5Sn2(52

4、105)(n210n)n210n50，故Tn用数形结合思想求解数列中的参数问题典例在等差数列an中，a17，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n8时Sn取得最大值，求d的取值范围解方法一由当且仅当n8时Sn最大，知a80且a90，于是解得1d，故d的取值范围为.方法二Snn2n.对称轴x，当n8时，Sn取得最大值7.58.5，即80，d0或a10)中，andn(a1d)，其图像为ydx(a1d)上的一系列点，要求Sn的最大(小)值，只需找出距x轴最近的两个点；Snn2n，其图像为yx2x上的一系列点要求Sn的最大(小)值，只需找出距对称轴最近的点.1设Sn是等差数列an的前n项和，已知a23，

5、a611，则S7等于()A13 B35 C49 D63答案C解析S749.2已知等差数列an中，a1 0123，S2 0172 017，则S2 020等于()A2 020 B2 020 C4 040 D4 040答案D解析由等差数列前n项和公式结合等差数列的性质可得，S2 0172 0172 0172 017a1 0092 017，则a1 0091，据此可得，S2 0202 0201 0101 01044 040.3设等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9等于()A63 B45 C36 D27答案B解析a7a8a9S9S6，而由等差数列的性质可知，S3，S6S3，S9S6构成等差数列，所以S3(S9S6)2(S6S3)，即a7a8a9S9S62S63S32363945.4已知等差数列an的前n项和为Sn,7a55a90，且a9a5，则Sn取得最小值时n的值为_答案6解析由7a55a90，得.又a9a5，所以d0，a10，a1a2a3a4a5a60，a70，d0，时，Sn取得最大值；当a10，时，Sn取得最小值3求等差数列an前n项的绝对值之和，关键是找到数列an的正负项的分界点