2.1等差数列（第1课时）等差数列的概念及通项公式 学案（含答案）

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1、2等差数列21等差数列第1课时等差数列的概念及通项公式学习目标1.理解等差数列的定义.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题知识点一等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，公差通常用字母d表示，可正可负可为零(1)求公差d时，可以用danan1(n2，nN)或dan1an(nN)(2)对于公差d，当d0时，数列为常数列；当d0时，数列为递增数列；当d0，则该数列为递增数列()4若三个数a，b，c满足2bac，则a，b，c一定成等差数列()题型一等差数列的概念例1判断下

2、列数列是不是等差数列(1)9,7,5,3，2n11，；(2)1,11,23,35，12n13，；(3)1,2,1,2，；(4)1,2,4,6,8,10，；(5)a，a，a，a，a，.解由等差数列的定义得(1)，(2)，(5)为等差数列，(3)，(4)不是等差数列反思感悟判断一个数列是不是等差数列，就是判断该数列的每一项减去前一项的差是否为同一个常数，但当数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证an1an(n1，nN)是不是一个与n无关的常数跟踪训练1(1)数列an的通项公式an2n5，则此数列()A是公差为2的等差数列B是公差为5的等差数列C是首项为5的等差数列D是公差为n的

3、等差数列答案A解析an1an2(n1)5(2n5)2，an是公差为2的等差数列(2)下列数列中，递增的等差数列有()1,3,5,7,9；2,0，2,0，6,0，；，；0,0,0,0，1，1.A1个 B2个 C3个 D4个答案C解析等差数列有，其中递增的为，共3个，为常数列题型二等差数列通项公式的求法例2在等差数列an中，已知a612，a1836，求通项公式an.解由题意可得解得d2，a12.an2(n1)22n，nN.反思感悟根据已知量和未知量之间的关系，列出方程(组)求解的思想方法，称为方程思想跟踪训练2在等差数列an中，(1)若a211，a85，求a10.(2)若a515，a1739，试判

4、断91是否为此数列中的项解(1)设an的公差为d，则解得an12(n1)(1)13n，所以a1013103.(2)因为解得所以an72(n1)2n5.令2n591，得n43.因为43为正整数，所以91是此数列中的项题型三等差数列的实际应用例3某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，那么需要支付多少车费？解根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元所以，可以建立一个等差数列an来计算车费令a111.2，表示4 km处的车费，公差d1.2，那么当出

5、租车行至14 km处时，n11，此时a1111.2(111)1.223.2.即需要支付车费23.2元反思感悟在实际问题中，若一组数依次成等数额增长或下降，则可考虑利用等差数列方法解决在利用数列方法解决实际问题时，一定要确认首项、项数等关键因素跟踪训练3在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值如果1 km高度的气温是8.5，5 km高度的气温是17.5，求2 km，4 km,8 km高度的气温解用an表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a18.5，a517.5，由a5a14d8.54d17.5，解得d6.5，an156.5n(1n10，nN)a22，

6、a411，a837，即2 km,4 km,8 km高度的气温分别为2，11，37.等差数列的证明典例1已知数列an满足a14，an4(n2)，记bn.(1)求证：数列bn是等差数列；(2)求an的通项公式an.(1)证明bn1bn.又b1，数列bn是首项为，公差为的等差数列(2)解由(1)知：bn(n1)n，an2(nN)典例2已知数列an：a1a21，anan12(n3)(1)判断数列an是否为等差数列？说明理由；(2)求an的通项公式解(1)当n3时，anan12，即anan12，而a2a10不满足anan12(n3)，an不是等差数列(2)当n2时，an是等差数列，公差为2.当n2时，a

7、n12(n2)2n3，又a11不适合上式，an的通项公式为an素养评析(1)证明一个数列是等差数列的基本方法：定义法，即证明anan1d(n2，d为常数)或an1and(d为常数)，若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可(2)证明一个数列是等差数列，主要的推理形式为演绎推理，通过学习，使学生形成重论据，有条理，合乎逻辑的思维品质，培养学生的数学核心素养1下列数列不是等差数列的是()A1,1,1,1,1 B4,7,10,13,16C.，1， D3，2，1,1,2答案D2已知等差数列an的通项公式an32n，则它的公差d为()A2 B3 C2 D3答案C解析由等差数列的定义，得da2a11

8、12.3在数列an中，a11，an1an2，则a51的值为_答案101解析由条件知，an是等差数列且d2，a51a150d1502101.4在等差数列an中，已知a511，d2，an1，则n_.答案10解析因为a511，d2，所以a14(2)11，所以a119，所以an19(n1)(2)2n21.令2n211，得n10.5等差数列an：3，7，11，的一个通项公式为an_.答案4n1解析a13，da2a17(3)4，所以ana1(n1)d4n1.1判断一个数列是否为等差数列的常用方法：(1)an1and(d为常数，nN)an是等差数列；(2)2an1anan2(nN)an是等差数列；(3)anknb(k，b为常数，nN)an是等差数列但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可2由等差数列的通项公式ana1(n1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量