4.3 简单线性规划的应用 学案（含答案）

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1、4.3简单线性规划的应用学习目标1.体会用线性规划的方法解决实际问题的过程.2.了解整数点最优解的求法.知识点一线性规划在实际中的应用解答线性规划应用题的一般步骤(1)审题仔细阅读，对关键部分进行“精读”，准确理解题意，明确有哪些限制条件，起关键作用的变量有哪些，由于线性规划应用题中的量较多，为了理顺题目中量与量之间的关系，有时可借助表格来理顺.(2)转化设元.写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题.(3)求解解这个纯数学的线性规划问题.(4)作答就应用题提出的问题作出回答.知识点二整数点最优解(1)在实际问题中，有些变量如人数、车辆数等必须取整数.在这样的线性规划问

2、题中，可行域、最优解都会受到影响.(2)寻找整点最优解的三种方法平移找解法：先打网格，描整点，平移直线l，最先经过或最后经过的整点便是最优整点解，这种方法应充分利用非整点最优解的信息，结合精确的作图才行，当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解.小范围搜寻法：即在求出的非整点最优解附近的整点都求出来，代入目标函数，直接求出目标函数的最大(小)值.调整最优值法：先求非整点最优解及最优值，再调整最优值，最后筛选出整点最优解.1.在从实际问题中抽象出约束条件、目标函数时，设谁为x，y都没关系.()2.在约束条件中，有没有“xN，yN”，最优解都一样.()

3、题型一利润最大问题例1某公司计划同时出售电子琴和洗衣机，由于两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力等)确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大，已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于两种产品的有关数据如下表.电子琴(架)洗衣机(台)月供应量成本(百元)3020300劳动力510110单位利润(百元)68/试问：怎样确定两种货的供应量，才能使总利润最大，最大利润是多少？解设电子琴和洗衣机月供应量分别为x架、y台，总利润为z百元，则根据题意，有且z6x8y，作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，令z

4、0，作直线l0：6x8y0，即3x4y0.当移动直线l0平移至过图中的A点时，z6x8y取得最大值，解方程组得A(4,9)，代入z6x8y得zmax648996.所以当供应量为电子琴4架、洗衣机9台时，公司可获得最大利润，最大利润是96百元.反思感悟在把实际问题抽象成线性规划时，要注意找到决策变量，并用决策变量表示每一个约束条件和目标函数.跟踪训练1某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力等限制数据列在下表中，问甲、乙两种货物应各托运多少箱，才能使获得的利润最大？货物体积(m3/箱)重量(50 kg/箱)利润(百元/箱)甲5220乙4510托运限制2413解设甲

5、、乙两种货物应各托运的箱数为x，y，利润为z百元，则目标函数z20x10y，画出可行域如图阴影部分(含边界)所示.由得A(4,1).易知当直线z20x10y平移经过点A时，z取得最大值，即甲、乙两种货物应各托运的箱数分别为4和1时，可获得最大利润.题型二费用最少问题例2某校食堂以面食和米食为主，面食每百克含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元，米食每百克含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元，学校要给学生配制成盒饭，每盒至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，应如何配制盒饭，才既科学又使费用最少？解设每份盒饭中面食x百克，米食y百克，费用z元，则z0.5x0.4y，且x，y满

6、足的约束条件是作出不等式组所表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示：解方程组得A，由图可知，当且仅当直线yxz，过点A时，纵截距z最小，即z最小，故当每份盒饭中面食为百克，米食为百克时，既科学，费用又少.反思感悟有关成本最低，费用最少问题的解题技巧(1)最优解的常见位置：线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得.线性目标函数的最大值、最小值也可能在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个.(2)四舍五入：在解决实际问题时，若最优解要求满足一定的精确度，则要注意不可随意将所求结果进行四舍五入，否则有可能使近似值对应点超出可行域，而导致所求解无意义.跟踪训练2某公司的仓库A存

7、有贷物12吨，仓库B存有货物8吨，现按7吨、8吨和5吨把货物分别调运给甲、乙、丙三个商店，从仓库A运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为8元、6元、9元；从仓库B运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为3元、4元、5元，问应如何安排调运方案，才能使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少？解将实际问题的一般语言翻译成数学语言可得下表(即运费表，单位：元) 商店每吨运费仓库甲乙丙A869B345设仓库A运给甲、乙商店的货物分别为x吨、y吨，则仓库A运给丙商店的货物为(12xy)吨；从而仓库B运给甲、乙、丙商店的货物应分别为(7x)吨，(8y)吨，5(12xy)吨，即(xy7)吨，于是总

8、运费为z8x6y9(12xy)3(7x)4(8y)5(xy7)x2y126.则问题转化为求总运费zx2y126在约束条件即在下的最小值.作出上述不等式组所表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，作出直线l：x2y0，把直线l作平行移动，显然当直线l移动到过点A(0,8)时，在可行域内，zx2y126取得最小值zmin028126110.即x0，y8时，总运费最少.答仓库A运给甲、乙、丙商店的货物分别为0吨、8吨、4吨；仓库B运给甲、乙、丙商店的货物分别为7吨、0吨、1吨，此时，可使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少.整点最优解的求法典例要将两种大小不同的钢板截成A，B，C三种规格，每张

9、钢板可同时截得三种规格小钢板的块数如下表所示；规格类型钢板类型A规格B规格C规格第一种钢板211第二种钢板123今需A，B，C三种规格的成品分别为15,18,27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？解设需第一种钢板x张，第二种钢板y张，钢板总数z张.则目标函数zxy.作出可行域如图阴影部分(含边界)所示，作出直线xy0.作出一组平行直线xyt(其中t为参数).在这些平行直线中，经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，此直线经过直线x3y27和直线2xy15的交点A，直线方程为xy.由于和都不是自然数，而最优解(x，y)中，x，y必须都是自然数，所以可行域内点不

10、是最优解.经过可行域内的整点(横坐标和纵坐标都是整数的点)，且与原点距离最近的直线是xy12.经过的整点是(3,9)和(4,8)，它们是最优解.即截第一种钢板3张，第二种钢板9张或截第一种钢板4张，第二种钢板8张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少.素养评析(1)寻找整点最优解的三种方法平移找解法：先打网格，描整点，平移直线l，最先经过或最后经过的整点便是最优整点解，这种方法应充分利用非整点最优解的信息，结合精确的作图才行，当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解.小范围搜寻法：即在求出的非整点最优解附近的整点都求出来，代入目标函数，直接求出

11、目标函数的最大(小)值.调整最优值法：先求非整点最优解及最优值，再调整最优值，最后筛选出整点最优解.(2)理解运算对象即求整点最优解，掌握运算法则，选择运算方法，求得运算结果，是数学运算的核心素养.1.车间有男工25名，女工20名，要组织甲、乙两种工作小组，甲每组有5名男工，3名女工，乙每组有4名男工，5名女工，并且要求甲种组数不少于乙种，乙种组数不少于1组，则最多各能组成的组数为()A.甲4组、乙2组 B.甲2组、乙4组C.甲、乙各3组 D.甲3组、乙2组答案D解析设甲、乙的组数分别为x，y，则应满足把各选项代入验证可知，只有D符合.2.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产1吨甲产品要用A原料

12、3吨，B原料2吨；生产1吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售1吨甲产品可获得利润5万元，销售1吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是()A.12万元 B.20万元C.25万元 D.27万元答案D解析设生产甲产品x吨，生产乙产品y吨，该企业获得的利润为z万元，则有目标函数z5x3y，作出可行域如图阴影部分(含边界)所示.由得A(3,4)，当直线l0：5x3y0平移至过点A(3,4)时，z取得最大值，故zmax151227.3.一批长400 cm的条形钢材，需要将其截成518 mm与698 mm的两种毛胚，则钢材

13、的最大利用率为_.答案99.65%解析设截518 mm和698 mm的两种毛胚分别为x个、y个(x，yN).由题意知，即求z518x698y的最大值.由得又由z4 000，得当x5，y2时，zmax518569823 986.故利用率为100%99.65%.4.购买8角和2元的邮票若干张，并要求每种邮票至少有两张，如果小明带有10元钱，共有_种买法.答案11解析设购买8角和2元邮票分别为x张、y张，则即2x12,2y5，当y2时，2x15，2x7，有6种；当y3时，2x10，2x5，有4种；当y4时，2x5，2x2，有1种；当y5时，由2x0及x2知无解.综上可知，不同买法有：64111种.5

14、.某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司每天至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为多少元？解设需租赁甲种设备x台，乙种设备y台，则目标函数为z200x300y.作出其可行域(图略)，易知当x4，y5时，z200x300y有最小值2 300.1.解答线性规划实际应用题的步骤(1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法.(2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解.(3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案.2.在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)，应结合可行域与目标函数微调.