第二章 解三角形 章末复习 学案（含答案）

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1、章末复习学习目标1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.能灵活、熟练运用正弦、余弦定理解三角形3能解决三角形与三角变形的综合问题及实际问题1正弦定理及其推论设ABC的外接圆半径为R，则(1)2R.(2)a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C.(3)sin A，sin B，sin C.(4)在ABC中，ABabsin_Asin_B.2余弦定理及其推论(1)a2b2c22bccos_A，b2 c2a22cacos_B，c2a2b22abcos_C.(2)cos A；cos B；cos C.(3)在ABC中，c2a2b2C为直角；c2a2b2C为钝角；c2sin

2、BAB.()2在ABC中，sin 2Asin 2B2A2B.()3在ABC中，若C90，则c.()4在ABC中，absin Asin B()题型一利用正弦、余弦定理解三角形例1如图，在ABC中，ABAC2，BC2，点D在BC边上，ADC45，求AD的长度解在ABC中，ABAC2，BC2，由余弦定理，得cos C，sin C.在ADC中，由正弦定理，得，AD.反思感悟解三角形的一般方法：(1)已知两角和一边，如已知A，B和c，由ABC求C，由正弦定理求a，b.(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a，b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用ABC，求另一角(3)已知两

3、边和其中一边的对角，如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由ABC求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况(4)已知三边a，b，c，可应用余弦定理求A，B，C.跟踪训练1如图，在ABC中，B，AB8，点D在BC边上，CD2，cosADC.(1)求sinBAD；(2)求BD，AC的长解(1)在ADC中，因为cosADC，所以sinADC，所以sinBADsin(ADCB)sinADCcos BcosADCsin B.(2)在ABD中，由正弦定理，得BD3.在ABC中，由余弦定理，得AC2AB2BC22ABBCcos B825228549，所以AC7.题型二与平面几何有关的问题例2

4、如图所示，在平面四边形ABCD中，DAAB，DE1，EC，EA2，ADC，BEC.(1)求sinCED的值；(2)求BE的长解设CED.(1)在CDE中，由余弦定理，得EC2CD2DE22CDDEcosEDC，于是由题设知，7CD21CD，即CD2CD60，解得CD2(CD3舍去)，在CDE中，由正弦定理，得.于是，sin ，即sinCED.(2)由题设知，0，于是由(1)知，cos .而AEB，所以cosAEBcoscoscos sin sin .在RtEAB中，cosAEB，BE4.反思感悟利用正弦、余弦定理解与平面几何有关的问题，关键在于把待求量与已知量转化到同一个三角形中，另外要熟练掌

5、握三角函数的恒等变换在解题中的作用跟踪训练2四边形ABCD的内角A与C互补，AB1，BC3，CDDA2.(1)求C和BD；(2)求四边形ABCD的面积解(1)由题设及余弦定理得BD2BC2CD22BCCDcos C1312cos C，BD2AB2DA22ABDAcos A54cos C由得cos C，故C60，BD.(2)四边形ABCD的面积SABDAsin ABCCDsin Csin 602.题型三实际应用例3如图，已知在东西走向上有AM，BN两个发射塔，且AM100 m，BN200 m，一测量车在塔底M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30，该测量车向北偏西60方向行驶了100 m后

6、到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B的仰角为，且BQA，经计算，tan 2，求两发射塔顶A，B之间的距离解在RtAMP中，APM30，AM100 m，所以PM100 m，连接QM，在PQM中，QPM60，又PQ100 m，所以PQM为等边三角形，所以QM100 m.在RtAMQ中，由AQ2AM2QM2，得AQ200 m.在RtBNQ中，因为tan 2，BN200 m，所以BQ100 m，cos .在BQA中，BA2BQ2AQ22BQAQcos ，所以BA100 m.故两发射塔顶A，B之间的距离是100 m.反思感悟实际应用问题的解决过程实质上就是抽象成几何计算模型的过程，在此过程中注意术语如“北偏

7、西60”、“仰角”的准确翻译，并转换为解三角形所需边、角元素跟踪训练3如图，从无人机A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时无人机的高是60 m，则河流的宽度BC等于()A240(1)m B180(1)mC120(1)m D30(1)m答案C解析如图，在ADC中，CAD903060，AD60 m，所以CDADtan 6060(m)在ABD中，BAD907515，所以BDADtan 1560(2)(m)所以BCCDBD6060(2)120(1)(m)故选C.1在ABC中，若b2sin2Cc2sin2B2bccos Bcos C，则ABC的形状一定是()A等腰直角三角形 B直角

8、三角形C等腰三角形 D等边三角形答案B解析由正弦定理及已知条件，得sin2Bsin2Csin Bsin Ccos Bcos C.sin Bsin C0，sin Bsin Ccos Bcos C，即cos(BC)0，即cos A0，0Aa，CA45，C60或120，满足条件的三角形有2个，即m2.am4.4在等腰三角形ABC中，已知sin Asin B12，底边BC10，则ABC的周长是_答案50解析由正弦定理，得BCACsin Asin B12，又底边BC10，AC20，ABAC20，ABC的周长是10202050.5在ABC中，已知cos A，cos B，b3，则c_.答案解析在ABC中，cos A0，sin A.cos B0，sin B.sin Csin(AB)sin(AB)sin Acos Bcos Asin B.由正弦定理知，c.1在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在ABC中，AB等价于ab等价于sin Asin B.2对所给条件进行变形，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换3正弦定理是一个关于边角关系的连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用运用余弦定理时，要注意整体思想的运用