第三章 不等式 章末复习 学案（含答案）

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1、章末复习学习目标1.整合知识结构，进一步巩固、深化所学知识.2.能熟练利用不等式的性质比较大小、变形不等式、证明不等式.3.体会“三个二次”之间的内在联系在解决问题中的作用.4.会用基本不等式证明不等式，求解最值问题.5.能熟练地运用图解法解决线性规划问题.1.“三个二次”之间的关系所谓三个二次，指的是二次函数图像与x轴的交点横坐标；相应的一元二次方程的实根；一元二次不等式的解集端点.解决其中任何一个“二次”问题，要善于联想其余两个，并灵活转化.2.基本不等式利用基本不等式证明不等式和求最值的区别利用基本不等式证明不等式，只需关注不等式成立的条件.利用基本不等式求最值，需要同时关注三个限制条件

2、：一正；二定；三相等.3.规划问题(1)规划问题的求解步骤把问题要求转化为约束条件；根据约束条件作出可行域；对目标函数变形并解释其几何意义；移动目标函数寻找最优解；解相关方程组求出最优解.(2)关注非线性：确定非线性约束条件表示的平面区域.可类比线性约束条件，以曲线定界，以特殊点定域；常见的非线性目标函数有()，其几何意义为可行域上任一点(x，y)与定点(a，b)连线的斜率；()，其几何意义为可行域上任一点(x，y)与定点(a，b)的距离.1.若ab，则ac2bc2.()2.当a0时，(ax1)(x1)0(x1)0.()3.目标函数zxay，当a0，b0”.()题型一不等式的性质例1(1)若a

3、b0，cd B. D.答案D解析因为cd0，所以0，与ab0对应相乘得，0，所以，故选D.(2)已知2a4,3b8，求ab，的取值范围.解3b8，8b3.又2a4，6ab1.3b8，.又2a4，.综上，6ab1，.反思感悟(1)正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可以加不可以减，可以乘(同正)不可以除.(2)在求范围时，要把已知的范围当成一个整体，去表示未知的范围，再利用不等式的性质求解.跟踪训练1(1)若ab B. C.|a|b| D.a2b2答案A解析ab0，ab0，|a|b|，a2b2，且ab，则选项B，C，D中的不等式都成立.又ab0，则aab，故选A.(2)设，则2的取值范

4、围是()A. B.C.(0，) D.答案D解析由，得0，0，由，得02，2.题型二“三个二次”之间的关系例2设不等式x22axa20的解集为M，如果M1,4，求实数a的取值范围.解M1,4有两种情况：其一是M，此时0，下面分三种情况计算a的取值范围.设f(x)x22axa2，对方程x22axa20，有(2a)24(a2)4(a2a2)，当0时，1a0时，a2.设方程f(x)0的两根为x1，x2，且x1x2，那么Mx1，x2，M1,4等价于1x1x24，即即解得2a，综上可知，当M1,4时，a的取值范围是.反思感悟(1)三个二次之间要选择一个运算简单的方向进行转化.(2)用不等式组来刻画两根的位

5、置体现了数形给合的思想.跟踪训练2若关于x的不等式ax26xa20的解集是(1，m)，则m_.答案2解析因为ax26xa21，由可得题型三不等式恒成立问题例3若不等式x2ax10对于一切x都成立，则a的最小值为()A.0 B.2 C. D.3答案C解析由已知可得不等式a对于一切x成立，又由函数f(x)在x上为增函数，可得f(x)的最大值为f，从而得a的最小值为.反思感悟不等式恒成立求参数问题的解法主要有：(1)分离参数法：若ag(x)恒成立，则ag(x)恒成立，则ag(x)max.(2)数形结合法：利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图像直观化.跟踪训练3若f(x)ax2ax1在R上满足

6、f(x)0，求实数a的取值范围.解(1)当a0时，f(x)10恒成立，故a0符合题意；(2)当a0，由题意得：4a0时，有x2，当x0时，f(x)25.当且仅当x，即x1时等号成立，f(x)在0，)上的最大值是25.(2)函数yx在2，)上是增函数且恒为正，当x2时，f(x)是减函数，且f(2)20.f(x)在2，)上的最大值为20.反思感悟利用基本不等式求最值要满足“一正、二定、三相等”，缺一不可，可以通过拼凑、换元等手段进行变形以构造定值.如“相等”的条件不具备，可以考虑用函数的单调性求解.跟踪训练5求函数yx(x3)的最小值.解yxx33，x3，x30，0，y235.当且仅当x3，即x4

7、时，y有最小值5.命题角度2二元解析式的最值问题例6函数ya1x(a0，a1)的图像恒过定点A，若点A在直线mxny10(mn0)上，则的最小值为_.答案4解析ya1x(a0，a1)的图像恒过定点A(1,1)，点A在直线mxny10上，mn1，方法一4，当且仅当mn时，取等号.方法二(mn)2224，当且仅当即mn时取等号.min4.反思感悟当所给附加条件是一个等式时，常见的用法有两个：一个是用这个等式消元，化为命题角度1的类型；一个是直接利用该等式代入，或构造定值.跟踪训练6设x，y都是正数，且3，求2xy的最小值.解3，1.2xy(2xy)1(2xy).当且仅当，即y2x时，取等号.又3，

8、x，y.2xy的最小值为.1.已知a0，b B.aC.a D.a答案D解析取a2，b2，则1，a.2.已知实数x，y满足条件若目标函数zmxy(m0)取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数m的值为()A.1 B. C. D.1答案A解析作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示，由图可知当直线ymxz(m0)与直线2x2y10重合，即m1时，目标函数zmxy取最大值的最优解有无穷多个，故选A.3.若不等式ax2bx20的解集为，则ab等于()A.18 B.8 C.13 D.1答案C解析2和是方程ax2bx20的两根，ab13.4.若不等式4(a2)x22(a2)x10对一切xR恒成

9、立，则a的取值范围是_.答案(2,2解析不等式4(a2)x22(a2)x10，当a20，即a2时，不等式恒成立，符合题意；当a20时，要使不等式恒成立，需解得2a0，y0，1，所以2(当且仅当，即x，y2时取等号)，即1，解得xy3，所以xy的最大值为3.1.不等式的基本性质不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等式的证明和解不等式的主要依据.因此，要熟练掌握和运用不等式的八条性质.2.一元二次不等式的求解方法对于一元二次不等式ax2bxc0(或0，0，0，0(或0，0)的解集.3.二元一次不等式表示的平面区域的判定对于在直线AxByC0同一侧的所有点(x，y)，实数AxByC的符号相同，取一个特殊点(x0，y0)，根据实数Ax0By0C的正负即可判断不等式表示直线哪一侧的平面区域，可简记为“直线定界，特殊点定域”.特别地，当C0时，常取原点作为特殊点.4.求目标函数最优解的方法通过平移目标函数所对应的直线，可以发现取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，于是在选择题中关于线性规划的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解.5.运用基本不等式求最值时把握三个条件：“一正”各项为正数；“二定”“和”或“积”为定值；“三相等”等号一定能取到.这三个条件缺一不可.