2.1 条件概率与独立事件 学案（含答案）

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1、2独立性检验2.1条件概率与独立事件学习目标1.理解条件概率与两个事件相互独立的概念.2.掌握条件概率的计算公式.3.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题知识点一条件概率100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的质量合格，85件产品的长度、质量都合格令A产品的长度合格，B产品的质量合格，AB产品的长度、质量都合格思考1试求P(A)，P(B)，P(AB)答案P(A)，P(B)，P(AB).思考2任取一件产品，已知其质量合格(即B发生)，求它的长度(即A发生)也合格(记为A|B)的概率答案事件A|B发生，相当于从90件质量合格的产品中任取1件长度合格，其概率为P(A|

2、B).思考3P(B)，P(AB)，P(A|B)间有怎样的关系答案P(A|B).梳理条件概率(1)概念事件B发生的条件下，A发生的概率，称为B发生时A发生的条件概率，记为P(A|B)(2)公式P(A|B)(其中，AB也可以记成AB)(3)当P(A)0时，A发生时B发生的条件概率为P(B|A).知识点二独立事件甲箱里装有3个白球、2个黑球，乙箱里装有2个白球，2个黑球从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A“从甲箱里摸出白球”，B“从乙箱里摸出白球”思考1事件A发生会影响事件B发生的概率吗？答案不影响思考2P(A)，P(B)，P(AB)的值为多少？答案P(A)，P(B)，P(AB).思考3P(AB)

3、与P(A)，P(B)有什么关系？答案P(AB)P(A)P(B)梳理独立事件(1)概念：对两个事件A，B，如果P(AB)P(A)P(B)，则称A，B相互独立(2)推广：若A与B相互独立，则A与，与B，与也相互独立(3)拓展：若A1，A2，An相互独立，则有P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)1在“A已发生”的条件下，B发生的概率可记作P(A|B)()2在某种情况下，条件概率中的条件意味着对样本空间进行压缩，相应的概率可在压缩的样本空间内直接计算()3如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)P(B)()4“P(AB)P(A)P(B)”是“事件A，B相互独立”的充要条件()类型一条件概

4、率例1甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问：(1)乙地为雨天时，甲地也为雨天的概率是多少？(2)甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率是多少？解设A“甲地为雨天”，B“乙地为雨天”，则：(1)乙地为雨天时，甲地也为雨天的概率是P(A|B).(2)甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率是P(B|A)0.60.反思与感悟条件概率的求法(1)利用定义，分别求出P(A)和P(AB)，得P(B|A).特别地，当BA时，P(B|A).(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求

5、事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A).跟踪训练1某地区气象台统计，该地区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率是，设下雨为事件A，刮风为事件B.求：(1)P(A|B)；(2)P(B|A)考点条件概率的定义及计算公式题点直接利用公式求条件概率解由题意知P(A)，P(B)，P(AB).(1)P(A|B).(2)P(B|A).类型二事件的独立性的判断例2一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A一个家庭中既有男孩又有女孩，B一个家庭中最多有一个女孩对下列两种情形，讨论A与B的独立性：(1)家庭中有两个小孩；(2)家庭中有三个小孩考点相互独立事件的定义题点相互独

6、立事件的判断解有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，它有4个基本事件，由等可能性知概率都为.这时A(男，女)，(女，男)，B(男，男)，(男，女)，(女，男)，AB(男，女)，(女，男)，于是P(A)，P(B)，P(AB).由此可知P(AB)P(A)P(B)，所以事件A，B不相互独立(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)由等可能性知这8个基本事件的概率均为，这时A中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件

7、，AB中含有3个基本事件于是P(A)，P(B)，P(AB)，显然有P(AB)P(A)P(B)成立从而事件A与B是相互独立的反思与感悟三种方法判断两事件是否具有独立性(1)定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响(2)公式法：检验P(AB)P(A)P(B)是否成立(3)条件概率法：当P(A)0时，可用P(B|A)P(B)判断跟踪训练2分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A是“第一枚为正面”，事件B是“第二枚为正面”，事件C是“两枚结果相同”，则下列事件具有相互独立性的是_(填序号)A，B；A，C；B，C.考点相互独立事件的定义题点相互独立事件的判断答案解析根据事件相互独立性的定义判断，只要P(AB

8、)P(A)P(B)，P(AC)P(A)P(C)，P(BC)P(B)P(C)成立即可利用古典概型概率公式计算可得P(A)0.5，P(B)0.5，P(C)0.5，P(AB)0.25，P(AC)0.25，P(BC)0.25.可以验证P(AB)P(A)P(B)，P(AC)P(A)P(C)，P(BC)P(B)P(C)所以根据事件相互独立的定义，事件A与B相互独立，事件B与C相互独立，事件A与C相互独立类型三求相互独立事件的概率例3小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响求：(1)这三列火车恰好有两列正

9、点到达的概率；(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率考点相互独立事件同时发生的概率计算题点求多个相互独立事件同时发生的概率解用A，B，C分别表示“这三列火车正点到达”的事件，则P(A)0.8，P(B)0.7，P(C)0.9，所以P()0.2，P()0.3，P()0.1.(1)由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列火车正点到达的概率为P1P(BC)P(AC)P(AB)P()P(B)P(C)P(A)P()P(C)P(A)P(B)P()0.20.70.90.80.30.90.80.70.10.398.(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为P21P()1P()P()P()10.20.30.

10、10.994.反思与感悟明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义一般地，已知两个事件A，B，它们发生的概率分别为P(A)，P(B)，那么：(1)A，B中至少有一个发生为事件AB.(2)A，B都发生为事件AB.(3)A，B都不发生为事件.(4)A，B恰有一个发生为事件AB.(5)A，B中至多有一个发生为事件AB.跟踪训练3某学生语、数、英三科考试成绩在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，则此次考试中恰有一科成绩未获得第一名的概率是()A0.612 B0.765 C0.329 D0.68考

11、点相互独立事件同时发生的概率计算题点求多个相互独立事件同时发生的概率答案C解析分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A，B，C，则P(A)0.9，P(B)0.8，P(C)0.85，故P(BCACAB)P(BC)P(AC)P(AB)1P(A)P(B)P(C)P(A)1P(B)P(C)P(A)P(B)1P(C)(10.9)0.80.850.9(10.8)0.850.90.8(10.85)0.329.1下列说法正确的是()AP(B|A)P(AB)BP(B|A)是可能的C0P(B|A)1DP(A|A)0答案B解析P(B|A)，而P(A)1，P(B|A)P(AB)，A错；当P(A)1时，P(A

12、B)P(B)，P(B|A)，B正确；而0P(B|A)1，P(A|A)1，C、D错，故选B.2两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为()A. B. C. D.考点相互独立事件同时发生的概率计算题点求两个相互独立事件同时发生的概率答案B解析设“两个零件中恰有一个一等品”为事件A，因为事件相互独立，所以P(A).3坛子里放有3个白球，2个黑球，从中不放回地摸球，用A1表示第1次摸得白球，A2表示第2次摸得白球，则A1与A2是()A互斥事件 B相互独立事件C对立事件 D不相互独立事件考点相互独立事件的定义题点相互独

13、立事件的判断答案D解析互斥事件和对立事件是同一次试验的两个不同时发生的事件，故选项A，C错而事件A1的发生对事件A2发生的概率有影响，故两者是不相互独立事件4在感冒流行的季节，设甲、乙两人患感冒的概率分别为0.6和0.5，则他们中有人患感冒的概率是_答案0.8解析设甲、乙患感冒分别为事件A，B，则P1P()1P()P()1(10.6)(10.5)0.8.5一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是，乙能解决的概率是，两人试图独立地在半小时内解决它，则两人都未解决的概率是_，问题得到解决的概率是_考点相互独立事件同时发生的概率计算题点求两个相互独立事件同时发生的概率答案解析设“甲解决这道难题”为

14、事件A，“乙解决这道难题”为事件B，则A，B相互独立所以两人都未解决的概率为P().问题得到解决的概率为P(A)P(B)P(AB)1P( )1.1条件概率的前提条件是：在知道事件A必然发生的前提下，只需局限在A发生的范围内考虑问题，在事件A发生的前提下事件B发生，等价于事件A和B同时发生，由古典概型知，其条件概率为P(B|A)，其中，n()为一次试验可能出现的所有结果数，n(A)为事件A所包含的结果数，n(AB)为AB同时发生时的结果数2P(AB)P(A)P(B)使用的前提条件是A，B为相互独立事件；当事件A与B相互独立时，事件A与、与B、与也相互独立3求事件的概率时，有时遇到求“至少”或“至多”等事件概率问题，可考虑用他们的对立事件求解