第四章 数系的扩充与复数的引入 章末复习学案（含答案）

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1、章末复习学习目标1.掌握复数的有关概念及复数相等的充要条件.2.理解复数的几何意义.3.掌握复数的相关运算1复数的有关概念(1)复数的概念：形如abi(a，bR)的数叫作复数，其中a，b分别是它的实部和虚部若b0，则abi为实数，若b0，则abi为虚数，若a0且b0，则abi为纯虚数(2)复数相等：abicdiac且bd(a，b，c，dR)(3)共轭复数：abi与cdi共轭ac，bd0(a，b，c，dR)(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面x轴叫作实轴，y轴叫作虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数(5)复数的模：设复数zab

2、i在复平面内对应的点是Z(a，b)，点Z到原点的距离|OZ|叫作复数的模或绝对值，记作|z|，即|z|abi| (a，bR)2复数的几何意义(1)复数zabi复平面内的点Z(a，b)(a，bR)(2)复数zabi(a，bR) 平面向量.3复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；除法：i(cdi0)(2)复数加法的运算律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3C，

3、有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)1复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小()2原点是实轴与虚轴的交点()3方程x2x10没有解()类型一复数的概念例1已知复数za2a6i，分别求出满足下列条件的实数a的值：(1)z是实数；(2)z是虚数；(3)z是0.考点复数的概念题点由复数的分类求未知数解由a2a60，解得a2或a3.由a22a150，解得a5或a3.由a240，解得a2.(1)由a22a150且a240，得a5或a3，当a5或a3时，z为实数(2)由a22a150且a240，得a5且a3且a2，当a5且a3且a2时，z是虚数(3)由a2a60且a22a150且a2

4、40，得a3，当a3时，z0.引申探究本例中条件不变，若z为纯虚数，是否存在这样的实数a，若存在，求出a，若不存在，请说明理由解由a2a60且a22a150，且a240，得a无解，不存在实数a，使z为纯虚数反思与感悟(1)正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提(2)两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据跟踪训练1复数zlog3(x23x3)ilog2(x3)，当x为何实数时：(1)zR；(2)z为虚数考点复数的概念题点由复数的分类求未知数解(1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，所以解得x4，所以当x4时，z

5、R.(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，所以解得x且x4.所以当x且x4时，z为虚数类型二复数的四则运算例2(1)计算：2 018；(2)已知z1i，求的模考点复数四则运算的综合运用题点复数的混合运算解(1)原式1 009i(i)1 00900.(2)1i，的模为.反思与感悟(1)复数的除法运算是复数运算中的难点，如果遇到(abi)(cdi)的形式，首先应该写成分式的形式，然后再分母实数化(2)虚数单位i的周期性i4n1i，i4n21，i4n3i，i4n1(nN)；inin1in2in30(nN)跟踪训练2(1)已知2i，则复数z等于()A13i B13iC3i D3i考点共轭复数

6、的定义与应用题点利用定义求共轭复数答案B解析2i，(1i)(2i)23i113i，z13i.(2)已知z是复数，z3i为实数，为纯虚数(i为虚数单位)求复数z；求的模考点复数四则运算的综合应用题点与混合运算有关的未知数求解解设zabi(a，bR)，由z3ia(b3)i为实数，可得b3.又为纯虚数，a1，即z13i.2i，|2i|.类型三数形结合思想的应用例3已知复平面内点A，B对应的复数分别是z1sin2i，z2cos2icos 2，其中(0，)，设对应的复数为z.(1)求复数z；(2)若复数z对应的点P在直线yx上，求的值考点分类讨论思想与数形结合思想在复数中的应用题点数形结合思想的应用解(

7、1)由题意得zz2z1cos2sin2(cos 21)i1(2sin2)i12isin2.(2)由(1)知，点P的坐标为(1，2sin2)由点P在直线yx上，得2sin2，sin2，又(0，)，sin 0，因此sin ，或.反思与感悟根据复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论跟踪训练3在复平面内，设z1i(i是虚数单位)，则复数z2对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限考点复数的乘除法运算法则题点运算结果与点的对应关系答案A解析z2(1i)22i(1i)2i1i，复数z2对应点的坐标

8、为(1,1)，故在第一象限.1若z12i，则等于()A1 B1 Ci Di考点复数四则运算的综合应用题点复数的混合运算答案C解析i.2复数z(aR)在复平面内对应的点在虚轴上，则a等于()A2 B1 C1 D2考点乘除法的运算法则题点利用乘除法求复数中的未知数答案D解析z在复平面内对应的点的坐标为且在虚轴上，所以2a0，即a2.3设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若 zi22z，则z等于()A1i B1i C1i D1i考点复数四则运算的综合应用题点与混合运算有关的未知数求解答案A解析设zabi(a，bR)，则abi，所以zi22z，即2(a2b2)i2a2bi，根据复数相等的充要条件得22a，a2b22b，解得a1，b1，故z1i.4若复数z满足|z|，则z_.考点复数四则运算的综合应用题点与混合运算有关的未知数求解答案34i解析设zabi(a，bR)，abi，|z|，|z|24i，则abi24i，解得z34i.1复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中除法运算的关键是将分母实数化2复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现3利用两个复数相等可以解决求参数值(或取值范围)和复数方程等问题.