2020北师大版高中数学选修1-2 第三章 推理与证明 章末检测试卷（含答案）

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1、章末检测(三)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1下列选项中，与其他三个选项所蕴含的数学推理不同的是()A独脚难行，孤掌难鸣B前人栽树，后人乘凉C物以类聚，人以群分D飘风不终朝，骤雨不终日2已知在ABC中，A30，B60，求证：ab.证明：A30，B60，AB，a0，则三个数，()A都大于2B至少有一个大于2C至少有一个不小于2D至少有一个不大于28对“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断：(ab)2(bc)2(ca)20；ab与bc及ac中至少有一个成立；ac，bc，ab不能同时成立其中判断正确的个数为()A0 B1 C2 D39.如

2、图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为()A6 B7 C8 D910在一个数列中，如果对任意nN，都有anan1an2K(K为常数)，那么这个数列叫做等积数列，K叫做这个数列的公积，已知数列an是等积数列，且a11，a22，公积K8，则a1a2a3a12等于()A24 B28 C32 D3611证明命题“f(x)ex在(0，)上是增函数”，一个同学给出的证法如下：f(x)ex，f(x)ex.x0，ex1，00，则f(x)0，f(x)在(0，)上为增函数，他使用的证明方法是()A综合

3、法 B分析法C反证法 D以上都不是12已知a，b为非零实数，则使不等式2成立的一个充分不必要条件是()Aab0 Bab0，b0，b0二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13已知a，b，x均为正数，且ab，则与的大小关系为_14观察下列等式：(11)21，(21)(22)2213，(31)(32)(33)23135，照此规律，第n个等式可为_15在平面几何中，ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比为，把这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD中(如图所示)，面DEC平分二面角ACDB且与AB相交于E，则得到的类比的结论是_16已知a，b，(0，)且1，则使得ab恒成立的的取值范围是_

4、三、解答题(本大题共6小题，共70分)17(10分)1，2能否为同一等差数列中的三项？说明理由18(12分)设a，b为实数，求证：(ab)19.(12分)已知实数p满足不等式(2p1)(p2)0，用反证法证明，关于x的方程x22x5p20无实数根20(12分)设a，b，c为一个三角形的三条边，s(abc)，且s22ab，试证：s2a.21.(12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数sin213cos217sin 13cos 17；sin215cos215sin 15cos 15；sin218cos212sin 18cos 12；sin2(18)cos248sin(

5、18)cos 48；sin2(25)cos255sin(25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论22(12分)等差数列an的前n项和为Sn，a11，S393.(1)求数列an的通项an与前n项的和Sn；(2)设bn.求证：数列bn中任意不同三项都不可能成等比数列答案精析1B2.B3A观察下列等式：2，3，4，照此规律，第6个等式中a7，ta2148，ta41.故选A.4D5.B6B当x1时，f(2)，当x2时，f(3)，当x3时，f(4)，故可猜想f(x)，故选B.7C由于()()()2226

6、，中至少有一个不小于2，故选C.8B若(ab)2(bc)2(ca)20，则abc，与“a，b，c是不全相等的正数”矛盾，故正确；ab与bc及ac中最多只能有一个成立，故不正确；由于“a，b，c是不全相等的正数”，有两种情形：有两个数相等或三个数都互不相等，故不正确9C由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为26，第4层的点数为36，第5层的点数为46，第n(n2，nN)层的点数为6(n1)设一个点阵有n(n2，nN)层，则共有的点数为16626(n1)1(n1)3n23n1.由题意得3n23n1169，即(n7)(n8)0，所以n8，故共有8层10B由已知，得anan1an

7、28，an1an2an38，两式相除，得1，即an3an，即此数列是一个以3为周期的数列由a1a2a38，得a34，所以a1a2a37，所以a1a2a3a124(a1a2a3)4728.11A12.C13.b，ba0，0，即.14(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)解析由已知的三个等式左边的变化规律，得第n个等式左边为(n1)(n2)(nn)；由已知的三个等式右边的变化规律，得第n个等式右边为2n与n个奇数之积，即2n13(2n1)15.16(0,16解析由题意，得ab(ab)()10()10216，当且仅当且1，即a4，b12时，等号成立所以ab的最小值为16，所以要使ab恒成立，只需

8、16.又因为(0，)，所以00时，用分析法证明如下：要证明(ab)，只需证明()22，即证a2b2(a2b22ab)，即证a2b22ab.a2b22ab对一切实数恒成立，(ab)成立综上所述，对任意实数a，b不等式都成立19证明假设方程x22x5p20有实数根，则该方程的根的判别式44(5p2)0，解得p2或p2.而由已知条件实数p满足不等式(2p1)(p2)0，解得2p.数轴上表示的图形无公共部分，故假设不成立，从而关于x的方程x22x5p20无实数根20证明要证明s2a，由于s22ab，所以只需证明s，即证bs.因为s(abc)，所以只需证明2babc，即证bac.由于a，b，c为一个三角

9、形的三条边，所以上式成立于是原命题成立21解(1)选择式计算如下：sin215cos215sin 15cos 151sin 30.(2)三角恒等式为sin2cos2(30)sin cos(30).证明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin2(cos 30cos sin 30sin )2sin (cos 30cos sin 30sin )sin2cos2sin cos sin2sin cos sin2sin2cos2.22(1)解解设等差数列an的公差为d，则S33a13d93.又a11，解得d2，所以an2n1，Snn(n)(nN)(2)证明由(1)得bnn，假设数列bn中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列则bbpbr，即(q)2(p)(r)，即(q2pr)(2qpr)0，所以即()2pr，得(pr)20，得pr，与p，q，r互不相等矛盾所以数列bn中任意不同三项都不可能成等比数列