§1 变化的快慢与变化率 学案（含答案）

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1、1变化的快慢与变化率学习目标1.了解变化率在实际生活中的需求，探究和体会平均变化率的实际意义.2.理解函数的平均变化率和瞬时变化率的概念知识点一函数的平均变化率下表是某病人吃完退烧药，他的体温变化情况：x(min)0102030405060y()3938.738.53837.637.336.9思考1观察上表，每10分钟病人的体温变化相同吗？答案不相同思考2哪段时间体温变化较快？答案从20分钟到30分钟变化最快梳理函数yf(x)从x1到x2的平均变化率(1)定义式：.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比(3)作用：刻画函数值在区间x1，x2上变化的快慢知识点二瞬时变化率思考1物体的路程

2、s与时间t的关系是s(t)5t2，试求物体在1,1t这段时间内的平均速度答案s5(1t)2510t5(t)2，105t.思考2当t趋近于0时，思考1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？答案当t趋近于0时，趋近于10，这时的平均速度即为当t1时的瞬时速度梳理瞬时变化率的定义及作用(1)定义：对于一般的函数yf(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设xx1x0，yf(x1)f(x0)，则函数的平均变化率是.而当x趋于0时，平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率(2)作用：刻画函数在一点处变化的快慢1在平均变化率中，函数值的增量为正值()2瞬时变化率是刻画某函数值在区间x1，x2上变化

3、快慢的物理量()3函数yf(x)在xx0处的导数值与x的正、负无关()类型一函数的平均变化率例1求函数yf(x)x2在x1,2,3附近的平均变化率，取x都为，哪一点附近的平均变化率最大？考点变化问题与变化率题点变化率大小的比较解在x1附近的平均变化率为k12x；在x2附近的平均变化率为k24x；在x3附近的平均变化率为k36x.当x时，k12，k24，k36.由于k1k2v乙Bv甲v乙Cv甲v乙D大小关系不确定考点平均变化率题点平均变化率的应用答案B解析设直线AC，BC的斜率分别为kAC，kBC，由平均变化率的几何意义知，s1(t)在0，t0上的平均变化率v甲kAC，s2(t)在0，t0上的平

4、均变化率v乙kBC.因为kACkBC，所以v甲v乙类型二求瞬时速度例3某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)t2t1表示，求物体在t1 s时的瞬时速度考点求瞬时速度题点用极限思想求瞬时速度解3t，当t趋于0时，趋于3.物体在t1处的瞬时变化率为3.即物体在t1 s时的瞬时速度为3 m/s.引申探究1若本例中的条件不变，试求物体的初速度解求物体的初速度，即求物体在t0时的瞬时速度1t，当t趋于0时，趋于1.物体在t0时的瞬时变化率为1，即物体的初速度为1 m/s.2若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.解设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m

5、/s.又(2t01)t.t趋于0时，趋于2t01.则2t019，t04.则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.反思与感悟求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量t和位移改变量ss(t0t)s(t0)(2)求平均速度.(3)求瞬时速度，当t无限趋近于0时，无限趋近于的常数v即为瞬时速度跟踪训练3一质点M按运动方程s(t)at21做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值考点求瞬时速度题点瞬时速度在实际问题中的应用解质点M在t2 s时的瞬时速度即为函数在t2处的瞬时变化率质点M在t2附近的平均变化率为4aat，当t趋于0时，趋于4a.

6、则4a8，a2.1设函数yf(x)，当自变量x由x0改变到x0x时，函数的改变量y为()Af(x0x) Bf(x0)xCf(x0x)f(x0) Df(x0)x考点函数自变量、因变量的增量题点函数因变量的增量答案C2质点的运动规律满足st23，则在时间段(3,3t)中，相应的平均速度为()A6t B6tC3t D9t考点变化问题与变化率题点平均速度与变化率答案A解析s(3t)233236t(t)2，6t.3一质点的运动规律为st23t(其中位移单位：m，时间单位：s)，那么该物体在2 s时的瞬时速度是()A5 m/s B6 m/s C7 m/s D8 m/s考点求瞬时速度题点用极限的思想求瞬时速

7、度答案C解析t7，当t趋于0时，趋于7.4如图，函数yf(x)在x1，x2，x2，x3，x3，x4这几个区间上，平均变化率最大的一个区间是_考点平均变化率题点平均变化率的应用答案x3，x4解析由平均变化率的定义可知，函数yf(x)在区间x1，x2，x2，x3，x3，x4上平均变化率分别为，结合图像可以发现函数yf(x)的平均变化率最大的一个区间是x3，x45已知函数yf(x)在x1处的瞬时变化率为2，则实数a的值是_考点导数的概念题点导数的概念的简单应用答案2解析，当x趋于0时，趋于a，a2，a2.1对瞬时速度的理解及求法(1)瞬时速度即位移函数相对于时间的瞬时变化率(2)当t在变化中趋近于0时，比值趋近于一个确定的常数，此常数称为t0时刻的瞬时速度2对瞬时变化率的两点说明(1)平均变化率与瞬时变化率的关系：区别：平均变化率刻画函数值在区间x1，x2上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢；联系：当x趋于0时，平均变化率趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值(2)“x无限趋近于0”的含义：x趋于0的距离要多近有多近，即|x0|可以小于给定的任意小的正数，且始终x0.