2.1 实际问题中导数的意义 学案（含答案）

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1、2导数在实际问题中的应用21实际问题中导数的意义学习目标1.了解导数在实际问题中的意义.2.能用导数解释一些实际问题知识点实际问题中导数的意义(1)功与功率：在物理学中，通常称力在单位时间内做的功为功率，它是功W关于时间t的导数瞬时速度：在物理学中，物体在某一时刻的速度称为瞬时速度，它是位移s关于时间t的导数；速度v关于时间t的导数是加速度(2)降雨强度：在气象学中，通常把在单位时间内的降雨量称为降雨强度，它是降雨量关于时间的导数(3)边际成本：在经济学中，通常把生产成本y关于产量x的函数yf(x)的导函数称为边际成本边际成本f(x0)指的是当产量为x0时，生产成本的增加速度，也就是当产量为x

2、0时，每增加一个单位的产量，需要增加f(x0)个单位的成本(4)线密度：单位长度的物质质量称为线密度，它是质量关于长度的导数1对功关于时间的函数，W(t)就是表示t s内的功率()2气象学中，用平均降雨量来衡量降雨强度()3在经济学中，通常把生产成本y关于产量x的函数yf(x)的导函数称为边际成本()类型一导数在函数图像中的应用例1如图所示，当l从l0开始在平面上绕点O匀速旋转(旋转角度不超过90)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图像大致是()考点实际问题中导数的意义题点导数在函数图像中的应用答案D解析选项A表示面积的增速是常数，与实际不符，选项B表示最后时段面积的增速较快

3、，也与实际不符选项C表示开始时段和最后时段面积的增速比中间时段快，与实际不符选项D表示开始时段和最后时段面积的增速缓慢，中间时段增速较快，符合实际，所以应选D.反思与感悟解决函数图像问题有两种方法：一是计算出该函数的解析式，由解析式得到函数的某些性质，再根据性质选择相对应的图像；二是利用导数知识，判断函数的平均变化率的变化趋势(越来越大、越来越小或是不变)，从而判断出函数图像的特征(下凸、上凸、直线)，再选择相对应的图像跟踪训练1如图，水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像，它们之间的对应关系分别是_考点

4、实际问题中导数的意义题点导数在函数图像中的应用答案BADC类型二导数在实际问题中的应用例2某汽车启动阶段的路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的函数关系是s(t)2t35t2，则当t2时，汽车的加速度是_ m/s2.考点导数在实际问题中的应用题点导数在物理学中的应用答案14解析汽车的速度v(t)s(t)6t210t，所以汽车的加速度为v(t)12t10，则v(2)14 m/s2.反思与感悟(1)函数yf(x)在x0处的导数f(x0)就是导函数在x0处的函数值(2)瞬时速度是运动物体的位移s(t)对于时间的导数，即v(t)s(t)(3)瞬时加速度是运动物体的速度v(t)对于时间的导数，即a(t

5、)v(t)跟踪训练2某人拉动一个物体前进，他所做的功W(单位：J)是时间t(单位：s)的函数，设这个函数可以表示为WW(t)t36t216t.(1)求t从1 s变到3 s时，功W关于时间t的平均变化率，并解释实际意义；(2)求W(1)，W(2)，并解释它们的实际意义考点导数在实际问题中的应用题点导数在物理学中的应用解(1)当t从1 s变到3 s时，功W从W(1)11 J变到W(3)21 J，此时功W关于时间t的平均变化率为5(J/s)它表示从t1 s到t3 s这段时间，这个人平均每秒做功5 J.(2)首先求W(t)，根据导数公式和求导法则可得W(t)3t212t16，W(1)7 J/s，W(2

6、)4 J/s.W(1)和W(2)分别表示t1 s和t2 s时，这个人每秒做的功为7 J和4 J.例3某机械厂生产某种机器配件的最大生产能力为每日100件，假设日产品的总成本C(元)与日产量x(件)的函数关系为C(x)x260x2 050.求当日产量由10件提高到20件时，总成本的平均改变量，并说明其实际意义考点导数在实际问题中的应用题点导数在经济生活中的应用解当x从10件提高到20件时，总成本C从C(10)2 675元变到C(20)3 350元此时总成本的平均改变量为67.5(元/件)，其表示日产量从10件提高到20件时平均每件产品的总成本的改变量引申探究若本例的条件不变，求当日产量为75件时

7、的边际成本，并说明其实际意义解因为C(x)x60，所以C(75)756097.5(元/件)，它指的是当日产量为75件时，每多生产一件产品，需增加成本97.5元反思与感悟实际生活中的一些问题，如在生活和生产及科研中经常遇到的成本问题、用料问题、效率问题和利润等问题，在讨论其改变量时常用导数解决跟踪训练3东方机械厂生产一种木材旋切机械，已知生产总利润c元与生产量x台之间的关系式为c(x)2x27 000x600.(1)求产量为1 000台的总利润与平均利润；(2)求产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均改变量；(3)求c(1 000)与c(1 500)，并说明它们的实际意义考点导数在

8、实际问题中的应用题点导数在经济生活中的应用解(1)产量为1 000台时的总利润为c(1 000)21 00027 0001 0006005 000 600(元)，平均利润为5 000.6(元)(2)当产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均改变量为2 000(元)(3)c(x)(2x27 000x600)4x7 000，c(1 000)41 0007 0003 000(元)c(1 500)41 5007 0001 000(元)c(1 000)3 000表示当产量为1 000台时，每多生产一台机械可多获利3 000元c(1 500)1 000表示当产量为1 500台时，每多生产一台机

9、械可多获利1 000元.1在一次降雨过程中，降雨量y是时间t的函数，用yf(t)表示，则f(10)表示()At10时的降雨强度 Bt10时的降雨量Ct10时的时间 Dt10时的温度考点导数在实际问题中的应用题点导数在气象学中的应用答案A解析f(t)表示t时刻的降雨强度故选A.2某旅游者爬山的高度h(单位：m)关于时间t(单位：h)的函数关系式是h(t)100t2800t，则他在t2 h这一时刻的高度变化的速度是()A500 m/h B1 000 m/hC400 m/h D1 200 m/h考点求瞬时速度题点瞬时速度在实际问题中的应用答案C解析h(t)200t800，当t2时，h(2)400.3

10、圆的面积S关于半径r的函数关系式是S(r)r2，那么在r3时面积的变化率是()A6 B9 C9 D6考点导数定义的应用题点导数定义在实际问题中的应用答案D解析S(r)2r，S(3)236.4一个物体的运动方程为s(t)1tt2，其中s的单位是m，t的单位是s，那么物体在3 s末的瞬时速度是()A7 m/s B6 m/sC5 m/s D8 m/s考点求瞬时速度题点瞬时速度在实际问题中的应用答案C解析s(t)2t1，s(3)2315.5正方形的周长y关于边长x的函数是y4x，则y_，其实际意义是_考点导数定义的应用题点导数定义在实际问题中的应用答案4边长每增加一个单位，周长增加4个单位1要理解实际问题中导数的意义，首先要掌握导数的定义，然后再依据导数的定义解释它在实际问题中的意义2实际问题中导数的意义(1)功关于时间的导数是功率(2)降雨量关于时间的导数是降雨强度(3)生产成本关于产量的导数是边际成本(4)路程关于时间的导数是速度(5)速度关于时间的导数是加速度.