§4 导数的四则运算法则 学案（含答案）

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1、4导数的四则运算法则学习目标1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数知识点一和、差的导数已知f(x)x，g(x).Q(x)f(x)g(x)，H(x)f(x)g(x)思考1f(x)，g(x)的导数分别是什么？答案f(x)1，g(x).思考2试求yQ(x)，yH(x)的导数并观察Q(x)，H(x)与f(x)，g(x)的关系答案y(xx)x，1.Q(x)1.同理，H(x)1.Q(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的和H(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的差梳理和、差的导数f(x)g(x)f(x)g(x)知识点二积、商

2、的导数(1)积的导数f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)cf(x)cf(x)(2)商的导数(g(x)0)(3)注意f(x)g(x)f(x)g(x)，.1若f(x)2x，则f(x)x2.()2函数f(x)xex的导数是f(x)ex(x1)()3当g(x)0时，.()类型一利用导数的运算法则求导例1求下列函数的导数(1)y3x2xcos x；(2)ylg x；(3)y(x23)(exln x)；(4)yx2tan x；(5)y.考点导数的运算法则题点导数的运算法则解(1)y6xcos xx(cos x)6xcos xxsin x.(2)y(lg x)(x2).(3)y(x23)(exl

3、n x)(x23)(exln x)2x(exln x)(x23)ex(x22x3)2xln xx.(4)因为yx2，所以y(x2)2x2x.(5)y.反思与感悟(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算跟踪训练1求下列函数的导数(1)y；(2)y；(3)y(x1)(x3)(x5)考点导数的运算法则题点导数的运算法则解(1)y23x1，y3x2.(2)方法一y.方法二y1，y.(3)方法一y(x1)(x3)(x5)(x1)(x3)(x5)(x1)(x3)(x1)(x3)(x5)(x1

4、)(x3)(2x4)(x5)(x1)(x3)3x218x23.方法二y(x1)(x3)(x5)(x24x3)(x5)x39x223x15，y(x39x223x15)3x218x23.类型二导数公式及运算法则的综合应用例2(1)已知函数f(x)2xf(1)，试比较f(e)与f(1)的大小关系；(2)设f(x)(axb)sin x(cxd)cos x，试确定常数a，b，c，d，使得f(x)xcos x.考点导数的运算法则题点导数运算法则的综合应用解(1)由题意得f(x)2f(1)，令x1，得f(1)2f(1)，即f(1)1.f(x)2x.f(e)2e2e，f(1)2，由f(e)f(1)2e20，得

5、f(e)f(1)(2)由已知得f(x)(axb)sin x(cxd)cos x(axb)sin x(cxd)cos x(axb)sin x(axb)(sin x)(cxd)cos x(cxd)(cos x)asin x(axb)cos xccos x(cxd)sin x(acxd)sin x(axbc)cos x.又f(x)xcos x，即解得ad1，bc0.反思与感悟(1)中确定函数f(x)的解析式，需要求出f(1)，注意f(1)是常数(2)中利用待定系数法可确定a，b，c，d的值完成(1)(2)问的前提是熟练应用导数的运算法则跟踪训练2函数f(x)2f(1)x，则f(0)_.考点导数的运算

6、法则题点导数运算法则的综合应用答案1解析对f(x)求导，得f(x)2f(1)2f(1)，令x1，得f(1)1，f(0)1.例3已知函数f(x)ax2bx3(a0)，其导函数为f(x)2x8.(1)求a，b的值；(2)设函数g(x)exsin xf(x)，求曲线g(x)在x0处的切线方程考点导数的运算法则题点导数运算法则的综合应用解(1)因为f(x)ax2bx3(a0)，所以f(x)2axb，又f(x)2x8，所以a1，b8.(2)由(1)可知g(x)exsin xx28x3，所以g(x)exsin xexcos x2x8，所以g(0)e0sin 0e0cos 02087.又g(0)3，所以g(

7、x)在x0处的切线方程为y37(x0)，即7xy30.反思与感悟(1)与切线有关的问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点跟踪训练3(1)设曲线y在点处的切线与直线xay10垂直，则a_.(2)设函数f(x)g(x)x2，曲线yg(x)在点(1，g(1)处的切线方程为y2x1，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处切线的斜率为_考点导数的运算法则题点导数运算法则的综合应用答案

8、(1)1(2)4解析(1)y，当x时，y1.又直线xay10的斜率是，1，即a1.(2)曲线yg(x)在点(1，g(1)处的切线方程为y2x1，由导数的几何意义知g(1)2.又f(x)g(x)x2，f(x)g(x)2x，即f(1)g(1)24，yf(x)在点(1，f(1)处切线的斜率为4.1设函数y2exsin x，则y等于()A2excos x B2exsin xC2exsin x D2ex(sin xcos x)考点导数的运算法则题点导数的运算法则答案D解析y2(exsin xexcos x)2ex(sin xcos x)2曲线y在点M处的切线的斜率为()A B. C D.考点导数的运算法

9、则题点导数运算法则的综合应用答案B解析y，故y在x处的导数为，曲线在点M处的切线的斜率为.3若函数f(x)f(1)x22x3，则f(1)的值为()A1 B0 C1 D2考点导数的运算法则题点导数运算法则的综合应用答案A解析因为f(x)f(1)x22x3，所以f(x)f(1)x2.所以f(1)f(1)(1)2，所以f(1)1.4已知f(x)，若f(x0)f(x0)0，则x0_.考点导数的运算法则题点导数的运算法则答案解析因为f(x)(x0)所以由f(x0)f(x0)0，得0.解得x0.5在平面直角坐标系xOy中，若曲线yax2(a，b为常数)过点P(2，5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x2y

10、30平行，则ab的值是_考点导数的运算法则题点导数运算法则的综合应用答案3解析yax2的导数为y2ax，直线7x2y30的斜率为.由题意得解得则ab3.1导数的求法对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用首先，在化简时，要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误；其次，利用导数公式求函数的导数时，一定要将函数化为基本初等函数中的某一个，再套用公式求导数2和与差的运算法则可以推广f(x1)f(x2)f(xn)f(x1)f(x2)f(xn)3积、商的求导法则(1)若c为常数，则cf(x)cf(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)，(g(x)0)；(3)当f(x)1时，有(g(x)0).