第二章 变化率与导数 章末复习学案（含答案）

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1、章末复习学习目标1.梳理本章知识要点，构建知识网络.2.进一步理解导数的概念及其几何意义.3.能熟练应用公式及运算法则求导1导数的概念(1)函数在点x0处的导数f(x0)，x是自变量x在x0附近的改变量，它可正、可负，但不可为零，f(x0)是一个常数(2)导函数f(x)，f(x)为f(x)的导函数，不是一个常数2导数的几何意义(1)f(x0)是函数yf(x)在点(x0，f(x0)处切线的斜率，这是导数的几何意义(2)求切线方程常见的类型有两种：一是函数yf(x)“在点xx0处的切线方程”，这种类型中(x0，f(x0)是曲线上的点，其切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)二是函数yf(x)“

2、过某点的切线方程”，这种类型中，该点不一定为切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为yy1f(x1)(xx1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0y1f(x1)(x0x1)，又y1f(x1),由上面两个方程可解得x1，y1的值，即求出了过点P(x0，y0)的切线方程3导数的运算(1)基本初等函数的导数f(x)c，则f(x)0；f(x)x，则f(x)x1；f(x)ax(a0且a1)，则f(x)axln a；f(x)logax(a0，且a1)，则f(x)；f(x)sin x，则f(x)cos x；f(x)cos x，则f(x)sin_x；f(x)tan x，则f(x)；f(x)cot x，

3、则f(x).(2)导数四则运算法则f(x)g(x)f(x)g(x)；f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；.(3)复合函数的求导法则设复合函数u(x)在点x处可导，yf(u)在点u处可导，则复合函数f(x)在点x处可导，且f(x)f(u)(x)，即yxyuux，利用复合函数求导法则求导后，要把中间变量换成自变量.类型一导数的概念及应用例1已知一个质量为1的物体的运动方程是s(t)3t2t2.试求物体在t10时的瞬时速度和加速度考点求瞬时速度题点用极限的思想求瞬时速度解物体的瞬时速度v(t)s(t)6t1，所以物体在t10时的瞬时速度为v(10)59.物体的加速度a(t)v(t)6，

4、所以物体在t10时的加速度为6.反思与感悟位移的瞬时变化率是瞬时速度，速度的导数是加速度跟踪训练1对于区间(1,2)上的任意x1，x2(x1x2)，|f(x2)f(x1)|x2x1|恒成立的函数叫作函数，则下面四个函数中属于函数的为()Af(x) Bf(x)|x|Cf(x)2x Df(x)x2考点导数与曲线的切线问题题点切线存在性问题答案A解析|f(x2)f(x1)|x2x1|，1，即函数是指在区间(1,2)内，曲线上任意两点连线的斜率均在(1,1)内的函数对于A，f(x)的值域为，故选A.类型二导数的计算例2求下列函数的导数(1)y；(2)yexsin x；(3)yx2；(4)y(23x)(

5、35xx2)；(5)y；(6)y2xlog2x.考点导数公式的应用题点导数公式的应用解(1)y.(2)y(ex)sin xex(sin x)ex(sin xcos x)(3)y()(x2).(4)y(23x)(35xx2)(23x)(35xx2)9x226x1.(5)y.(6)y2xln 2.反思与感悟(1)求函数的导数，首先要看函数式的结构形式是否为复合函数，能否化简等(2)若函数是复合函数，要注意函数的外层，内层，准确运用复合函数求导公式求导跟踪训练2已知f1(x)sin xcos x，且f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，fn(x)fn1(x)，nN，n2，则f1f2f2 012

6、_.考点导数公式的应用题点导数公式的应用答案0解析f2(x)f1(x)cos xsin x，f3(x)(cos xsin x)sin xcos x，f4(x)cos xsin x，f5(x)sin xcos x，以此类推可得出fn(x)fn4(x)又f1(x)f2(x)f3(x)f4(x)0，f1f2f2 0120.类型三导数的应用例3已知曲线yxln x在点(1,1)处的切线与曲线yax2(a2)x1相切，则a_.考点求函数在某点处的切线方程题点曲线的切线方程的应用答案8解析由yxln x，得y1，得曲线在点(1,1)处的切线的斜率为k2，所以切线方程为y12(x1)，即y2x1.此切线与曲

7、线yax2(a2)x1相切，消去y，得ax2ax20，所以a0且a28a0，解得a8.反思与感悟(1)利用导数运算法则解决与切线相关问题的两个方法此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系准确求出已知函数式的导数、切线方程是解决此类问题的关键(2)常见的两个问题已知点是否在曲线上，求在某点处的切线方程，还是过某点的切线方程，一定要分清楚如果曲线在P(x0，y0)处导数不存在，那么切线不一定不存在，也可能切线垂直于x轴，此种情况可运用数形结合来进行判断跟踪训练3在平面直角坐标系xOy中，若曲线yax2(a，b均为常数)过点P(2，

8、5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x2y30平行，则ab的值是_考点求函数在某点处的切线方程题点曲线的切线方程的应用答案3解析曲线yax2过点(2，5)，4a5，又y2ax，4a，由解得ab3.1函数f(x)xsin t的导数为()Af(x)xcos t Bf(x)sin tCf(x)sin txcos t Df(x)cos t考点导数乘除法则及运算题点导数乘法法则及运算答案B解析所给函数解析式中，x为自变量，故f(x)sin t.2定义在R上的函数f(x)的导函数为f(x)，且f(4)2，f(x)的图像在点(4，f(4)处的切线方程为ykx2，则f(4)等于()A4 B6 C10 D12考

9、点求函数在某点处的切线方程题点曲线的切线方程的应用答案C解析由导数的几何意义可知kf(4)2，又因为切点(4，f(4)在切线上，所以可得f(4)24210.3已知过曲线y上一点P的切线的斜率为4，则点P的坐标为()A. B.或C. D.考点求函数在某点处的切线斜率或切点坐标题点求函数在某点处的切点坐标答案B解析y4，x，当x时，y2；当x时，y2.故选B.4已知函数f(x)在区间1，t上的平均变化率为，则t_.考点平均变化率题点平均变化率的应用答案3解析函数f(x)在区间1，t上的平均变化率为，由已知得，解得t3.5一听汽水放入冰箱后，其摄氏温度x(单位：)随时间t(单位：h)的变化满足关系：

10、x416e2t.(1)求汽水温度x在t1处的导数；(2)已知摄氏温度x与华氏温度y之间具有如下函数关系：xy32.写出y关于t的函数解析式，并求出y关于t的函数的导数考点导数公式的应用题点导数公式的应用解x32e2t.(1)当t1时，x.(2)y(x32)(16e2t36)，ye2t(2)e2t.本章的内容要点有两个，一个是导数的概念求法，另一个是导数的应用1求函数yf(x)在点x0处的导数的方法一般有两种方法，即导数定义法和导函数的函数值法(1)用定义求函数在点x0处的导数的方法：计算函数值的增量yf(x0x)f(x0)；计算函数值的增量y与自变量的增量x的比值；当x无限趋近于0时，即x0时，则无限趋近于某一常数A，这一常数A就是函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)(2)利用导数公式及运算法则求函数的导数f(x)，则函数在xx0点的导数为f(x0)2利用导数求曲线的切线方程的步骤(1)求出函数yf(x)在x0处的导数f(x0)(2)利用直线方程的点斜式得切线方程为yy0f(x0)(xx0).