第一章 推理与证明 章末复习学案（含答案）

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1、章末复习学习目标1.整合本章知识要点.2.进一步理解归纳推理与类比推理的概念、思维形式、应用等.3.进一步熟练掌握直接证明与间接证明.4.理解数学归纳法，并会用数学归纳法证明问题1归纳与类比(1)归纳推理：由部分到整体、由个别到一般的推理(2)类比推理：由特殊到特殊的推理(3)合情推理：合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式2综合法和分析法(1)综合法是从已知条件推出结论的证明方法；(2)分析法是从结论追溯到条件的证明方法3反证法反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与

2、定义、公理、定理矛盾等4数学归纳法数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学命题证明时，它的两个步骤缺一不可，它的第一步(归纳奠基)是证当nn0时结论成立；第二步(归纳递推)是假设当nk时结论成立，推得当nk1时结论也成立.类型一合情推理例1(1)观察下列等式：2212；222223；222234；222245；照此规律，2222_.考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对(组)中的应用答案n(n1)解析第一个等式中1，2；第二个等式中，2，3；第三个等式中，3，4.由此可推得第n个等式等于n(n1)(2)根据图(1)的面积关系：，可猜想图(2)有体积关系：_.考点类此推理的应用题点平面几何与立体几

3、何之间的类比答案解析题干两图中，与PAB，PAB相对应的是三棱锥PABC，PABC；与PAB两边PA，PB相对应的是三棱锥PABC的三条侧棱PA，PB，PC.与PAB的两条边PA，PB相对应的是三棱锥PABC的三条侧棱PA，PB，PC.由此，类比题图(1)的面积关系，得到题图(2)的体积关系为.反思与感悟(1)用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明(2)进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误跟踪训练1(1)

4、如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，以A为圆心，AD长为半径画弧，交BA的延长线于P1，然后以B为圆心，BP1长为半径画弧，交CB的延长线于P2，再以C为圆心，CP2长为半径画弧，交DC的延长线于P3，再以D为圆心，DP3长为半径画弧，交AD的延长线于P4，再以A为圆心，AP4长为半径画弧，如此继续下去，画出的第8道弧的半径是_，画出第n道弧时，这n道弧的弧长之和为_考点归纳推理的应用题点归纳推理在图形中的应用答案8解析第一道弧所在圆的半径为1，圆心角为90，因此弧长为；第二道弧所在圆的半径为2，圆心角为90，因此弧长为；第三道弧所在圆的半径为3，圆心角为90，因此弧长为，第n道弧所在圆的

5、半径为n，圆心角为90，因此弧长为.因此第8道弧的半径为8，且各道弧的长度构成一个以为首项，为公差的等差数列，故所求这n道弧的弧长之和为n.(2)设P是ABC内一点，ABC中BC，AC，AB边上的高分别为hA，hB，hC，P到BC，AC，AB三边的距离依次为la，lb，lc，则有1，类比到空间，设P是四面体ABCD内一点，A，B，C，D四个顶点到对面的距离分别是hA，hB，hC，hD，P到这四个面的距离依次是la，lb，lc，ld，则有_考点类比推理的应用题点平面几何与立体几何之间的类比答案1解析易知，故1.类型二综合法与分析法例2试用分析法和综合法分别推证下列命题：已知(0，)，求证：2si

6、n 2.考点分析法和综合法的综合应用题点分析法和综合法的综合应用证明方法一分析法要证2sin 2成立，只需证4sin cos ，(0，)，sin 0，只需证4cos ，1cos 0，4cos (1cos )1，可变形为4cos24cos 10，只需证(2cos 1)20，显然成立方法二综合法4(1cos )4，当且仅当cos ，即时取等号，4cos .(0，)，sin 0，4sin cos ，2sin 2.反思与感悟分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条件清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交

7、互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件跟踪训练2设a，b是两个正实数，且ab，求证：a3b3a2bab2.考点分析法及应用题点分析法解决不等式问题证明要证a3b3a2bab2成立，即需证(ab)(a2abb2)ab(ab)成立，即需证a2abb2ab成立只需证a22abb20成立，即需证(ab)20成立而由已知条件可知，ab，所以ab0，所以(ab)20显然成立即a3b3a2bab2.类型三反证法例3若x，y都是正实数，且xy2，求证：2与2中至少有一个成立考点反证法及应用题点反证法的应用证明假设2和0且y0，所以1x2y且1y2x，两式相加，得2xy2x2y，所以x

8、y2.这与已知xy2矛盾故2与2中至少有一个成立反思与感悟反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是”“都不是”“至少”“至多”等形式的命题时，也常用反证法跟踪训练3已知：ac2(bd)求证：方程x2axb0与方程x2cxd0中至少有一个方程有实数根考点反证法及应用题点反证法的应用证明假设两方程都没有实数根，则1a24b0与2c24d0，有a2c22ac，即ac0，b0，则有()A.2ba B.2baC.2ba D.2ba考点综合法及应用题点利用综合法解决不等式问题答案C解析因为(2ba)0，所以2ba.4用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3axb0至少有一个实根”时

9、，要做的假设是()A方程x3axb0没有实根B方程x3axb0至多有一个实数C方程x3axb0至多有两个实根D方程x3axb0恰好有两个实根考点反证法及应用题点如何正确进行反设答案A解析方程x3axb0至少有一个实根的反面是方程x3axb0没有实根，故选A.5用数学归纳法证明：(nN)考点用数学归纳法证明等式题点利用数学归纳法证明等式解(1)当n1时，左边，右边.左边右边，所以等式成立(2)假设当nk(k1，kN)时等式成立，即有，则当nk1时，.所以当nk1时，等式也成立，由(1)(2)可知，对于一切nN，等式都成立1归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明2综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法3数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题证明时，它的两个步骤缺一不可它的第一步(归纳奠基)当nn0时，结论成立第二步(归纳递推)假设当nk时，结论成立，推得当nk1时，结论也成立数学归纳法是在可靠的基础上，利用命题自身具有的传递性，运用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立