第四章 定积分 章末复习学案（含答案）

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1、章末复习学习目标1.梳理构建定积分的知识网络.2.进一步理解定积分的概念及性质，能熟练应用微积分基本定理求定积分1曲边梯形(1)由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的平面图形称为曲边梯形，如图中阴影部分所示(2)求曲边梯形面积的一般步骤分割：将区间a，bn等分；计算：过剩估计值S1；不足估计值s1.近似代替：无论用S1还是用s1表示曲边梯形的面积，误差都不会超过S1s1.2定积分的概念一般地，给定一个在区间a，b上的函数yf(x)，其图像如图所示将a，b区间分成n份，分点为：ax0x1x2xn1xnb.第i个小区间为xi1，xi，设其长度为xi，在这个小区间上取一点i，使f(i

2、)在区间xi1，xi上的值最大，设Sf(1)x1f(2)x2f(i)xif(n)xn.在这个小区间上取一点i，使f(i)在区间xi1，xi上的值最小，设sf(1)x1f(2)x2f(i)xif(n)xn.如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于0，S与s的差也趋于0，此时，S与s同时趋于某一个固定的常数A，容易验证，在每个小区间xi1，xi上任取一点1，Sf(1)x1f(2)x2f(i)xif(n)xn的值也趋于该常数A，我们称A是函数yf(x)在区间a，b上的定积分，记作f(x)dx，即f(x)dxA.其中叫作积分号，a叫作积分的下限，b叫作积分的上限，f(x)叫作被积函数3定积分的性质由定积

3、分的定义，可以得到定积分的如下性质：(1)1dxba.(2)kf(x)dxkf(x)dx(k为常数)(3)f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx.(4)f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中ac0)在曲线yx2上，若阴影部分的面积与OAP的面积相等，则x0_.考点题点答案解析由题意知x0，即x0x，解得x0或x0或x00.x00，x0.引申探究1本例中，若阴影部分面积是OAP面积的4倍，其他条件不变，求x0.解由题意4x0.x0x，即xx0，解得x0或x0或x0，x00，x0.2曲线yx2在点P(2,4)处的切线与曲线及直线y0所围成的图形的面积为多少？解由题知，曲线在点P处切线的斜

4、率为4，故曲线在点P处的切线方程为y44(x2)，即y4x4，所求图形的面积为x2dx(x24x4)dxx3|.反思与感悟解决此类问题的关键是利用定积分表示或求出相关的图形的面积跟踪训练2在曲线yx2(x0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的图形的面积为，试求：切点A的坐标以及在切点A处的切线方程考点题点解如图，设切点A(x0，y0)，其中x00，由y2x，得过点A的切线方程为yy02x0(xx0)，即y2x0xx，令y0，得x，即C.设由曲线和过点A的切线与x轴所围成的图形的面积为S，则SS曲边AOBSABC，S曲边AOBx，SABC|BC|AB|xx.Sxxx.x01，从而切点

5、为A(1,1)，切线方程为2xy10.1已知f(x)F(x)xn(nN)，则F(x)的解析式可能为()AF(x)nxnBF(x)xnCF(x)(n1)xn1DF(x)xn15考点题点答案D2一物体运动的速度与时间的关系为v(t)t2t2，物体做直线运动，则此物体在时间1,2内的位移为()A. B. C. D.考点题点答案A解析在1,2上v(t)0，故其位移为(t2t2)dt.3直线y2x1与直线x0，xm，y0围成图形的面积为6，则正数m等于()A1 B2 C3 D4考点题点答案B解析S(2x1)dx(x2x)m2m6，解得m2或3(舍)4.如图，点A的坐标为(1,0)，点C的坐标为(2,4)

6、，函数f(x)x2，四边形ABCD是矩形，则阴影区域的面积等于()A. B.C2 D.考点题点答案A解析点A的坐标为(1,0)，点C的坐标为(2,4)，函数f(x)x2，故阴影部分的面积为S(4x2)dx，故选A.5函数F(x)t(t4)dt在1,5上()A有最大值0，无最小值B有最大值0，最小值C有最小值，无最大值D既无最大值也无最小值考点题点答案C解析因为F(x)(t(t4)dt)x24x(x0)，所以F(x)无最大值，当x4时，F(x)取最小值.故选C.1求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分2利用定积分求平面图形面积的一般步骤同时，要注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负、可为零；而平面图形的面积总是非负的.