1.2 类比推理 学案（含答案）2019年北师大版数学选修2-2

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1、12类比推理学习目标1.了解类比推理的含义，能进行简单的类比推理.2.正确认识合情推理在数学中的重要作用知识点一类比推理思考科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：(1)火星也是绕太阳公转、绕轴自转的行星；(2)有大气层，在一年中也有季节更替；(3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存等由此，科学家猜想：火星上也可能有生命存在他们使用了什么样的推理？答案类比推理梳理类比推理的定义及特征定义由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理特征类比推理是两类事物特征之间的推理；利用

2、类比推理得出的结论不一定是正确的知识点二合情推理思考归纳推理与类比推理有何区别与联系？答案区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；而类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真可假梳理合情推理的定义及分类定义：根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式分类：常见的合情推理有归纳推理与类比推理1由平面三角形的性质推测四面体的性质是类比推理()2类比推理是从特殊到特殊的推理()3合乎情理的推理一定是正确的()类型一平面图形与立体图形间的类比例1如图所示，面积为S的平面凸四边形的第

3、i条边的边长记为ai(i1,2,3,4)，此四边形内任一点P到第i条边的距离记为hi(i1,2,3,4)，若k，则h12h23h34h4，类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si(i1,2,3,4)，若K，则H12H23H34H4等于多少？考点类比推理的应用题点类比推理的方法、形式和结论解对平面凸四边形：Sa1h1a2h2a3h3a4h4(kh12kh23kh34kh4)(h12h23h34h4)，所以h12h23h34h4；类比在三棱锥中，VS1H1S2H2S3H3S4H4(KH12KH23KH34KH4)(H12H23H34H4)，故H12H23H34H4.反思与感悟(1)类

4、比推理的一般步骤(2)中学阶段常见的类比知识点：等差数列与等比数列，空间与平面，圆与球等等，比如平面几何的相关结论类比到立体几何的相关类比点如下：平面图形空间图形点直线直线平面边长面积面积体积三角形四面体线线角面面角跟踪训练1在平面几何里，有勾股定理：“设ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2AC2BC2”拓展到空间(如图)，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的结论是_考点类比推理的应用题点平面几何与立体几何之间的类比答案设三棱锥ABCD的三个侧面ABC，ACD，ADB两两互相垂直，则SSSS解析类比条件：两边AB，AC互相垂直侧面ABC，ACD，ADB

5、互相垂直结论：AB2AC2BC2SSSS.类型二数列中的类比推理例2在等差数列an中，若a100，证明：等式a1a2ana1a2a19n(n19，nN)成立，并类比上述性质相应的在等比数列bn中，若b91，则有等式_成立考点类比推理的应用题点等差数列与等比数列之间的类比答案b1b2bnb1b2b17n(n17，nN)解析在等差数列an中，由a100，得a1a19a2a18ana20nan1a19n2a100，a1a2ana190，即a1a2ana19a18an1，又a1a19，a2a18，a19nan1，a1a2ana19a18an1a1a2a19n.相应地，类比此性质在等比数列bn中，可得b

6、1b2bnb1b2b17n(nbacbc”；由“a(bc)abac”类比得到“sin(AB)sin Asin B”；由“平面内，垂直于同一直线的两直线相互平行”，类比得到“空间中，垂直于同一直线的两直线相互平行”；由“分数的分子、分母同乘一个非零的数，分数值不变”类比得到“分数的分子、分母同乘一个非零的式子，分数值不变”其中正确结论的个数为()A0 B1 C2 D3考点类比推理的应用题点类比推理的方法、形式和结论答案B解析当c0时，中类比的结论不正确；显然中类比的结论不正确；空间中，垂直于同一直线的两直线可能平行，可能相交，也可能异面，故中类比的结论不一定成立；中类比的结论是正确的反思与感悟运

7、用类比推理常常先要寻找合适的类比对象，例如实数加法的对象为实数，向量加法的对象为向量，且都满足交换律与结合律，都存在逆运算，而且实数0与零向量分别在实数加法和向量加法中占有特殊的地位因此我们可以从这四个方面进行类比跟踪训练3若椭圆的左焦点为F，上顶点为B，右顶点为A，当FBAB时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率为()A. B.C.1 D.1考点类比推理的应用题点类比推理的方法、形式和结论答案A解析在RtABF中，由ABBF可得，则b2ac，即c2a2ac，可得e2e1，又由e1，则e.1下列平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较合适

8、的是()A三角形 B梯形C平行四边形 D矩形考点类比推理的应用题点平面几何与立体几何之间的类比答案C解析因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平行，故选C.2下面使用类比推理，得出的结论正确的是()A若“a3b3，则ab”类比出“若a0b0，则ab”B“若(ab)cacbc”类比出“(ab)cacbc”C“若(ab)cacbc”类比出“(c0)”D“(ab)nanbn”类比出“(ab)nanbn”考点类比推理的应用题点类比推理的方法、形式和结论答案C解析显然A，B，D不正确，只有C正确3根据“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的内切球切于四面体

9、()A各正三角形内一点B各正三角形的某高线上的点C各正三角形的中心D各正三角形外的某点考点类比推理的应用题点平面几何与立体几何之间的类比答案C解析正四面体的四个面都是正三角形，其内切球与正四面体的四个面相切于各正三角形的中心4若等差数列an的前n项和为Sn，则Sn(a1an)，类似地正项等比数列bn的前n项积Tn等于()A(b1bn) B(b1bn)C.(b1bn) D.(b1bn)考点类比推理的应用题点等差数列与等比数列之间的类比答案B解析等差数列an的前n项和为Sn(a1an)，因为等差数列中的求和类比等比数列中的乘积，所以各项均为正的等比数列bn的前n项积Tn(b1bn)，故选B.5已知

10、圆：x2y2r2上任意一点(x0，y0)处的切线方程为x0xy0yr2，类比以上结论有：双曲线1上任意一点(x0，y0)处的切线方程为_考点类比推理的应用题点平面曲线之间的类比答案1解析圆x2y2r2上任意一点(x0，y0)处的切线方程为x0xy0yr2，可以看作是圆的方程中的用x0x代替x2，用y0y代替y2而得，故类比过圆上一点的切线方程，可类比推理得出过双曲线1上一点P(x0，y0)处的切线方程为1.1进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误2多用下列技巧会提高所得结论的准确性(1)类比对象的共同属性或相似属性尽可能的多些(2)这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性(3)这些共同(相似)属性应包括类比对象的各个方面，并尽可能是多方面