第三章 导数应用 章末检测试卷（含答案）

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1、章末检测试卷(三)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1下列函数存在极值的是()Ay2x ByCy3x1 Dyx2答案D解析画出图像可知yx2存在极值0.2设f(x)x22x4ln x，则f(x)的递增区间为()A(0，) B(1,0)(2，)C(2，) D(1,0)考点利用导数求函数的单调区间题点利用导数求不含参数函数的单调区间答案C解析f(x)的定义域为(0，)，f(x)2x2，由f(x)0，可得x2.f(x)的递增区间为(2，)3函数f(x)sin x2xf，f(x)为f(x)的导函数，令a，blog32，则下列关系正确的是()Af(a)

2、f(b) Bf(a)f(b)Cf(a)f(b) Df(|a|)f(b)考点利用导数研究函数的单调性题点比较函数值的大小答案A解析因为f(x)cos x2f，所以fcos 2f，则f，故f(x)cos x10，即函数f(x)是减少的，而1abf(b)4如图所示是函数yf(x)的导函数yf(x)的图像，则下列结论正确的是()A在区间(3,1)内，f(x)是增加的B在区间(1,2)内，f(x)是减少的C在区间(4,5)内，f(x)是增加的D当x2时，f(x)取得极小值考点函数的单调性与导数的关系题点根据导函数图像确定原函数图像答案C解析由题中图像可知，当x(4,5)时，f(x)0，f(x)在(4,5

3、)内是增加的5已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图像如图所示，则下列结论一定成立的是()A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)考点函数极值的综合应用题点函数极值在函数图像上的应用答案D解析由图像可知，在x2左侧附近，y(1x)f(x)0，则f(x)0；在x2右侧附近，y(1x)f(x)0，则f(x)0，所以函数在x2处取得极大值在x1左侧附近，y(1x)f(x)0，则f(x)0，则f(x)0，则f(x)0；在x

4、2右侧附近，y(1x)f(x)0，所以函数在x2处取得极小值6函数f(x)xsin xcos x1(x0，)的最大值为()A.1 B2 C1 D0考点利用导数求函数的最值题点利用导数求不含参数函数的最值答案A解析f(x)xcos x，当x时，f(x)0，f(x)是增加的；当x时，f(x)0，f(x)是减少的，f(x)maxf1.7已知函数f(x)xaln x在区间(0,2上是减少的，则实数a的取值范围是()A(0,2) B2，)C. D.考点利用导数求函数的单调区间题点已知函数的单调性求参数(或其范围)答案B解析函数的导数为f(x)1.若函数f(x)xaln x在区间(0,2上是减少的，则等价

5、为f(x)0恒成立，即10，即1，即ax，0x2，a2，故选B.8已知函数f(x)(xR)图像上任一点(x0，f(x0)处的切线斜率为k(x02)(x01)2，则该函数的单调减区间为()A1，) B(，2C(，1)(1,2) D2，)考点利用导数求函数的单调区间题点利用导数求不含参数函数的单调区间答案B解析由已知得，f(x)(x2)(x1)2.由f(x)0，得x|x2|，则有()Aa0，b0Ba0，b0Ca0Da0，b0答案B解析由f(x)的图像易知f(x)有两个极值点x1，x2，且xx1时有极小值，f(x)3ax22bx1的图像如图所示，a|x2|，x1x2，x1x20，即x1x20，b0.

6、10已知函数f(x)的导函数f(x)a(xb)2c的图像如图所示，则函数f(x)的图像可能是()考点函数的单调性与导数的关系题点根据导函数图像确定原函数图像答案D解析由导函数图像可知，当x0时，f(x)0，函数f(x)是减少的，排除A，B；当0x0，函数f(x)是增加的，故选D.11如果函数f(x)在m，n上存在x1，x2(mx1x2n)满足f(x1)，f(x2)，则称函数f(x)是m，n上的“双中值函数”已知函数f(x)x3x2a是0，a上的“双中值函数”，则实数a的取值范围是()A. B.C. D.考点数学思想方法在导数中的应用题点转化与化归思想在导数中的应用答案C解析f(x)x3x2a，

7、f(x)3x22x，在区间0，a上存在x1，x2(0x1x2a)，满足f(x1)f(x2)a2a，方程3x22xa2a在区间(0，a)上有两个不相等的解令g(x)3x22xa2a(0xa)，解得af(x)恒成立，则()A3f(ln 2)2f(ln 3)D3f(ln 2)与2f(ln 3)的大小不确定考点利用导数研究函数的单调性题点比较函数值的大小答案A解析设g(x).因为f(x)f(x)，所以g(x)0，即函数g(x)在R上是增加的又因为ln 3ln 2，所以g(ln 3)g(ln 2)，即，即3f(ln 2)0，即1ex0，解得x0，所以所求的单调增区间为(，0)14若函数f(x)x2x在x

8、0处取极小值，则x0_.考点函数在某点处取得极值的条件题点不含参数的函数求极值问题答案解析由已知得，f(x)2x(1xln 2)，令f(x)0，解得x.当x时，f(x)时，f(x)0.所以x是f(x)的极小值点，则x0.15已知函数f(x)ax3ax22ax2a1的图像经过四个象限，则实数a的取值范围是_考点数学思想方法在导数中的应用题点分类讨论思想在导数中的应用答案解析f(x)ax2ax2aa(x1)(x2)由f(x)的图像经过四个象限知，若a0，则此时无解；若a0，则a.综上知，a.16已知函数f(x)x33x，若过点A(1，m)(m2)可作曲线yf(x)的三条切线，则实数m的取值范围为_

9、考点导数与曲线的切线问题题点切线存在性问题答案(3，2)解析f(x)3x23，设切点为P(x0，y0)，则切线方程为y(x3x0)(3x3)(xx0)切线经过点A(1，m)，m(x3x0)(3x3)(1x0)，m2x3x3，令g(x0)2x3x3，则g(x0)6x6x0，当0x01时，此函数是增加的，当x01时，此函数是减少的，当x00时，mg(0)3，当x01时，mg(1)2，当3m0时，证明：ln(1x)xx2.考点利用导数研究函数的单调性题点利用导数证明不等式证明设f(x)ln(1x)ln(x1)xx2(x0)，则f(x)1x0在(0，)上恒成立f(x)在(0，)上为增函数，f(x)f(

10、0)0，当x0时，ln(1x)xx2.19(12分)设函数f(x)ln xln(2x)ax(a0)(1)当a1时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(0,1上的最大值为，求a的值考点利用导数求函数的单调区间题点已知函数的最值求参数解函数f(x)的定义域为(0,2)，f(x)a.(1)当a1时，f(x)，所以f(x)的单调增区间为(0，)，单调减区间为(，2)(2)当x(0,1时，f(x)a0，即f(x)在(0,1上是增加的，故f(x)在(0,1上的最大值为f(1)a，因此a.20(12分)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关

11、系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数已知当销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大考点利用导数求解生活中的最值问题题点利用导数求解最大利润问题解(1)因为当x5时，y11，所以1011，所以a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y10(x6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)(x3)210(x3)(x6)2,3x0，b2，当x1,1时，求f(x)的最小值考点题点解(1)f(x)3ax23x，由f(2)6，得a1.由切线方程为y6x8，得f(2)4.又f

12、(2)8a6bb2，所以b2，所以a1，b2.(2)f(x)3ax23x3x(ax1)令f(x)0，解得x0或x，分以下两种情况讨论：若1，即0a1，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(1,0)0(0,1)f(x)0f(x)极大值f(1)a2，f(1)a2，所以f(x)minf(1)a.若01，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(1,0)0f(x)00f(x)极大值极小值f(1)a，f2.而ff(1)2a0，所以f(x)minf(1)a.综合和知，f(x)minf(1)a.22(12分)已知函数f(x)x2mln x，h(x)x2xa.(1)当a0时，f(x)h

13、(x)在(1，)上恒成立，求实数m的取值范围；(2)当m2时，若函数k(x)f(x)h(x)在区间(1,3)上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围考点函数极值的综合应用题点函数零点与方程的根解(1)由f(x)h(x)，得m在(1，)上恒成立令g(x)，则g(x)，当x(1，e)时，g(x)0，所以g(x)在(1，e)上是减少的，在(e，)上是增加的故当xe时，g(x)有最小值且最小值为g(e)e.所以me.即m的取值范围是(，e(2)由题意，得k(x)x2ln xa.令(x)x2ln x，又函数k(x)在(1,3)上恰有两个不同零点，相当于函数(x)x2ln x与直线ya有两个不同的交点(x)1，当x(1,2)时，(x)0，(x)是增加的又(1)1，(2)22ln 2，(3)32ln 3，要使直线ya与函数(x)x2ln x有两个交点，则22ln 2a32ln 3.即实数a的取值范围是(22ln 2,32ln 3)