2020北师大版高中数学选修2-2 第一章 推理与证明 章末检测试卷（含答案）

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1、章末检测试卷(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1观察下列各等式：2，2，2，2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为()A.2B.2C.2D.2考点题点答案A解析观察分子中26537110(2)8，显然A成立2不等式ab与同时成立的充要条件为()Aab0 Ba0bC.0考点分析法及应用题点寻找结论成立的充分条件答案B解析a0b.3数列an中的前四项分别为2，则an与an1之间的关系为()Aan1an6 B.3Can1 Dan1考点归纳推理的应用题点归纳推理在数列中的应用答案B解析观察数列an的各项可知，数列是首项为，公差为3的等差

2、数列，所以3.4在等差数列an中，若an0，则有a4a6a3a7，类比上述性质，在等比数列bn中，若bn0，q1，则下列有关b4，b5，b7，b8的不等关系正确的是()Ab4b8b5b7 Bb5b7b4b8Cb4b7b5b8 Db4b5b7b8考点类比推理的应用题点等差数列与等比数列之间的类比答案A5设a，b，c都是非零实数，则关于a，bc，ac，b四个数有以下说法：四个数可能都是正数；四个数可能都是负数；四个数中既有正数又有负数以上说法中正确的个数为()A0 B1C2 D3考点反证法及应用题点反证法的应用答案B解析可用反证法推出不正确，因此正确6若P，Q(a0)，则P，Q的大小关系为()AP

3、Q BPQCPQ D由a的取值确定考点综合法及应用题点综合法解决不等式问题答案C解析因为P2Q222220，所以PQ.7设an，bn是两个等差数列，若cnanbn，则cn也是等差数列，类比上述性质，设sn，tn是等比数列，则下列说法正确的是()A若rnsntn，则rn是等比数列B若rnsntn，则rn是等比数列C若rnsntn，则rn是等比数列D以上说法均不正确考点类比推理的应用题点等差数列与等比数列之间的类比答案B解析在由等差数列的运算性质类比推理到等比数列的运算性质时：加减运算类比推理为乘除运算，累加类比为累乘故由“an，bn是两个等差数列，若cnanbn，则cn是等差数列”，类比推理可得

4、：“设sn，tn是等比数列，若rnsntn，则rn是等比数列”故选B.8我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体下列几何体中，一定属于相似体的有()两个球体；两个长方体；两个正四面体；两个正三棱柱；两个正四棱锥A4个 B3个 C2个 D1个考点类比推理的应用题点平面几何与立体几何之间的类比答案C解析类比相似形中的对应边成比例知，一定属于相似体9某同学用数学归纳法证明命题：n1，nN，步骤如下：当n1时，命题显然成立假设nk(kN，k1)时命题成立，即k1，则当nk1时，(k1)1，所以当nk1时，命题成立由知，对于任意nN，命题成

5、立以上归纳法是错误的，错误在于()A当n1时，验证命题成立的过程不具体B归纳假设的写法不正确C从k到k1的推理不严密D从k到k1的推理过程未使用归纳假设考点用数学归纳法证明不等式题点利用数学归纳法证明不等式答案D解析不使用归纳假设，不是数学归纳法10甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用若这三人中仅有一人说法错误，则下列说法正确的是()A丙被录用了B乙被录用了C甲被录用了D无法确定谁被录用了考点反证法及应用题点反证法的应用答案C解析假设甲说的是真话，即丙被录用，则乙说的是假话，丙说的是假话，不成立；假

6、设甲说的是假话，即丙没有被录用，则丙说的是真话，若乙说的是真话，即甲被录用，成立，故甲被录用；若乙被录用，则甲和乙的说法都错误，不成立故选C.11设f(x)ln x,0ab，若pf()，qf，rf(a)f(b)，则下列关系式中正确的是()AqrpCprq考点综合法及应用题点利用综合法解决不等式问题答案C解析易知pf()ln ln(ab)；qfln ；rf(a)f(b)ln(ab)因为，且f(x)ln x是增函数，所以ff()，所以qpr.12有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()A26 B31 C32 D36考点归纳推理的应用题点归

7、纳推理在图形中的应用答案B解析有菱形纹的正六边形的个数如下表：图案123个数61116由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是65(61)31.故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13设S(n)，则S(2)_.考点数学归纳法定义及原理题点数学归纳法第一步：归纳奠基答案解析S(2).14函数yloga(x3)1(a0且a1)的图像恒过定点A，若点A在直线mxny10上，其中mn0，则的最小值为_考点综合法及应用题点利用综合法解决不等式问题答案8解析yloga(x3)1(a0且a1)的图像恒过

8、定点A(2，1)又点A在直线mxny10上，2mn1.又mn0，m0，n0，2mn12，当且仅当2mn，即m，n时取等号，mn，8.15观察下列图形中小正方形的个数，则第6个图中有_个小正方形，第n个图中有_个小正方形考点归纳推理的应用题点归纳推理在图形中的应用答案28解析根据规律知第6个图形中有123456728(个)小正方形第n个图形中有12(n1)个小正方形16用数学归纳法证明不等式n(a，b0，nN)，假设nk时命题成立之后，证明nk1时命题也成立的关键是将归纳假设两边同乘以_答案解析当nk时，不等式为k，当nk1时，不等式为k1，比较可知：只需将归纳假设的两边同乘以，得k1，再进一步

9、证明不等式成立即可三、解答题(本大题共6小题，共70分)17(10分)1，2能否为同一等差数列中的三项？说明理由考点反证法及应用题点反证法的应用解假设1，2能为同一等差数列中的三项，但不一定是连续的三项，设公差为d，则1md,2nd，m，n为两个正整数，消去d得m(1)n.m为有理数，(1)n为无理数左边为有理数，右边为无理数，m(1)n不成立，矛盾假设不成立，即1，2不可能为同一等差数列中的三项18(12分)已知a0，b0,2cab，求证：cac.考点分析法及应用题点分析法解决不等式问题证明要证cac，只需证ac，即证|ac|，只需证(ac)2()2，只需证a22acc2a2ab，因为a0，

10、所以只需证2cab.因为2cab已知，所以原不等式成立19(12分)在椭圆中，有一结论：过椭圆1(ab0)上不在顶点的任意一点P与长轴两端点A1，A2连线，则直线PA1与PA2斜率之积为，类比该结论推理出双曲线的类似性质，并加以证明考点类比推理的应用题点类比推理的方法、形式和结论解过双曲线1上不在顶点的任意一点P与实轴两端点A1，A2连线，则直线PA1与PA2斜率之积为.证明如下：设点P(x0，y0)，点A1(a,0)，A2(a,0)椭圆中：；双曲线中.20(12分)某同学在研究相邻三个正整数的算术平方根之间的关系时，发现以下三个式子均是正确的：2；2；2.(1)已知(1.41,1.42)，(

11、1.73,1.74)，(2.23，2.24)，请从以上三个式子中任选一个，结合此范围，验证其正确性(注意不能近似计算)；(2)请将此规律推广至一般情形，并证明考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对(组)的应用解(1)验证式成立：1.74，1.41，22.82，2.(2)一般结论为：若nN，则2，证明如下：要证2，只需证()2(2)2，即证2n224n4，即证n1，只需证n(n2)n22n1，即证01，显然成立故2.21(12分)(1)在 ABC中，ABAC，且ADBC于点D，求证：.(2)类比上述结论，在四面体ABCD中，能得到怎样的猜想？并说明理由考点类比推理的应用题点平面几何与立体几何之间的

12、类比(1)证明如图所示，由射影定理可知，AD2BDDC，AB2BDBC，AC2BCDC，.又BC2AB2AC2，.(2)解猜想：在四面体ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，且AE平面BCD，则.证明：如图所示，连接BE并延长交CD于点F，连接AF.ABAC，ABAD，AB平面ACD.又AF平面ACD，ABAF.又在RtBAF中，AEBF，.同理可得，在RtCAD中，AFCD，ACAD，故猜想正确22(12分)已知f(x)，且f(1)log162，f(2)1.(1)求函数f(x)的表达式(2)已知数列xn的项满足xn(1f(1)(1f(2)(1f(n)，试求x1，x2，x3，x4.(3)猜想xn的通项公式，并用数学归纳法证明考点数学归纳法证明数列问题题点利用数学归纳法证明数列通项问题解(1)f(1)log162，f(2)1，解得a1，b0，f(x)(x1)(2)x11f(1)1，x21f(1)1f(2)，x3(1f(3)，x4.(3)由(2)知，x1，x2，x3，x4，由此可以猜想xn.证明：当n1时，x1，而，猜想成立假设当nk(k1，kN)时，xn成立，即xk，则当nk1时，xk1(1f(1)(1f(2)(1f(k)(1f(k1)xk(1f(k1).当nk1时，猜想也成立，根据可知，对一切nN，猜想xn都成立