第一章 推理与证明 章末检测试卷（含答案）

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1、章末检测(第一章)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1实数a，b，c满足a2bc2，则()Aa，b，c都是正数Ba，b，c都大于1Ca，b，c都小于2Da，b，c中至少有一个不小于2将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：abba；(ab)ca(bc)；a(bc)abac；由abac(a0)可得bc.以上通过类比得到的结论正确的个数为()A1 B2 C3 D43已知 2， 3， 4，若 a(a，t均为正实数)，类比以上等式，可推测a，t的值，则ta等于()A41 B51C55 D714用反证法证明命题“是无理数”时，假设正

2、确的是()A假设是有理数 B假设是有理数C假设或是有理数D假设是有理数5设an，bn是两个等差数列，若cnanbn，则cn也是等差数列，类比上述性质，设sn，tn是等比数列，则下列说法正确的是()A若rnsntn，则rn是等比数列B若rnsntn，则rn是等比数列C若rnsntn，则rn是等比数列D以上说法均不正确6已知f(x1)，f(1)1(xN)，猜想f(x)的表达式为()A. B.C. D.7在用数学归纳法证明等式1232n12n2n(nN)的第(2)步中，假设当nk(k1，kN)时原等式成立，则当nk1时需要证明的等式为()A123(2k1)2(k1)12k2k2(k1)2(k1)B1

3、23(2k1)2(k1)12(k1)2(k1)C123(2k1)2k2(k1)12k2k2(k1)2(k1)D123(2k1)2k2(k1)12(k1)2(k1)8设x，y，z0，则三个数，()A都大于2B至少有一个大于2C至少有一个不小于2D至少有一个不大于29对“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断：(ab)2(bc)2(ca)20；ab与bc及ac中至少有一个成立；ac，bc，ab不能同时成立其中判断正确的个数为()A0 B1 C2 D310用数学归纳法证明1时，由nk到nk1左边需要添加的项是()A. B.C. D.11我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不

4、一定相等，但形状完全相同，就把它们叫作相似体下列几何体中，一定属于相似体的有()两个球体；两个长方体；两个正四面体；两个正三棱柱；两个正四棱锥A4个 B3个 C2个 D1个12如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为()A6 B7C8 D9二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13已知a，b，x均为正数，且ab，则与的大小关系为_14观察下列等式：(11)21，(21)(22)2213，(31)(32)(33)23135，照此规律，第n个等式可为_15在平面几何中，AB

5、C的内角平分线CE分AB所成线段的比为，把这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD中(如图所示)，面DEC平分二面角ACDB且与AB相交于E，则得到的类比的结论是_16有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是_三、解答题(本大题共6小题，共70分)17(10分)1，2能否为同一等差数列中的三项？说明理由18(12分)已知a，bR，abe(其中e是自然对数的底数)，求证：baab.19(12分)已知

6、实数p满足不等式(2p1)(p2)0，用反证法证明，关于x的方程x22x5p20无实数根20.(12分)已知函数f(x)x3x，数列an满足条件：a11，an1f(an1)(1)证明：an2n1(nN)；(2)试比较与1的大小，并说明理由21(12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数sin213cos217sin 13cos 17；sin215cos215sin 15cos 15；sin218cos212sin 18cos 12；sin2(18)cos248sin(18)cos 48；sin2(25)cos255sin(25)cos 55.(1)试从上述五个式子中

7、选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论22(12分)数列an满足a1，前n项和为Snan.(1)写出a2，a3，a4；(2)猜出an的表达式，并用数学归纳法证明答案精析1D2.B3.A4.D5.B6.B7.D8.C9.B10.D11.C12.C13.b，ba0，0，即0，ab0，要证baab，只需证aln bbln a，只需证(abe)取函数f(x)，f(x)，当xe时，f(x)be时，有f(b)f(a)，即得证19证明假设方程x22x5p20有实数根，则该方程的根的判别式44(5p2)0，解得p2或p2.而由已知条件实数p满足不等式

8、(2p1)(p2)0，解得2p.数轴上表示的图形无公共部分，故假设不成立，从而关于x的方程x22x5p20无实数根20(1)证明f(x)x21，an1(an1)21a2an.当n1时，a11211，命题成立；假设当nk(k1，kN)时命题成立，即ak2k1，那么当nk1时，ak1a2akak(ak2)(2k1)(2k12)22k12k11.即当nk1时，命题成立，综上所述，命题成立(2)解an2n1，1an2n，.11.21解(1)选择式计算如下：sin215cos215sin 15cos 151sin 30.(2)三角恒等式为sin2cos2(30)sin cos(30).证明如下：sin2

9、cos2(30)sin cos(30)sin2(cos 30cos sin 30sin )2sin (cos 30cos sin 30sin )sin2cos2sin cos sin2sin cos sin2sin2cos2.22解(1)令n2，a1，S2a2，即a1a23a2，a2.令n3，得S3a3，即a1a2a36a3，a3.令n4，得S4a4，即a1a2a3a410a4，a4.(2)猜想an，下面用数学归纳法给出证明当n1时，a1，结论成立假设当nk(k1，kN)时，结论成立，即ak，则当nk1时，Skak，Sk1ak1，即Skak1ak1.ak1ak1.ak1.当nk1时结论也成立由可知，对一切nN，都有an.