成都市中考压轴题(二次函数)精选
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1、成都市中考压轴题(二次函数)精选【2007年成都市中考数学压轴题】1在平面直角坐标系中,已知二次函数的图象与轴交于两点(点在点的左边),与轴交于点,其顶点的横坐标为1,且过点和(1)求此二次函数的表达式;(2)若直线与线段交于点(不与点重合),则是否存在这样的直线,使得以为顶点的三角形与相似?若存在,求出该直线的函数表达式及点的坐标;若不存在,请说明理由;(3)若点是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点,试比较锐角与的大小(不必证明),并写出此时点的横坐标的取值范围yx11O解:(1)二次函数图象顶点的横坐标为1,且过点和,由解得此二次函数的表达式为(2)假设存在直线与线段交于
2、点(不与点重合),使得以为顶点的三角形与相似在中,令,则由,解得yxBEAOCD令,得设过点的直线交于点,过点作轴于点点的坐标为,点的坐标为,点的坐标为要使或,已有,则只需,或成立若是,则有而在中,由勾股定理,得解得(负值舍去)点的坐标为将点的坐标代入中,求得满足条件的直线的函数表达式为或求出直线的函数表达式为,则与直线平行的直线的函数表达式为此时易知,再求出直线的函数表达式为联立求得点的坐标为若是,则有而在中,由勾股定理,得解得(负值舍去)点的坐标为将点的坐标代入中,求得满足条件的直线的函数表达式为存在直线或与线段交于点(不与点重合),使得以为顶点的三角形与相似,且点的坐标分别为或(3)设过
3、点的直线与该二次函数的图象交于点将点的坐标代入中,求得此直线的函数表达式为设点的坐标为,并代入,得解得(不合题意,舍去)xBEAOCP点的坐标为此时,锐角又二次函数的对称轴为,点关于对称轴对称的点的坐标为当时,锐角;当时,锐角;当时,锐角【2008年成都市中考数学压轴题】2. 如图,在平面直角坐标系xOy中,OAB的顶点的坐标为(10,0),顶点B在第一象限内,且=3,sinOAB=.(1)若点C是点B关于x轴的对称点,求经过O、C、A三点的抛物线的函数表达式;(2)在(1)中,抛物线上是否存在一点P,使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)
4、若将点O、点A分别变换为点Q( -2k ,0)、点R(5k,0)(k1的常数),设过Q、R两点,且以QR的垂直平分线为对称轴的抛物线与y轴的交点为N,其顶点为M,记QNM的面积为,QNR的面积,求的值.解:(1)如图,过点作于点在中,yxFP3BECDAP2P1O,又由勾股定理,得点在第一象限内,点的坐标为点关于轴对称的点的坐标为2分设经过三点的抛物线的函数表达式为由经过三点的抛物线的函数表达式为2分(2)假设在(1)中的抛物线上存在点,使以为顶点的四边形为梯形点不是抛物线的顶点,过点作直线的平行线与抛物线交于点则直线的函数表达式为对于,令或而点,在四边形中,显然点是符合要求的点1分若设直线的
5、函数表达式为将点代入,得直线的函数表达式为于是可设直线的函数表达式为将点代入,得直线的函数表达式为由,即而点,过点作轴于点,则在中,由勾股定理,得而在四边形中,但点是符合要求的点1分若设直线的函数表达式为将点代入,得直线的函数表达式为直线的函数表达式为由,即而点,过点作轴于点,则在中,由勾股定理,得而在四边形中,但点是符合要求的点1分综上可知,在(1)中的抛物线上存在点,使以为顶点的四边形为梯形1分(3)由题知,抛物线的开口可能向上,也可能向下yxQOGRMN当抛物线开口向上时,则此抛物线与轴的负半轴交于点可设抛物线的函数表达式为即如图,过点作轴于点,2分当抛物线开口向下时,则此抛物线与轴的正
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