2020年上海市杨浦区中考数学一模试卷（含答案解析）

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1、2020年上海市杨浦区中考数学一模试卷一选择题（共6小题）1将抛物线yx2向左平移1个单位，所得抛物线解析式是（）Ay（x+1）2By（x1）2Cyx2+1Dyx212在RtABC中，C90，如果AC2，cosA，那么AB的长是（）ABCD3已知、和都是非零向量，下列结论中不能判定的是（）A，B，2C2D|4如图，在66的正方形网格中，联结小正方形中两个顶点A、B，如果线段AB与网格线的其中两个交点为M、N，那么AM：MN：NB的值是（）A3：5：4B3：6：5C1：3：2D1：4：25广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠和喷头的水平距离x（米

2、）的函数解析式是yx2+6x（0x4），那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是（）A1米B2米C5米D6米6如图，在正方形ABCD中，ABP是等边三角形，AP、BP的延长线分别交边CD于点E、F，联结AC，CP，AC与BF相交于点H，下列结论中错误的是（）AAE2DEBCFPAPHCCFPAPCDCP2PHPB二填空题（共12小题）7如果cot，那么锐角 度8如果抛物线yx2+3x1+m经过原点，那么m 9二次函数y2x2+5x1的图象与y轴的交点坐标为 10已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）为抛物线y（x2）2上的两点，如果x1x22，那么y1 y2（填“”“”或“”）11在

3、比例尺为1：8000000地图上测得甲、乙两地间的图上距离为4厘米，那么甲、乙两地间的实际距离为 千米12已知点P是线段AB上的一点，且BP2APAB，如果AB10cm，那么BP cm13已知点G是ABC的重心，过点G作MNBC分别交边AB、AC于点M、N，那么 14如图，某小区门口的栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，已知栏杆AB的长为3.5米，OA的长为3米，点C到AB的距离为0.3米，支柱OE的高为0.6米，那么栏杆端点D离地面的距离为 米15如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度为 米（结果保留一位小数）【参考数据：sin310.

4、515，cos310.867，tan310.601】16如图，在四边形ABCD中，BD90，AB3，BC2，tanA，则CD 17定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线在四边形ABCD中，对角线BD是它的相似对角线，ABC70，BD平分ABC，那么ADC 度18在RtABC中，A90，AC4，ABa，将ABC沿着斜边BC翻折，点A落在点A1处，点D、E分别为边AC、BC的中点，联结DE并延长交A1B所在直线于点F，联结A1E，如果A1EF为直角三角形时，那么a 三解答题（共7小题）19抛物线yax

5、2+bx+c中，函数值y与自变量x之间的部分对应关系如表：x32101y41014（1）求该抛物线的表达式；（2）如果将该抛物线平移，使它的顶点移到点M（2，4）的位置，那么其平移的方法是 20如图，已知在梯形ABCD中，ABCD，AB12，CD7，点E在边AD上，过点E作EFAB交边BC于点F（1）求线段EF的长；（2）设，联结AF，请用向量、表示向量21如图，已知在ABC中，ACB90，sinB，延长边BA至点D，使ADAC，联结CD（1）求D的正切值；（2）取边AC的中点E，联结BE并延长交边CD于点F，求的值22某校九年级数学兴趣小组的学生进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的

6、知识测量教学楼的高度，他们先在点D处用测角仪测得楼顶M的仰角为30，再沿DF方向前行40米到达点E处，在点E处测得楼项M的仰角为45，已知测角仪的高AD为1.5米请根据他们的测量数据求此楼MF的高（结果精到0.1m，参考数据：1.414，1.732，2.449）23如图，已知在ABC中，AD是ABC的中线，DACB，点E在边AD上，CECD（1）求证：；（2）求证：AC22AEAD24已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线ymx22mx+4（m0）与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），且AB6（1）求这条抛物线的对称轴及表达式；（2）在y轴上取点E（0，2），点F为第一象限内抛物线上一点，联结

7、BF，EF，如果S四边形OEFB10，求点F的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，点F在抛物线对称轴右侧，点P在x轴上且在点B左侧，如果直线PF与y轴的夹角等于EBF，求点P的坐标25已知在菱形ABCD中，AB4，BAD120，点P是直线AB上任意一点，联结PC在PCD内部作射线CQ与对角线BD交于点Q（与B、D不重合），且PCQ30（1）如图，当点P在边AB上时，如果BP3，求线段PC的长；（2）当点P在射线BA上时，设BPx，CQy，求y关于x的函数解析式及定义域；（3）联结PQ，直线PQ与直线BC交于点E，如果QCE与BCP相似，求线段BP的长参考答案与试题解析一选择题（共6小题）1将抛

8、物线yx2向左平移1个单位，所得抛物线解析式是（）Ay（x+1）2By（x1）2Cyx2+1Dyx21【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可【解答】解：将抛物线yx2向左平移1个单位，所得抛物线解析式是y（x+1）2，故选：A2在RtABC中，C90，如果AC2，cosA，那么AB的长是（）ABCD【分析】根据cosA，求出AB即可【解答】解：在RtABC中，C90，AC2，又cosA，AB，故选：B3已知、和都是非零向量，下列结论中不能判定的是（）A，B，2C2D|【分析】根据平行向量的定义判断即可【解答】解：A、由，可以推出本选项不符合题意B、由，2，可以推出本选项不符合题意

9、C、由2，可以推出本选项不符合题意D、由|，不可以推出本选项符合题意故选：D4如图，在66的正方形网格中，联结小正方形中两个顶点A、B，如果线段AB与网格线的其中两个交点为M、N，那么AM：MN：NB的值是（）A3：5：4B3：6：5C1：3：2D1：4：2【分析】根据平行线分线段成比例定理得出即可【解答】解：，AM：MN：NB1：3：2，故选：C5广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠和喷头的水平距离x（米）的函数解析式是yx2+6x（0x4），那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是（）A1米B2米C5米D6米【分析】根据二次函数的顶

10、点式即可求解【解答】解：方法一：根据题意，得yx2+6x（0x4），（x2）2+6所以水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是2米方法二：因为对称轴x2，所以水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是2米故选：B6如图，在正方形ABCD中，ABP是等边三角形，AP、BP的延长线分别交边CD于点E、F，联结AC，CP，AC与BF相交于点H，下列结论中错误的是（）AAE2DEBCFPAPHCCFPAPCDCP2PHPB【分析】正确利用直角三角形30度角的性质即可解决问题正确，根据两角相等两个三角形相似即可判断错误通过计算证明CPACPF，即可判断正确利用相似三角形的性质即可证明【解答】解：四

11、边形ABCD是正方形，DDAB90，APB是等边三角形，PABPBAAPB60，DAE30，AE2DE，故正确，ABCD，PFEABPAPH60，AHPPBA+BAH60+45105，又BCBP，PBC30，BPCBCP75，CPF105，PHACPF，CFPAPH，故正确，CPA60+75135CPF，PFC与PCA不相似，故错误，PCHPCBBCH754530，PCHPBC，CPHBPC，PCHPBC，CP2PHPB，故正确，故选：C二填空题（共12小题）7如果cot，那么锐角30度【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而得出答案【解答】解：cot，锐角30故答案为：308如果抛物线yx2+

12、3x1+m经过原点，那么m1【分析】把原点坐标代入yx2+3x1+m中得到关于m的一次方程，然后解一次方程即可【解答】解：抛物线yx2+3x1+m经过点（0，0），1+m0，m1故答案为19二次函数y2x2+5x1的图象与y轴的交点坐标为（0，1）【分析】根据y轴上点的坐标特征计算自变量为0时的函数值即可得到交点坐标【解答】解：当x0时，y1，所以二次函数y2x2+5x1的图象与y轴的交点坐标为（0，1）故答案为（0，1）10已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）为抛物线y（x2）2上的两点，如果x1x22，那么y1y2（填“”“”或“”）【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y（x2）2的开

13、口向上，对称轴为直线x2，则在对称轴左侧，y随x的增大而减小，所以x1x22时，y1y2【解答】解：y（x2）2，a10，抛物线开口向上，抛物线y（x2）2对称轴为直线x2，x1x22，y1y2故答案为11在比例尺为1：8000000地图上测得甲、乙两地间的图上距离为4厘米，那么甲、乙两地间的实际距离为320千米【分析】根据比例尺代入数据计算即可【解答】解：设甲、乙两地的实际距离为xcm，比例尺，1：80000004：x，x32000000，甲、乙两地的实际距离为是320km，故答案为：32012已知点P是线段AB上的一点，且BP2APAB，如果AB10cm，那么BP（55）cm【分析】根据点

14、P是线段AB上的一点，且BP2APAB，列方程即可求解【解答】解：点P是线段AB上的一点APABBP10BP，BP2APAB，AB10cm，BP2（10BP）10，解得BP55故答案为：（55）13已知点G是ABC的重心，过点G作MNBC分别交边AB、AC于点M、N，那么【分析】根据三角形重心和相似三角形的判定和性质解答即可【解答】解：如图，连接AG并延长交BC于点E，点G是ABC的重心，MNBC，AMNABC，故答案为：14如图，某小区门口的栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，已知栏杆AB的长为3.5米，OA的长为3米，点C到AB的距离为0.3米，支柱OE的高为0.6米，那么栏杆端点

15、D离地面的距离为2.4米【分析】过D作DGAB于G，过C作CHAB于H，则DGCH，根据相似三角形的性质即可得到结论【解答】解：过D作DGAB于G，过C作CHAB于H，则DGCH，ODGOCH，栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，CDAB3.5m，ODOA3m，CH0.3m，OC0.5m，DG1.8m，OE0.6m，栏杆D端离地面的距离为1.8+0.62.4m故答案为：2.415如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度为6.2米（结果保留一位小数）【参考数据：sin310.515，cos310.867，tan310.601】【分析】根据题意

16、和锐角三角函数可以求得BC的长，从而可以解答本题【解答】解：在RtABC中，ACB90，BCABsinBAC120.5156.2（米），答：大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米故答案为：6.216如图，在四边形ABCD中，BD90，AB3，BC2，tanA，则CD【分析】延长AD和BC交于点E，在直角ABE中利用三角函数求得BE的长，则EC的长即可求得，然后在直角CDE中利用三角函数的定义求解【解答】解：延长AD和BC交于点E在直角ABE中，tanA，AB3，BE4，ECBEBC422，ABE和CDE中，BEDC90，EE，DCEA，直角CDE中，tanDCEtanA，设DE4x，则DC3x

17、，在直角CDE中，EC2DE2+DC2，416x2+9x2，解得：x，则CD故答案是：17定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线在四边形ABCD中，对角线BD是它的相似对角线，ABC70，BD平分ABC，那么ADC145度【分析】依据四边形的相似对角线的定义，即可得到ABDDBC，ABDC，ADBC，再根据四边形内角和为360，即可得到ADC的度数【解答】解：如图所示，ABC70，BD平分ABC，ABDDBC，又对角线BD是它的相似对角线，ABDDBC，ABDC，ADBC，A+CADC，又A+C+

18、ADC36070290，ADC145，故答案为：14518在RtABC中，A90，AC4，ABa，将ABC沿着斜边BC翻折，点A落在点A1处，点D、E分别为边AC、BC的中点，联结DE并延长交A1B所在直线于点F，联结A1E，如果A1EF为直角三角形时，那么a4或4【分析】当A1EF为直角三角形时，存在两种情况：当A1EF90时，如图1，根据对称的性质和平行线可得：A1CA1E4，根据直角三角形斜边中线的性质得：BC2A1B8，最后利用勾股定理可得AB的长；当A1FE90时，如图2，证明ABC是等腰直角三角形，可得ABAC4【解答】解：当A1EF为直角三角形时，存在两种情况：当A1EF90时，

19、如图1，A1BC与ABC关于BC所在直线对称，A1CAC4，ACBA1CB，点D，E分别为AC，BC的中点，D、E是ABC的中位线，DEAB，CDEMAN90，CDEA1EF，ACA1E，ACBA1EC，A1CBA1EC，A1CA1E4，RtA1CB中，E是斜边BC的中点，BC2A1E8，由勾股定理得：AB2BC2AC2，AB4；当A1FE90时，如图2，ADFADFB90，ABF90，A1BC与ABC关于BC所在直线对称，ABCCBA145，ABC是等腰直角三角形，ABAC4；综上所述，AB的长为4或4；故答案为：4或4；三解答题（共7小题）19抛物线yax2+bx+c中，函数值y与自变量x

20、之间的部分对应关系如表：x32101y41014（1）求该抛物线的表达式；（2）如果将该抛物线平移，使它的顶点移到点M（2，4）的位置，那么其平移的方法是向右平移3个单位，向上平移4个单位【分析】（1）将（1，0），（0，1），（1，4）代入抛物线解析式yax2+bx+c中即可得解；（2）根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可【解答】解：（1）抛物线yax2+bx+c过点（1，0），（0，1），（1，4），解得，该抛物线的表达式为yx22x1；（2）新顶点M（2，4），y（x2）2+4，yx22x1（x+1）2，抛物线的表达式为yx22x1向右平移3个单位，向上平移4个单位可得到y（x2

21、）2+4，故答案为：向右平移3个单位，向上平移4个单位20如图，已知在梯形ABCD中，ABCD，AB12，CD7，点E在边AD上，过点E作EFAB交边BC于点F（1）求线段EF的长；（2）设，联结AF，请用向量、表示向量【分析】（1）过D作DMBC交EF于N，交AB于M，则BMFNCD7，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论；（2）根据平行线分线段成比例定理即可得到结论【解答】解：（1）过D作DMBC交EF于N，交AB于M，则BMFNCD7，AMABBM1275，EN2，EFEN+FN2+79；（2）EF9，AB12，+21如图，已知在ABC中，ACB90，sinB，延长边BA至点D，使AD

22、AC，联结CD（1）求D的正切值；（2）取边AC的中点E，联结BE并延长交边CD于点F，求的值【分析】（1）作高构造直角三角形，设AC3x，表示出CG、AG、DG，再利用直角三角形的边角关系，求出D正切值；（2）过点C作CFDB，交BF的延长线于点H，相似三角形、全等三角形，进而得出HCAB5x，将：转化为求即可【解答】解：（1）过点C作CGAB，垂足为G，ACB90，ACGB，在ABC中，sinB，设AC3x，则AB5x，BC4x，sinACGsinB，AGx，CGx，DGDA+AG3x+xx，在RtDCG中，tanD；（2）过点C作CFDB，交BF的延长线于点H，则有CHFDBF，又有E是

23、AC的中点，可证CHEABE，HCAB5x，由CHFDBF得：22某校九年级数学兴趣小组的学生进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量教学楼的高度，他们先在点D处用测角仪测得楼顶M的仰角为30，再沿DF方向前行40米到达点E处，在点E处测得楼项M的仰角为45，已知测角仪的高AD为1.5米请根据他们的测量数据求此楼MF的高（结果精到0.1m，参考数据：1.414，1.732，2.449）【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造三角关系，进而可求出答案【解答】解：设MCx，MAC30，在RtMAC中，ACxMBC45，在RtMCB中，MC

24、BCx，又ABDE40，ACBCAB40，即xx40，解得：x20+2054.6，MFMC+CF54.6+1.556.1（米），答：楼MF的高56.1米23如图，已知在ABC中，AD是ABC的中线，DACB，点E在边AD上，CECD（1）求证：；（2）求证：AC22AEAD【分析】（1）先利用等腰三角形的性质，由CDCE得到CEDEDC，则可根据等角的补角相等得到AECADB，加上DACB，于是可根据有两组角对应相等的两个三角形相似判断ACEBAD（2）由DACB及公共角相等证明ACDBCA，利用相似比即可得到结论【解答】（1）证明：CDCE，CEDEDC，AEC+CED180，ADB+EDC

25、180，AECADB，DACBACEBAD；（2）DACB，ACDBCA，ACDBCA，AC2CDCB，ACEBAD，AEADBDCE，2AEAD2BDCEBCCD，AC22AEAD24已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线ymx22mx+4（m0）与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），且AB6（1）求这条抛物线的对称轴及表达式；（2）在y轴上取点E（0，2），点F为第一象限内抛物线上一点，联结BF，EF，如果S四边形OEFB10，求点F的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，点F在抛物线对称轴右侧，点P在x轴上且在点B左侧，如果直线PF与y轴的夹角等于EBF，求点P的坐标【分析】（1）根据抛物

26、线解析式求得对称轴方程为x1，结合AB6求得点A、B的坐标；然后利用待定系数法确定函数解析式；（2）如图1，联结OF，设F（t，t2+t+4），根据图形得到S四边形OEFBSOEF+SOFB，由三角形的面积公式列出方程，利用方程求得点F的横坐标，结合二次函数图象上点的坐标特征求得点F的纵坐标；（3）如图2，设PF与y轴的交点为G由tanEBOtanHFB得到：EBOHFB易推知PFBPBF故PFPB设P（a，0）由两点间的距离公式求得相关线段的长度并列出方程，通过解方程求得点P的横坐标【解答】解：（1）由ymx22mx+4m（x1）2+4m得到：抛物线对称轴为直线x1AB6，A（2，0），B（

27、4，0）将点A的坐标代入函数解析式得到：4m+4m+40，解得m故该抛物线解析式是：yx2+x+4；（2）如图1，联结OF，设F（t，t2+t+4），则S四边形OEFBSOEF+SOFB2t+4（t2+t+4）10t11，t22点F的坐标是（1，）或（2，4）；（2）由题意得，F（2，4），如图2，设PF与y轴的交点为G，tanEBO，tanHFB，tanEBOtanHFBEBOHFB又PFHEGFFBE，PFBPBFPFPB设P（a，0）则PFPB，（a4）2（a2）2+42，解得a1P（1，0）25已知在菱形ABCD中，AB4，BAD120，点P是直线AB上任意一点，联结PC在PCD内部作

28、射线CQ与对角线BD交于点Q（与B、D不重合），且PCQ30（1）如图，当点P在边AB上时，如果BP3，求线段PC的长；（2）当点P在射线BA上时，设BPx，CQy，求y关于x的函数解析式及定义域；（3）联结PQ，直线PQ与直线BC交于点E，如果QCE与BCP相似，求线段BP的长【分析】（1）如图1中，作PHBC于H解直角三角形求出BH，PH，在RtPCH中，理由勾股定理即可解决问题（2）如图1中，作PHBC于H，连接PQ，设PC交BD于O证明POQBOC，推出OPQOBC30PCQ，推出PQCQy，推出PCy，在RtPHB中，BHx，PHx，根据PC2PH2+CH2，可得结论（3）分两种情形

29、：如图2中，若直线QP交直线BC于B点左侧于E如图3中，若直线QP交直线BC于C点右侧于E分别求解即可【解答】解：（1）如图1中，作PHBC于H四边形ABCD是菱形，ABBC4，ADBC，A+ABC180，A120，PBH60，PB3，PHB90，BHPBcos60，PHPBsin60，CHBCBH4，PC（2）如图1中，作PHBC于H，连接PQ，设PC交BD于O四边形ABCD是菱形，ABDCBD30，PCQ30，PBOQCO，POBQOC，POBQOC，POQBOC，POQBOC，OPQOBC30PCQ，PQCQy，PCy，在RtPHB中，BHx，PHx，PC2PH2+CH2，3y2（x）2+（4x）2，y（0x8）（3）如图2中，若直线QP交直线BC于B点左侧于E此时CQE120，PBC60，PBC中，不存在角与CQE相等，此时QCE与BCP不可能相似如图3中，若直线QP交直线BC于C点右侧于E则CQEBQBC+QCP60CBP，PCBE，只可能BCPQCE75，作CFAB于F，则BF2，CF2，PCF45，PFCF2，此时PB2+2，综上所述，满足条件的PB的值为2+2