2018-2019学年浙江省杭州市四校八年级（下）期中数学试卷（含详细解答）

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1、2018-2019学年浙江省杭州市四校八年级（下）期中数学试卷一、选择题（每题3分，共30分）1（3分）要使得式子有意义，则x的取值范围是（）Ax2Bx2Cx2Dx22（3分）一组数据按从小到大排列为2，4，8，x，10，14若这组数据的中位数为9，则x是（）A6B8C9D103（3分）下列图形中：是中心对称图形的共有（）A1个B2个C3个D4个4（3分）烹饪大赛的菜品的评价按味道，外形，色泽三个方面进行评价（评价的满分均为100分），三个方面的重要性之比依次为7：2：1某位厨师的菜所得的分数依次为92分、88分、80分，那么这位厨师的最后得分是（）A90分B87分C89分D86分5（3分）在

2、RtABC中，ABC90，AB：BC：，AC5，则AB（）A5BCD6（3分）若关于x的方程kx2x+40有实数根，则k的取值范围是（）Ak16BkCk16，且k0Dk，且k07（3分）已知：ABC中，ABAC，求证：B90，下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤：A+B+C180，这与三角形内角和为180矛盾因此假设不成立B90假设在ABC中，B90由ABAC，得BC90，即B+C180这四个步骤正确的顺序应是（）ABCD8（3分）若关于x的一元二次方程ax2+bx10（a0）有一根为x2019，则一元二次方程a（x1）2+b（x1）1必有一根为（）AB2020C2019D20189（3

3、分）如图，是两条互相垂直的街道，且A到B，C的距离都是7km，现甲从B地走向A地，乙从A地走向C地，若两人同时出发且速度都是4km/h，则两人之间的距离为5km时，是甲出发后（）A1hB0.75hC1.2h或0.75hD1h或0.75h10（3分）如图，在RtABC中，BAC90，ACB30，AB6，点P为BC上任意一点，连结PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连结PQ，则PQ的最小值为（）A3B2C6D3二、填空题（每题4分，共24分）11（4分）一六边形的外角和为 ，内角和为 12（4分）已知xa是方程x23x50的根，代数式a23a+4的值为 13（4分）已知五个正数a，b，c

4、，d，e，平均数是m，则3a+1，3b+1，3c+1，3d+1，3e+1这五个数的平均数是 14（4分）平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，OAB的周长比BOC的周长小3cm，若AB5cm，则平行四边形ABCD的周长是 cm15（4分）在一元二次方程ax2+bx+10中，若系数a，b可以在0，1，2，3中取值，则其中有实数根的方程共有 个，写出其中有两个相等实数根的一元二次方程 16（4分）如图，在直角坐标系中，A，B为定点，A（2，3），B（4，3），定直线lAB，P是l上一动点，l到AB的距离为6，M，N分别为PA，PB的中点下列说法中：线段MN的长始终为1；PAB的周长固定不变

5、；PMN的面积固定不变； 若存在点Q使得四边形APBQ是平行四边形，则Q到MN所在直线的距离必为9其中正确的说法是 三、简答题（共66分）17（6分）计算（1）2+3（2）18（9分）用适当的方法解方程（1）2xx2（2）x23x10（3）x2+52x19（7分）已知关于x的一元二次方程x2（m+3）x+3m0（1）求证：方程总有实数根；（2）设这个方程的两个实数根分别为x1，x2，且x12+x2225，求m的值20（10分）某校举办了一次趣味数学竞赛，满分100分，学生得分均为整数，达到成绩60分及以上为合格，达到90分及以上为优秀，这次竞赛中，甲、乙两组学生成绩如下（单位：分）甲组：30，

6、60，60，60，60，60，70，90，90，100；乙组：50，60，60，60，70，70，70，70，80，90（1）以上成绩统计分析表中a 分，b 分，c 分组别平均分中位数方差合格率优秀率甲组68分a37630%乙组bc90%（2）小亮同学说：“这次竞赛我得了70分，在我们小组中属中游略偏上!”观察上面表格判断，小亮可能是甲、乙哪个组的学生？并说明理由（3）计算乙组成绩的方差和优秀率，如果你是该校数学竞赛的教练员，现在需要你选一组同学代表学校参加复赛，你会选择哪一组？并说明理由21（10分）如图，平行四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别是AB，BC的中点，连结EF

7、交BD于G，连结OE（1）证明：四边形COEF是平行四边形；（2）点G是哪些线段的中点，写出结论，并选择一组给出证明22（12分）某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000，（1）若商场连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率；（2）市场调研表明：当每台售价为2900元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，若商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，则每台冰箱的定价应为多少元？23（12分）在平行四边ABCD中，AB6cm，BCacm，P是AC对角线上的一个动点，由A向C运动（不与A，C重合），速度

8、为每秒1cm，Q是CB延长线上一点，与点P以相同的速度由B向CB延长线方向运动（不与B重合），连结PQ交AB于E（1）如图1，若ABC60，BCAB，求点P运动几秒后，BQE30；（2）如图2，在（1）的条件下，作PFAB于F，在运动过程中，线段EF长度是否发生变化，如果不变，求出EF的长；如果变化，请说明理由；（3）如图3，当BCAB时，平行四边形的面积是24cm2，那么在运动中是否存在某一时刻，点P，Q关于点E成中心对称，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由2018-2019学年浙江省杭州市四校八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共30分）1（3分）要使得式子

9、有意义，则x的取值范围是（）Ax2Bx2Cx2Dx2【分析】根据二次根式有意义，被开方数大于等于0，列不等式求解【解答】解：根据题意，得x20，解得x2故选：B【点评】本题主要考查二次根式有意义的条件的知识点，代数式的意义一般从三个方面考虑：（1）当代数式是整式时，字母可取全体实数；（2）当代数式是分式时，分式的分母不能为0；（3）当代数式是二次根式时，被开方数为非负数2（3分）一组数据按从小到大排列为2，4，8，x，10，14若这组数据的中位数为9，则x是（）A6B8C9D10【分析】根据中位数为9和数据的个数，可求出x的值【解答】解：由题意得，（8+x）29，解得：x10，故选：D【点评】

10、本题考查了中位数的知识，属于基础题，掌握中位数的定义是关键3（3分）下列图形中：是中心对称图形的共有（）A1个B2个C3个D4个【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，进行判断【解答】解：从左起第2、4个图形是中心对称图形，故选：B【点评】本题考查了中心对称图形的概念，注意掌握图形绕某一点旋转180后能够与自身重合4（3分）烹饪大赛的菜品的评价按味道，外形，色泽三个方面进行评价（评价的满分均为100分），三个方面的重要性之比依次为7：2：1某位厨师的菜所得的分数依次为92分、88分、80分，那么这位厨师

11、的最后得分是（）A90分B87分C89分D86分【分析】利用加权平均数的计算公式直接计算即可求得答案【解答】解：这位厨师的最后得分为：90（分）故选：A【点评】考查了加权平均数的计算方法，解题的关键是牢记加权平均数的计算公式，难度不大5（3分）在RtABC中，ABC90，AB：BC：，AC5，则AB（）A5BCD【分析】根据勾股定理即可得到结论【解答】解：在RtABC中，ABC90，AB：BC：，设ABx，BCx，AB2+BC2AC2，（x）2+（x）252，x，ABx，故选：B【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键6（3分）若关于x的方程kx2x+40有实数根，则k的取值范

12、围是（）Ak16BkCk16，且k0Dk，且k0【分析】分类讨论：当k0，方程变形为x+40，此一元一次方程有解；当k0，（1）24k40，方程有两个实数解，得到k且k0，然后综合两种情况即可得到实数k的取值范围【解答】解：当k0时，x+40，此时x4，有实数根；当k0时，方程kx2x+40有实数根，（1）24k40，解得：k，此时k且k0；综上，k故选：B【点评】本题主要考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac间的关系：当0时，方程有两个不相等的两个实数根；当0时，方程有两个相等的两个实数根；当0时，方程无实数根7（3分）已知：ABC中，ABAC

13、，求证：B90，下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤：A+B+C180，这与三角形内角和为180矛盾因此假设不成立B90假设在ABC中，B90由ABAC，得BC90，即B+C180这四个步骤正确的顺序应是（）ABCD【分析】通过反证法的证明步骤：假设；合情推理；导出矛盾；结论；理顺证明过程即可【解答】解：由反证法的证明步骤：假设；合情推理；导出矛盾；结论；所以题目中“已知：ABC中，ABAC，求证：B90”用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：应该为：假设B90；那么，由ABAC，得BC90，即B+C180所以A+B+C180，这与三角形内角和定理相矛盾，；因此假设不成立B90；原题

14、正确顺序为：故选：A【点评】本题考查反证法证明步骤，考查基本知识的应用，逻辑推理能力8（3分）若关于x的一元二次方程ax2+bx10（a0）有一根为x2019，则一元二次方程a（x1）2+b（x1）1必有一根为（）AB2020C2019D2018【分析】对于一元二次方程a（x1）2+b（x1）10，设tx1得到at2+bt10，利用at2+bt10有一个根为t2019得到x12019，从而可判断一元二次方程a（x1）2+b（x1）1必有一根为x2020【解答】解：对于一元二次方程a（x1）2+b（x1）10，设tx1，所以at2+bt10，而关于x的一元二次方程ax2+bx10（a0）有一根为

15、x2019，所以at2+bt10有一个根为t2019，则x12019，解得x2020，所以一元二次方程a（x1）2+b（x1）1必有一根为x2020故选：B【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解9（3分）如图，是两条互相垂直的街道，且A到B，C的距离都是7km，现甲从B地走向A地，乙从A地走向C地，若两人同时出发且速度都是4km/h，则两人之间的距离为5km时，是甲出发后（）A1hB0.75hC1.2h或0.75hD1h或0.75h【分析】根据勾股定理计算【解答】解：设甲出发后xh，两人之间的距离为5km时，根据勾股定理，得（74x）2+

16、（4x）252，32x256x+240，解得：x1或x0.75，故选：D【点评】本题考查了勾股定理及一元二次方程的应用，解题的关键是能够根据勾股定理列出一元二次方程10（3分）如图，在RtABC中，BAC90，ACB30，AB6，点P为BC上任意一点，连结PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连结PQ，则PQ的最小值为（）A3B2C6D3【分析】设PQ与AC交于点O，作OPBC于P首先求出OP，当P与P重合时，PQ的值最小，PQ的最小值2OP【解答】解：设PQ与AC交于点O，作OPBC于P如图所示：在RtABC中，ACB30，BC2AB12，AC6，四边形PAQC是平行四边形，OAOC

17、3，OPBC，ACB30，OPOC，当P与P重合时，OP的值最小，则PQ的值最小，PQ的最小值2OP3故选：D【点评】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及垂线段最短的性质，证明三角形相似是解题的关键二、填空题（每题4分，共24分）11（4分）一六边形的外角和为360，内角和为720【分析】由多边形的外角和等于360，即可求得六边形的外角和；由多边形的内角和公式180（n2），则可求得六边形的内角和【解答】解：六边形的外角和为：360；六边形的内角和为：180（62）720【点评】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识此题比较简单，注意掌握内角和公式12（4分）

18、已知xa是方程x23x50的根，代数式a23a+4的值为9【分析】利用xa是方程x23x50的根得到a23a5，然后利用整体代入的方法计算代数式的值【解答】解：xa是方程x23x50的根，a23a50，a23a5，a23a+45+49故答案为9【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解13（4分）已知五个正数a，b，c，d，e，平均数是m，则3a+1，3b+1，3c+1，3d+1，3e+1这五个数的平均数是3m+1【分析】求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可【解答】解：因为五个正数a，b，c，d，e，平均数是m，所以3a+1，3b+1，3

19、c+1，3d+1，3e+1这五个数的平均数是3m+1；故答案为：3m+1【点评】本题考查平均数的知识，属于基础题，注意掌握求平均数只要求出数据之和再除以总个数解答14（4分）平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，OAB的周长比BOC的周长小3cm，若AB5cm，则平行四边形ABCD的周长是26cm【分析】根据平行四边形性质得出OAOC，ABCD，ADBC，求出BC8cm，即可得出平行四边形的周长【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，OAOC，ABCD，ADBC，OAB的周长比OBC的周长小3cm，（BC+OC+OB）（AB+OA+OB）3cm，BCAB3cm，BCAB+3cm8cm，

20、平行四边形ABCD的周长2（AB+BC）26cm；故答案为：26【点评】本题考查了平行四边形性质的应用、三角形周长的计算，关键是能根据题意求出BC8cm15（4分）在一元二次方程ax2+bx+10中，若系数a，b可以在0，1，2，3中取值，则其中有实数根的方程共有3个，写出其中有两个相等实数根的一元二次方程x2+2x+10【分析】一元二次方程没有实数根，即0；有两个不相等的实数根，即0；有两个相等的实数根，即0；依此将a，b的取值一一代入判别式求解【解答】解：根据题意得，判别式0，即b24a0，将a，b的取值一一代入判别式，当a1时，b可以取2，3；当a2时，b可以取3；当a3时，等于任何值都

21、不符合；则其中有实数根的方程共有3个，当a1时，b2时，一元二次方程有两个相等实数根，即x2+2x+10故答案为：3；x2+2x+10【点评】本题考查一元二次方程根的判别式的性质，要熟练地掌握和运用判别式解题16（4分）如图，在直角坐标系中，A，B为定点，A（2，3），B（4，3），定直线lAB，P是l上一动点，l到AB的距离为6，M，N分别为PA，PB的中点下列说法中：线段MN的长始终为1；PAB的周长固定不变；PMN的面积固定不变； 若存在点Q使得四边形APBQ是平行四边形，则Q到MN所在直线的距离必为9其中正确的说法是【分析】根据三角形中位线打脸了判断；根据三角形的周长公式判断；根据相似

22、三角形的性质定理判断，根据平行四边形的性质判断【解答】解：点A的坐标为（2，3），点B的坐标（4，3），AB2，M，N分别为PA，PB的中点，MNAB1，正确；当点P在直线l上运动时，PA、PB发生变化，PAB的周长是变化的，错误；SPMNhMN31PMN的面积固定不变，正确；当四边形APBQ是平行四边形时，点Q到直线l的距离为12，直线l到MN所在直线的距离为3，Q到MN所在直线的距离为9，正确；故答案为：【点评】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键三、简答题（共66分）17（6分）计算（1）2+3（2）【分析】（1）

23、先将第一项化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；（2）先将第一项化为最简二次根式，并且计算括号内的减法运算，然后计算乘法即可【解答】解：（1）2+34+36；（2）【点评】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键18（9分）用适当的方法解方程（1）2xx2（2）x23x10（3）x2+52x【分析】（1）先表示方程变形为x22x0，然后利用因式分解法解方程；（2）利用公式法解方程；（3）先把方程变形为一般式，然后利用因式分解法解方程【解答】解：（1）x22x0，x（x2）0，x0或x20，所以x10，x22；（2）（3）24（1）13，x，所以x1，x2；（3）x22x+50

24、，（x）20，所以x1x2【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法也考查了公式法解一元二次方程19（7分）已知关于x的一元二次方程x2（m+3）x+3m0（1）求证：方程总有实数根；（2）设这个方程的两个实数根分别为x1，x2，且x12+x2225，求m的值【分析】（1）利用根的判别式求出关于m的代数式，整理成非负数的形式即可判定b24ac0；（2）根据一元二次方程根与系数得到两根之和和两根之积，然后把x12+x2225，转换为（x1+x2）22x1x225，然后利用前面的等式即可得到关于m的方程，

25、解方程即可求出结果【解答】（1）证明：b24ac（m+3）212mm2+6m+912mm26m+9（m3）2；又（m3）20，b24ac0，该方程总有实数根；（2）解：x1+x2m+3，x1x23m，x12+x2225，（x1+x2）22x1x225，（m+3）223m25，9+m225，m216，解得m4故m的值为4【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的根的判别式b24ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根也考查了一元二次方程的根与系数的关系：x1+x2，x1x220（10分）某校举办了一次趣味数学竞赛，满分100分，学生

26、得分均为整数，达到成绩60分及以上为合格，达到90分及以上为优秀，这次竞赛中，甲、乙两组学生成绩如下（单位：分）甲组：30，60，60，60，60，60，70，90，90，100；乙组：50，60，60，60，70，70，70，70，80，90（1）以上成绩统计分析表中a60分，b68分，c70分组别平均分中位数方差合格率优秀率甲组68分a37630%乙组bc90%（2）小亮同学说：“这次竞赛我得了70分，在我们小组中属中游略偏上!”观察上面表格判断，小亮可能是甲、乙哪个组的学生？并说明理由（3）计算乙组成绩的方差和优秀率，如果你是该校数学竞赛的教练员，现在需要你选一组同学代表学校参加复赛，你

27、会选择哪一组？并说明理由【分析】（1）根据中位数和平均数的计算公式分别进行解答即可求出a，b，c的值；（2）根据中位数的意义进行判断即可；（3）根据方差公式先求出乙组的方差，再根据方差的意义即可得出答案【解答】解：（1）甲组的中位数a60（分）；乙组的平均数是：（50+60+60+60+70+70+70+70+80+90）1068（分）；乙组的中位数c70（分）；故答案为：60，68，70；（2）根据中位数判断，甲组中位数60分，乙组中位数70分，所以小亮是在甲组（3）乙组的方差是：（5068）2+3（6068）2+4（7068）2+（8068）2+（9068）2116；乙组的优秀率是100%

28、10%；乙组的方差小于甲组，选乙组同学代表学校参加复赛【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，xn的平均数为，则方差S2（x1）2+（x2）2+（xn）2，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立本题也考查了中位数21（10分）如图，平行四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别是AB，BC的中点，连结EF交BD于G，连结OE（1）证明：四边形COEF是平行四边形；（2）点G是哪些线段的中点，写出结论，并选择一组给出证明【分析】（1）由平行四边形的性质可得AOCO，BODO，由三角形中位线定理可得EFAC，OEBC，可得结论；（2）通过证明四边

29、形OFBE是平行四边形，可求解【解答】证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，AOCO，BODO，又点E，F分别是AB，BC的中点，EFAC，OEBC四边形COEF是平行四边形（2）点G是BO，EF的中点，如图：连接OF点E，F分别是AB，BC的中点，AOCO，OEBC，OEBC，BFBCOEBF，OEBC四边形OEBF是平行四边形OGBG，EGFG，点G是BO，EF的中点【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练运用平行四边形的判定和性质是本题的关键22（12分）某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000，（1）若商场连续两次降价，每次降价的百分率相同，

30、最后以2430元售出，求每次降价的百分率；（2）市场调研表明：当每台售价为2900元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，若商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，则每台冰箱的定价应为多少元？【分析】（1）设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格降价前的价格（1降价的百分率），则第一次降价后的价格是60（1x）元，第二次后的价格是60（1x）2元，据此即可列方程求解；（2）假设下调a个50元，销售利润一台冰箱的利润销售冰箱数量，一台冰箱的利润售价进价，降低售价的同时，销售量就会提高，“一减一加”，根据每台的盈利销售的件数5000元，即可列方程求解【

31、解答】解：（1）设每次降价的百分率为x，依题意得：3000（1x）22430，解得x10.110%，x21.9（不合题意，舍去）答：每次降价的百分率是10%；（2）假设下调a个50元，依题意得：5000（40050a）（8+4a）解得a3所以下调150元，因此定价为2750元【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件23（12分）在平行四边ABCD中，AB6cm，BCacm，P是AC对角线上的一个动点，由A向C运动（不与A，C重合），速度为每秒1cm，Q是CB延长线上一点，与点P以相同的速度由B向CB延长线方向运动（不与B重合），

32、连结PQ交AB于E（1）如图1，若ABC60，BCAB，求点P运动几秒后，BQE30；（2）如图2，在（1）的条件下，作PFAB于F，在运动过程中，线段EF长度是否发生变化，如果不变，求出EF的长；如果变化，请说明理由；（3）如图3，当BCAB时，平行四边形的面积是24cm2，那么在运动中是否存在某一时刻，点P，Q关于点E成中心对称，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由【分析】（1）设点P运动t秒后，BQE30，则APQBt，由ABC60，BCAB，ABBCAC6，ACB60，因为BQE30，ACB60，所以QPC90，QC2PC，列出关于t的方程解出t的值为2秒；（2）过点P作PGBC，与

33、AB交于点G，通过证明PEGQEB，得到BEGE，再由APG是等边三角形得到AFGF，EF3；（3）当点P，Q关于点E成中心对称时，可得APG是等腰三角形，进一步得到ABC是等腰三角形，由面积S24，AB6，求出AB边上的高为4，进一步求出ACBCa5（也可以用其他方法求解，根据实际情况给分）【解答】解：（1）如图1，设点P运动t秒后，BQE30，则APQBt，ABC60，BCAB，ABC为等边三角形，ABBCAC6，ACB60，PC6t，QC6+t，BQE30，ACB60，QPC90，QC2PC，6+t2（6t），t2，即点P运动2秒后，BQE30；（2）如图2，过点P作PGBC，与AB交于

34、点G，BAC60，AGP为等边三角形，GPAPAGQBAP，GPQB，PEGQEB（ASA），BEGE，APG是等边三角形，PFAB得到AFGF，GE+GFBE+AF63；，即EF3，故在运动过程中，线段EF长度不变，EF的长为3；（3）如图3，设PQ交AB于E，过点P作PGBC，与AB交于点G，作CHAB于点H当点P，Q关于点E成中心对称时，QEPE，易证PEGQEB（ASA），GPQB，QBAP，GPAP，GPBC，CACBa平行四边形的面积是24cm2，AB6，AHBH3，CH2464，ACBC即a5故在运动中存在某一时刻，点P，Q关于点E成中心对称，此时a的值为5【点评】本题是四边形综合题，熟练掌握平行四边形与等边三角形以及全等三角形的性质是解题的关键