2018-2019学年浙江省丽水市高二（上）期末数学试卷（含详细解答）

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1、2018-2019学年浙江省丽水市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）下列直线中与直线x2y+10平行的一条是（）A2xy+10B2x4y+20C2x+4y+10D2x4y+102（5分）椭圆焦点坐标是（）A（0，1）B（1，0）C（0，3）D（3，0）3（5分）直线4x3y0与圆（x1）2+（y3）210相交所得弦长为（）A6B3CD4（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），该几何体的体积（单位：cm3）是（）ABC48D565（5分）已知m，n是两条不同直线，是不同的平面，下列命题中正确

2、的是（）A若m，n，则mnB若m，mn，则nC若m，mn，则nD若m，m，则6（5分）圆（x+2）2+y24与圆（x2）2+（y1）29的位置关系为（）A内切B相交C外切D相离7（5分）斜线段AB与平面所成的角为60，B为斜足，点P是平面上的动点且满足PAB60，则动点P的轨迹是（）A直线B抛物线C椭圆D双曲线的一支8（5分）抛物线y24x焦点为F，过点F作直线l交抛物线于A，B两点，则的最小值为（）A3BCD69（5分）椭圆+1的左焦点为F，直线xa与椭圆相交于点M、N，当FMN的周长最大时，FMN的面积是（）ABCD10（5分）如图，三棱锥DABC的三条棱DA、DB、DC两两垂直，A1是D

3、A的中点，M，N是AB上的点，AMANAB记二面角DA1MC，DA1NC，DA1BC的平面角分别为，则以下结论正确是（）ABCD11（5分）已知A为椭圆x2+2y29的左顶点，该椭圆与双曲线的渐近线在第一象限内的交点为B，若直线AB垂直于双曲线的另一条渐近线，则该双曲线的离心率为（）ABC2D12（5分）在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别在棱BB1，BC，BA上，且满足，O是平面B1GF，平面ACE与平面B1BDD1的一个公共点，设，则x+y+z（）ABCD二、填空题：本大题共7小题，其中多空题每题6分，单空题每题4分，共34分13（6分）已知直线经过点A（4，2），

4、B（1，1），则直线AB的斜率为   ，倾斜角为   14（6分）已知双曲线，则该双曲线的焦距为   ，渐近线方程为   15（6分）若一个圆锥的底面半径是母线长的一半，侧面积和它的体积的数值相等，则该圆锥的底面半径为   ，该圆锥底面直径与母线所成角的最小值为   16（4分）若实数x，y满足不等式，则x的最小值是   ，zx3y的取值范围是   17（4分）我国古代数学经典名著九章算术中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑若三棱锥PABC为鳖臑，且PA平面

5、ABC，PAAB2，且该鳖臑的外接球的表面积为9，则该鳖臑的表面积为   18（4分）已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|   19（4分）已知三棱锥PABC，ABBC，AB3，BC2，且，PC4，Q为底面ABC内部及边界上的动点，则PQ与底面ABC所成角正切值的取值范围是   三、解答题：本大题共4小题，共56分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤20（14分）已知OA，OB，OC两两垂直，OAOC3，OB2，M为OB的中点，点N在AC上，AN2NC（）求MN的长；（）若点P在线段

6、BC上，设，当APMN时，求实数的值21（14分）在平面直角坐标系下，已知A（1，0），B（2，0），动点M满足，记动点M的轨迹为C（）求曲线C的方程；（）若定点P（0，a）（a0），线段|MP|的最大值为，过点P作曲线C的切线l，求l的方程22（14分）如图，在三棱锥PABC中，F，G分别为PC，BC的中点，N为FG的中点，PM3AM（）求证：MN平面ABC；（）若PAPCACAB，BAAC，平面PAC平面ABC，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值23（14分）已知两点，P（x0，y0）为抛物线yx2上的动点，且（）当时，求PAB的面积；（）若，求实数的取值范围2018-2019学年浙江省

7、丽水市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）下列直线中与直线x2y+10平行的一条是（）A2xy+10B2x4y+20C2x+4y+10D2x4y+10【分析】由两直线平行的判定，逐个选项验证即可【解答】解：选项A，1（1）2（2）30，故不与已知直线平行；选项B，方程可化为x2y+10，以已知直线重合，故不正确；选项C，142（2）80，故不与已知直线平行；选项D，1（4）2（2）0，且11120，与已知直线平行故选：D【点评】本题考查直线的平行关系和直线方程的一般式，属基础题2（

8、5分）椭圆焦点坐标是（）A（0，1）B（1，0）C（0，3）D（3，0）【分析】根据椭圆的标准方程及基本量的平方关系，算出c1，即可得到它的焦点坐标【解答】解：椭圆的方程为，椭圆的焦点在x轴上，a25且b24，可得c1因此可得椭圆的焦点坐标为（1，0）故选：B【点评】本题给出椭圆的标准方程，求椭圆的焦点坐标考查了椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题3（5分）直线4x3y0与圆（x1）2+（y3）210相交所得弦长为（）A6B3CD【分析】利用弦长公式|AB|2，即可得出【解答】解：假设直线4x3y0与圆（x1）2+（y3）210相交所得弦为AB圆心到直线的距离d1，弦长|AB|226

9、故选：A【点评】考查学生会利用由圆的半径、弦心距及直线与圆相交截取的弦的一半所构成的直角三角形，灵活运用点到直线的距离公式，属于基础题4（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），该几何体的体积（单位：cm3）是（）ABC48D56【分析】根据三视图知该几何体是平放的四棱柱，结合图中数据求出该四棱柱的体积【解答】解：根据三视图知，该几何体是平放的四棱柱，如图所示；且该四棱柱的底面为等腰梯形，棱柱的高为4，它的体积为（2+4）4448故选：C【点评】本题考查了根据几何体三视图求体积的应用问题，是基础题5（5分）已知m，n是两条不同直线，是不同的平面，下列命题中正确的是（）A若m，n，则mnB

10、若m，mn，则nC若m，mn，则nD若m，m，则【分析】在A中，m与n相交、平行或异面；在B中，n与相交、平行或m；在C中，n或n；在D中，由面面平行的判定定理得【解答】解：由m，n是两条不同直线，是不同的平面，知：在A中，若m，n，则m与n相交、平行或异面，故A错误；在B中，若m，mn，则n与相交、平行或m，故B错误；在C中，若m，mn，则n或n，故C错误；在D中，若m，m，则由面面平行的判定定理得，故D正确故选：D【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题6（5分）圆（x+2）2+y24与圆（x2）2+（y1）29的位置关系为（）A内切B相交

11、C外切D相离【分析】求出两圆的圆心和半径，计算两圆的圆心距，将圆心距和两圆的半径之和或半径之差作对比，判断两圆的位置关系【解答】解：圆（x+2）2+y24的圆心C1（2，0），半径r2圆（x2）2+（y1）29的圆心C2（2，1），半径R3，两圆的圆心距d，R+r5，Rr1，R+rdRr，所以两圆相交，故选：B【点评】本题考查圆与圆的位置关系及其判定的方法，关键是求圆心距和两圆的半径7（5分）斜线段AB与平面所成的角为60，B为斜足，点P是平面上的动点且满足PAB60，则动点P的轨迹是（）A直线B抛物线C椭圆D双曲线的一支【分析】根据题意，PAB60为定值，可得点P的轨迹为一以AB为轴线的圆锥

12、侧面与平面的交线，则答案可求【解答】解：用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线此题中平面上的动点P满足PAB60，可理解为P在以AB为轴的圆锥的侧面上，再由斜线段AB与平面所成的角为60，可知P的轨迹符合圆锥曲线中抛物线定义故可知动点P的轨迹是抛物线故选：B【点评】本题考查抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，比较基础8（5分）抛物线y24x焦点为F，过点F作直线l交抛物线于A，B两点，则的最小值为（）A3BCD6【分析】设直线AB的方程，代入抛物线方程，根据韦达定理及抛物线的焦半径公式，求得|AF|，x10，根据函数的

13、单调性，即可求得答案【解答】解：由题意知，抛物线y24x的焦点坐标为（1，0），当斜率k存在时，设直线AB的方程为yk（x1），设A（x1，y1）、B（x2，y2），由，整理得：k2x2（2k2+4）x+k20则 x1+x2，x1x21，则x2，根据抛物线性质可知，|AF|x1+1，|BF|x2+1，|AF|（x1+1）（x1+1），x10，设f（x），x0，求导f（x），令f（x）0，则x2，当x（0，2），f（x）0，当x（2，+），f（x）0，f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+）单调递增，当x2，f（x）取最小值，f（2）3，|AF|的最小值为3，故选：A【点评】本题考查直线与抛物

14、线的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，考查函数单调性与圆锥曲线的应用，考查计算能力，属于中档题9（5分）椭圆+1的左焦点为F，直线xa与椭圆相交于点M、N，当FMN的周长最大时，FMN的面积是（）ABCD【分析】设右焦点为F，连接MF，NF，由于|MF|+|NF|MN|，可得当直线xa过右焦点时，FMN的周长最大c1把c1代入椭圆标准方程可得：1，解得y，即可得出此时FMN的面积S【解答】解：设右焦点为F，连接MF，NF，|MF|+|NF|MN|，当直线xa过右焦点时，FMN的周长最大由椭圆的定义可得：FMN的周长的最大值4a4c1把c1代入椭圆标准方程可得：1，解得y此时FMN的面积S故选：

15、C【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、三角形的三边大小关系与三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10（5分）如图，三棱锥DABC的三条棱DA、DB、DC两两垂直，A1是DA的中点，M，N是AB上的点，AMANAB记二面角DA1MC，DA1NC，DA1BC的平面角分别为，则以下结论正确是（）ABCD【分析】以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DC为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出【解答】解：三棱锥DABC的三条棱DA、DB、DC两两垂直，以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DC为z轴，建立空间直角坐标系，设ADBDCD2，则ABACBC4，AM1，AN2，

16、D（0，0，0），A1（，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），N（，0），M（，0），C（0，0，2），（，0，0），（，0），（，0），（，0，2），（0，0），（，2，0），平面A1DM的法向量（0，0，1），设平面A1MC的法向量（x，y，z），则，取x2，得（2，2，1），cos，设平面A1NC的法向量（x，y，z），则，取x2，得（2，0，1），cos，设平面A1BC的法向量（x，y，z），则，取x2，得（2，1，1），cos，故选：C【点评】本题考查二面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题11（5

17、分）已知A为椭圆x2+2y29的左顶点，该椭圆与双曲线的渐近线在第一象限内的交点为B，若直线AB垂直于双曲线的另一条渐近线，则该双曲线的离心率为（）ABC2D【分析】求出B的坐标，可得直线AB的斜率，再根据直线AB垂直于双曲线的另一条渐近线，可得c46a2c2+5a40，解得即可【解答】解：A为椭圆x2+2y29的左顶点，则A（3，0），双曲线的一条渐近线方程为yx，双曲线的另一条渐近线yx代入椭圆x2+2y29，可得（a2+2b2）x29a2，解得x，则y，即B（，），kAB，直线AB垂直于双曲线的另一条渐近线，（）1，整理可得c46a2c2+5a40，e46e2+50，解得e21（舍去）或

18、e25，e故选：D【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件建立方程关系求出a，c的关系是解决本题的关键12（5分）在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别在棱BB1，BC，BA上，且满足，O是平面B1GF，平面ACE与平面B1BDD1的一个公共点，设，则x+y+z（）ABCD【分析】根据题意画出图形，结合图形利用向量的线性表示与共面定理列出方程组求出x+y和z的值，再求和【解答】解：如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，x+y+zx+y+z，O，A，C，E四点共面，O，D，E，B1四点共面，解得x+y，z；x+y+z故选：B【点评】本题考查了空间向量的线性运算

19、与共面定理的应用问题，是中档题二、填空题：本大题共7小题，其中多空题每题6分，单空题每题4分，共34分13（6分）已知直线经过点A（4，2），B（1，1），则直线AB的斜率为1，倾斜角为【分析】利用直线的斜率公式代入数值计算即得斜率，利用斜率与倾斜角的关系，可得倾斜角【解答】解：直线经过点A（4，2），B（1，1），k，0，故答案为：1；【点评】本题考查了由直线上的两点求其斜率的问题，考查斜率与倾斜角的关系，是基础题14（6分）已知双曲线，则该双曲线的焦距为2，渐近线方程为yx【分析】直接利用双曲线的方程，求解双曲线的焦距，以及渐近线方程即可【解答】解：双曲线，则该双曲线的焦距为：2c22；渐

20、近线方程为：yx故答案为：yx【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查15（6分）若一个圆锥的底面半径是母线长的一半，侧面积和它的体积的数值相等，则该圆锥的底面半径为2，该圆锥底面直径与母线所成角的最小值为【分析】根据题意列方程求出底面半径r的值，利用直角三角形求出圆锥底面直径与母线所成角的最小值【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则母线长为l2r，所以圆锥的高为hr，由题意得：r2rr2h，解得：r2；在RtOPA中，cosPAO，所以PAO，所以该圆锥底面直径与母线所成角的最小值为故答案为：2，【点评】本题考查了圆锥的结构特征与应用问题，是基础题16（4分）若实数x，y满足不

21、等式，则x的最小值是1，zx3y的取值范围是（，2【分析】由约束条件作出可行域，求出x的范围，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合可得z的取值范围【解答】解：由实数x，y满足不等式，作出可行域如图，可得A（1，0），B（2，0）则x的最小值1；化目标函数zx3y为直线方程的斜截式yx，由图可知，当直线任意向上或向下平移，直线经过B时，则z取得最大值：2，zx3y的取值范围是（，2故答案为：1；（，2【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题17（4分）我国古代数学经典名著九章算术中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱

22、锥称为鳖臑若三棱锥PABC为鳖臑，且PA平面ABC，PAAB2，且该鳖臑的外接球的表面积为9，则该鳖臑的表面积为3+【分析】先利用球体的体积公式计算出球体的半径R，然后利用公式计算出直角ABC的外接圆直径2r（即斜边的长），从而得出AB不是该直角三角形的斜边，然后设AC为直角ABC的斜边，证明BC平面PAB，得出BCPB，从而得出三棱锥PABC的四个面全为直角三角形，并计算出各棱的长度，最后利用三角形的面积公式可求出三棱锥的表面积【解答】解：设三棱锥PABC的外接球的半径为R，则4R29，解得，设直角三角形的外接圆直径为2r，则，由于直角三角形的外接圆的直径为其斜边，所以，AB不是直角ABC的

23、斜边，则AB为该直角三角形的一条直角边，如下图所示，PA平面ABC，AB、AC平面ABC，所以，PAAB，PAAC，所以，PAC和PAB都是直角三角形，设AC为直角ABC的斜边，则ABC90，即BCAB，PA平面ABC，BC平面ABC，所以，BCPA，ABPAA，BC平面PAB，PB平面PAB，BCPB则PBC是以PBC为直角的直角三角形，且，因此，三棱锥PABC的表面积为故答案为：【点评】本题考查球体表面积以及锥体的表面积，解决本题的关键在于找出线面垂直关系，并计算出各棱的长度，考查计算能力与推理能力，属于中等题18（4分）已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A

24、，B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|20【分析】由题意作出图象，设线段MN的中点为D，连结DF1，DF2，用椭圆的定义解答即可【解答】解：如图，设线段MN的中点为D，连结DF1，DF2，则DF1，DF2，分别是AMN，BMN的中位线，则|AN|+|BN|2|DF1|+2|DF2|2（|DF1|+|DF2|）22a4520故答案为：20【点评】本题考查了椭圆的定义及点的对称的应用，属于中档题19（4分）已知三棱锥PABC，ABBC，AB3，BC2，且，PC4，Q为底面ABC内部及边界上的动点，则PQ与底面ABC所成角正切值的取值范围是，【分析】求出平面PAB与底面ABC的夹角，计算P

25、到平面ABC的距离，判断P在底面ABC上的射影O的位置，根据O到ABC内的点的距离范围得出答案【解答】解：过P作AB的垂线PM交AB于M，过M作AB的垂线MN交AC于N，则PMN为平面PAB与平面ABC所成的角在PAB中，cosPAB，AMPAcosPAB2，PMBCAB，MNAB，MNBC，又AC，MN，AN，在PAC中，cosPAC，PN在PMN中，cosPMN0，过P作PO平面ABC，垂足为O，则O在直线MN上，且OMPMcos（180PMN）1，OP显然当Q在M处时，直线PQ与平面ABC所成角取得最大值，tanPMO，当Q在C处时，直线PQ与平面ABC所成角取得最小值，又OC，tanP

26、CO故答案为：，【点评】本题考查了棱锥的结构特征，直线与平面所成的角的计算，属于中档题三、解答题：本大题共4小题，共56分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤20（14分）已知OA，OB，OC两两垂直，OAOC3，OB2，M为OB的中点，点N在AC上，AN2NC（）求MN的长；（）若点P在线段BC上，设，当APMN时，求实数的值【分析】（）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OC为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出MN的长（）B（0，2，0），设P（x，y，z），由设，得：P（0，），由此能求出的值【解答】解：（）OA，OB，OC两两垂直，OAOC3，OB2，M为OB的中点，点N在A

27、C上，AN2NC以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OC为z轴，建立空间直角坐标系，则M（0，1，0），A（3，0，0），C（0，0，3），N（1，0，2），MN的长|MN|（）B（0，2，0），设P（x，y，z），由设，得：P（0，），（3，），（1，1，2），APMN，3+0，解得【点评】本题考查线段长的求法，考查实数值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题21（14分）在平面直角坐标系下，已知A（1，0），B（2，0），动点M满足，记动点M的轨迹为C（）求曲线C的方程；（）若定点P（0，a）（a0），线段|MP|的最大值为，

28、过点P作曲线C的切线l，求l的方程【分析】（1）先将条件化简即得动点M的轨迹方程，（2）根据线段|MP|的最大值为，求出点P的坐标，根据直线和圆相切，即可求出直线l的方程【解答】解：（1）动点M满足，化简可得（x+2）2+y24曲线C的方程（x+2）2+y24；（2）定点P（0，a）（a0），线段|MP|的最大值为，+22+2，a24，a0，a2，P（0，2），设过点P与圆相切的方程为ykx+2，根据圆心到直线的距离d2，解得k0，即切线方程为y2，当k不存在时，此时过点P的直线与圆也相切，综上所述的方程为x0，或y2【点评】本题考查了点的轨迹方程，和圆的切线方程，考查了运算求解能力，属于中档

29、题22（14分）如图，在三棱锥PABC中，F，G分别为PC，BC的中点，N为FG的中点，PM3AM（）求证：MN平面ABC；（）若PAPCACAB，BAAC，平面PAC平面ABC，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值【分析】（）取FC的中点Q，连结MQ，NQ，推导出NQCG，MQAC，NQBC，从而平面MNQ平面ABC，由此能证明MN平面ABC（）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，过A作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PA与平面PBC所成角的正弦值【解答】证明：（）取FC的中点Q，连结MQ，NQ，在三棱锥PABC中，F，G分别为PC，BC的中点，N为FG的中点

30、，PM3AMNQCG，MQAC，NQBC，MQNQQ，ACBCC，平面MNQ平面ABC，MN平面MNQ，MN平面ABC；解：（）PAPCACAB，BAAC，平面PAC平面ABC，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，过A作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设PAPCACAB2，则P（0，1，），A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），（0，1，），（2，1，），（0，1，），设平面PBC的法向量（x，y，z），则，取z1，得（，1），设直线PA与平面PBC所成角为，则sin直线PA与平面PBC所成角的正弦值为【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空

31、间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题23（14分）已知两点，P（x0，y0）为抛物线yx2上的动点，且（）当时，求PAB的面积；（）若，求实数的取值范围【分析】（）根据抛物线的性质和三角形的面积公式即可求出，（）根据抛物线的性质和向量的数量积结合函数的性质即可求出【解答】解：（）当x0时，y0，过AB两点的直线方程为x+2y+20，设x与直线l的交点为Q（x1，y1），y1，|PQ|y0y1|，SPAB3（），P（x0，x02），（3，），（x01，x02+），（x0+2，x02），（3x0+3+x02+）+（3x06+x02）0，令t3x06+x02，0x0，t6，【点评】本题考查了抛物线的简单性质和向量的数量积，以及函数的性质，属于中档题