2018-2019学年浙江省绍兴市诸暨市高二（下）期末数学试卷（含详细解答）

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1、2018-2019学年浙江省绍兴市诸暨市高二（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（4分）设全集U1，2，3，4，A1，2，B2，3，则U（AB）等于（）A4B1，3，4C2，4D3，42（4分）已知i是虚数单位，i21，则计算的结果是（）A1+iB1+iC1iD1i3（4分）椭圆的焦点坐标是（）A（1，0）B（3，0）C（0，1）D（0，3）4（4分）函数f（x）x2+lnx+sinx+1的导函数是（）A2x+cos x+1B2x+cos xC2x+cos xD2x+cos x5（4分）设x是实数，则“|x1|

2、2”是“|x2|1”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件6（4分）用数学归纳法证明：“1+（1+2）+（1+2+3）+（1+2+3+n）”，由nk到nk+1时，等式左边需要添加的项是（）AB+1C+1+D7（4分）将函数ysin（2x+）的图形向左平移个单位后得到的图象关于y轴对称，则正数的最小值是（）ABCD8（4分）某几何体的三视图如图所示，当a+b4时，这个几何体的体积为（）A1BCD9（4分）已知，是单位向量，且0，向量与，共面，|1，则数量积（22）（）A定值1B定值1C最大值1，最小值1D最大值0，最小值110（4分）已知三棱锥PABC的底面ABC

3、是等边三角形，点P在平面ABC上的射影在ABC内（不包括边界），PAPBPC记PA，PB与底面所成角为，；二面角PBCA，PACB的平面角为，则，之间的大小关系等确定的是（）ABC是最小角，是最大角D只能确定，二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11（6分）（）   ，lg55   12（6分）双曲线的离心率   ；焦点到渐近线的距离   13（4分）若x，y满足不等式，则2x+y的取值范围是   14（6分）若2sin（+）3cos，则tan   ；cos2   15（6分）函数f（x）（x

4、2x1）ex（其中e2.718是自然对数的底数）的极值点是   ；极大值   16（4分）已知a，b0，则+的最小值为   17（4分）设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）2f（x），且当x（0，1时，f（x）x（x1）若对任意的x（，m，都有f（x），则m的取值范围是   三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18（14分）已知函数f（x）sin（2x+）（0）的最小正周期为（）当x0，时，求函数f（x）的值域；（）已知ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若f（），且a4，b+c5，求ABC的

5、面积19（15分）如图，在三棱锥DABC中，DADBDC，D在底面ABC上的射影E在AC上，DFAB于F（）求证：BC平行平面DEF，平面DAB平面DEF；（）若BACADC，求直线BE与平面DAB所成角的正弦值20（15分）已知数列an满足a11，且an+12an+1（nN*）（）设bnan+1（nN*），求证数列bn是等比数列；（）设cnan2n，求数列|cn|的前n项和Tn21（15分）已知F是抛物线C：y22px（p0）的焦点，点P（1，t）（t0）是抛物线C上一点，且PF2（）求t，p的值；（）过点P作两条互相垂直的直线，与抛物线C的另一交点分别是A，B若直线AB的斜率为，求AB的方

6、程；若ABC的面积为12，求AB的斜率22（15分）已知函数f（x）axln（1+x），其中aR（）讨论f（x）的单调性；（）当x1时，f（x）0恒成立，求a的值；（）确定a的所有可能取值，使得对任意的x0，f（x）ex恒成立2018-2019学年浙江省绍兴市诸暨市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（4分）设全集U1，2，3，4，A1，2，B2，3，则U（AB）等于（）A4B1，3，4C2，4D3，4【分析】直接利用补集与交集的运算法则求解即可【解答】解：集合A1，2，B2，3，AB2，

7、由全集U1，2，3，4，U（AB）1，3，4故选：B【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础知识的考查2（4分）已知i是虚数单位，i21，则计算的结果是（）A1+iB1+iC1iD1i【分析】根据虚数单位i的运算性质，直接利用复数代数形式的除法运算化简求值【解答】解：i21，故选：A【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题3（4分）椭圆的焦点坐标是（）A（1，0）B（3，0）C（0，1）D（0，3）【分析】求出椭圆的a，b，由a2b2c2，计算即可得到焦点坐标【解答】解：椭圆的a，b2，c1，则焦点为（0，1），（0，1）故选：C【点评】本题考查椭圆的方

8、程和性质，考查椭圆的a，b，c的关系，考查运算能力，属于基础题4（4分）函数f（x）x2+lnx+sinx+1的导函数是（）A2x+cos x+1B2x+cos xC2x+cos xD2x+cos x【分析】根据导数的公式即可得到结论【解答】解：由f（x）x2+lnx+sinx+1，得f'（x）故选：D【点评】本题考查了导数的基本运算，属基础题5（4分）设x是实数，则“|x1|2”是“|x2|1”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【分析】求解不等式，根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可【解答】解：设x是实数，若“|x1|2”则：2x12，即：

9、3x21，不能推出“|x2|1”若：“|x2|1”则：1x21，即：0x12，能推出“|x1|2”由充要条件的定义可知：x是实数，则“|x1|2”是“|x2|1”的必要不充分条件；故选：B【点评】本题考查了充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6（4分）用数学归纳法证明：“1+（1+2）+（1+2+3）+（1+2+3+n）”，由nk到nk+1时，等式左边需要添加的项是（）AB+1C+1+D【分析】写出nk时，左边最后一项，nk+1时，左边最后一项，由此即可得到结论【解答】解：nk时，左边最后一项为1+2+3+k，nk+1时，左边最后一项为1+2+3+（k+1），从nk到nk+1，

10、等式左边需要添加的项为一项为，故选：D【点评】本题考查数学归纳法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题7（4分）将函数ysin（2x+）的图形向左平移个单位后得到的图象关于y轴对称，则正数的最小值是（）ABCD【分析】由题意利用函数yAsin（x+）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，得出结论【解答】解：将函数ysin（2x+）的图形向左平移个单位后，可得函数ysin（2x+2+）的图象，再根据得到的图象关于y轴对称，可得2+k+，kZ，即 ，令k1，可得正数的最小值是，故选：D【点评】本题主要考查函数yAsin（x+）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题8（4分）某

11、几何体的三视图如图所示，当a+b4时，这个几何体的体积为（）A1BCD【分析】三视图复原几何体是长方体的一个角，设出棱长，利用勾股定理，基本不等式，求出最大值【解答】解：如图所示，可知AC，BD1，BCb，ABa设CDx，ADy，则x2+y26，x2+1b2，y2+1a2，消去x2，y2得a2+b28，所以（a+b）4，当且仅当ab2时等号成立，此时x，y，所以V1故选：B【点评】本题考查三视图求体积，考查基本不等式求最值，是基础题9（4分）已知，是单位向量，且0，向量与，共面，|1，则数量积（22）（）A定值1B定值1C最大值1，最小值1D最大值0，最小值1【分析】由题意可设（1，0），（0

12、，1），（x，y），再表示向量的模长与数量积【解答】解：由题意设（1，0），（0，1），则向量x+y（x，y），且|1，所以（x1，y1），所以（x1）2+（y1）21；又22（x2，y2），所以数量积（22）x（x2）+y（y2）（x1）2+（y1）22121故选：A【点评】本题考查了平面向量的数量积与模长运算问题，是基础题10（4分）已知三棱锥PABC的底面ABC是等边三角形，点P在平面ABC上的射影在ABC内（不包括边界），PAPBPC记PA，PB与底面所成角为，；二面角PBCA，PACB的平面角为，则，之间的大小关系等确定的是（）ABC是最小角，是最大角D只能确定，【分析】过P作PO平

13、面ABC，垂足为O，过O作ODAB，交AB于D，过O作OEBC，交BC于E，过O作OFAC，交AC于F，推导出OAOBOC，ABBCAC，ODOFOE，且OEOB，OFOA，由此得到结论【解答】解：如图，过P作PO平面ABC，垂足为O，过O作ODAB，交AB于D，过O作OEBC，交BC于E，过O作OFAC，交AC于F，连结OA，OB，OC，PD，PE，PF，ABC为正三角形，PAPBPC，二面角PBCA，二面角PACB的大小分别为，PA，PB与底面所成角为，PAO，PBO，PEO，PFO，OAOBOC，ABBCAC，在直角三角形OAF中，OFOAsinOAF，在直角三角形OBE中，OEOBsi

14、nOBE，OAOB，OAFOBE，则OFOE，同理可得ODOF，ODOFOE，且OEOB，OFOA，可得是最小角，是最大角，故选：C【点评】本题考查线面角、二面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11（6分）（），lg553【分析】进行分数指数幂和对数的运算即可【解答】解：，（lg5+lg2）23故答案为：【点评】考查分数指数幂和对数的运算12（6分）双曲线的离心率；焦点到渐近线的距离1【分析】利用双曲线的离心率求出b，然后求解双曲线的渐近线方程【解答】解：双曲线的a，b

15、1，可得c2，则离心率为：所以双曲线的渐近线方程为：yx焦点到渐近线的距离：1故答案为：；1【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查13（4分）若x，y满足不等式，则2x+y的取值范围是【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由x，y满足不等式作出可行域如图，令z2x+y，联立，解得A（，）此时z取得最小值，z目标函数经过B时球的最大值，联立，解得B（10，10）此时z取得最大值，z30所以，z2x+y的取值范围是，30故答案为：，30【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合

16、的解题思想方法，是中档题14（6分）若2sin（+）3cos，则tan；cos2【分析】由题意利用两角和差的三角公式、二倍角公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值【解答】解：2sin（+）3cos，即 2sin+2cos3cos，即 sin2cos，tancos2，故答案为：；【点评】本题主要考查两角和差的三角公式、二倍角公式、同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题15（6分）函数f（x）（x2x1）ex（其中e2.718是自然对数的底数）的极值点是2和1；极大值【分析】对f（x）求导，令f（x）0，解得零点，验证各区间的单调性，得出极大值和极小值【解答】解：由已知得f（x）（x2x

17、1+2x1）ex（x2+x2）ex（x+2）（x1）ex，ex0，令f（x）0，可得x2或x1，当x2时，f（x）0，即函数f（x）在（，1）上单调递增；当2x1时，f（x）0，即函数f（x）在区间（1，0）上单调递减；当x1时，f（x）0，即函数f（x）在区间（0，+）上单调递增故f（x）的极值点为2或1，且极大值为f（2），极小值为f（1）e故答案为：2和1；【点评】本题考查了利用导函数求函数极值问题，中档题16（4分）已知a，b0，则+的最小值为3【分析】+，利用基本不等式求解即可【解答】解：a，b0，+3，当且仅当，即ab1时取等号故答案为：3【点评】本题考查了基本不等式的应用，考查了

18、转化思想和转化法，属基础题17（4分）设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）2f（x），且当x（0，1时，f（x）x（x1）若对任意的x（，m，都有f（x），则m的取值范围是（，【分析】由f（x+1）2f（x），得f（x）2f（x1），分段求解析式，结合图象可得m的取值范围【解答】解：f（x+1）2f（x），f（x）2f（x1），x（0，1时，f（x）x（x1），0，x（1，2时，x1（0，1，f（x）2f（x1）2（x1）（x2），0；x（2，3时，x1（1，2，f（x）2f（x1）4（x2）（x3）1，0；x（3，4时，x1（2，3，f（x）2f（x1）8（x3）（x4）2，0当x（

19、3，4时，由8（x3）（x4），解得x或x若对任意x（，m，都有f（x），则m故答案为：（，【点评】本题考查函数与方程的综合运用，训练了函数解析式的求解及常用方法，考查数形结合的解题思想方法，属中档题三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18（14分）已知函数f（x）sin（2x+）（0）的最小正周期为（）当x0，时，求函数f（x）的值域；（）已知ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若f（），且a4，b+c5，求ABC的面积【分析】（）利用周期公式求出，求出相位的范围，利用正弦函数的值域求解函数f（x）的值域；（）求出A，利用余弦定理求出bc

20、，然后求解三角形的面积【解答】解：（）f（x）的最小正周期是，得，当时，所以，此时f（x）的值域为（）因为，所以，a2b2+c22bccosAb2+c2bc，16（b+c）23bc253bc，bc3，ABC的面积【点评】本题考查三角函数的性质以及三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力19（15分）如图，在三棱锥DABC中，DADBDC，D在底面ABC上的射影E在AC上，DFAB于F（）求证：BC平行平面DEF，平面DAB平面DEF；（）若BACADC，求直线BE与平面DAB所成角的正弦值【分析】（1）证明EFBC，从而BC平面DEF，结合ABDF，ABDE，推出AB平面DEF，即可证明平面

21、DAB平面DEF（2）在DEF中过E作DF的垂线，垂足H，说明EBH即所求线面角，通过求解三角形推出结果【解答】（1）证明：因为DADBDC，所以E，F分别是AB，AC的中点，所以EFBC，从而BC平面DEF，又ABDF，ABDE，所以AB平面DEF，从而平面DAB平面DEF（2）解：在DEF中过E作DF的垂线，垂足H，由（1）知EH平面DAB，EBH即所求线面角，由F是AB中点，ABEF得EAEB设AC2，则，所以所求线面角的正弦值为，【点评】本题考查直线与平面所成角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力20（15分）已知数列an满足a11，且an+12an+1

22、（nN*）（）设bnan+1（nN*），求证数列bn是等比数列；（）设cnan2n，求数列|cn|的前n项和Tn【分析】（）由已知数列递推式可得an+1+12（an+1），又bnan+1，得bn+12bn，从而可得数列bn是等比数列；（）由（）求得数列bn的通项公式，得到数列an的通项公式，进一步得到cn，然后分类分组求数列|cn|的前n项和Tn【解答】（）证明：由an+12an+1，得由an+1+12（an+1），又bnan+1，bn+12bn，又b1a1+120，数列bn是等比数列；（）解：由（）得，则，2n+1n22n2c10，c20，c30，且n3时，当n2时，；当n3时，Tnc1c2

23、+c3+cnc1+c2+c3+cn2（c1+c2）【点评】本题考查数列递推式，考查等比关系的确定，训练了数列的分组求和，属中档题21（15分）已知F是抛物线C：y22px（p0）的焦点，点P（1，t）（t0）是抛物线C上一点，且PF2（）求t，p的值；（）过点P作两条互相垂直的直线，与抛物线C的另一交点分别是A，B若直线AB的斜率为，求AB的方程；若ABC的面积为12，求AB的斜率【分析】（）直接利用抛物线方程，结合定义求p的值；然后求解t，（）直线AB的斜率为，设出方程，A、B坐标，与抛物线联立，然后求AB的方程；求出三角形的面积的表达式，结合ABC的面积为12，求出m，然后求AB的斜率【解

24、答】解：（）由抛物线定义得，t24，t2（）设PA方程为x1m（y2），A（x1，y1），B（x2，y2）与抛物线方程联立得y24my+8m40，从而y14m2类似可得，直线AB的斜率为，m2或，此时直线AB的方程是2x+5y0，12，m22或，或【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系，考查计算能力；22（15分）已知函数f（x）axln（1+x），其中aR（）讨论f（x）的单调性；（）当x1时，f（x）0恒成立，求a的值；（）确定a的所有可能取值，使得对任意的x0，f（x）ex恒成立【分析】（）切线导函数，通过当a0时，当a0时，判断函数的单调性即可（）由（）及f（0

25、）0知a0所以f（1）1a+lna0，令g（a）1a+lna，利用导数求出极值点，转化求解a1（）记，则 ，说明a1，由（）a1lna，aln（1+a），所以eaa+1（aR）利用放缩法，转化求解即可【解答】解：（），当a0时，函数f（x）在（1，）上单调递减；当a0时，函数f（x）在上单调递减，在上单调递增（）由（）及f（0）0知a0，所以f（1）1a+lna0，令g（a）1a+lna，则，g（a）g（1）0，所以1a+lna0，且等号当且仅当a1时成立，若当x1时，f（x）0恒成立，则a1（）记则 ，又h（0）0，故h（x）在x0的右侧递增，h'（0）0，a1，由（2）a1lna，aln（1+a），所以eaa+1（aR），当a1时，综上a的取值范围是a1【点评】本题主要考查导数法研究函数的单调性，基本思路：当函数是增函数时，导数大于等于零恒成立，当函数是减函数时，导数小于等于零恒成立，然后转化为求相应函数的最值问题注意放缩法的应用