《27.2.1相似三角形的判定》优秀PPT课件
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1、27.2相似三角形,第一课时,第二课时,第三课时,第四课时,人教版 数学 九年级 下册,27.2.1相似三角形的判定,平行线分线段成比例定理 及其推论,第一课时,返回,2,1.相似多边形的特征是什么? 2.怎样判定两个多边形相似? 3.什么叫相似比? 4.相似多边形中,最简单的就是相似三角形如果A A1, BB1,CC1, , 那么ABC与 A1B1C1相似吗?我们还有其他方法判定两个三角形相似吗?,3,1. 理解相似三角形的概念,并会用以证明和计算.,2.体会用相似符号“”表示的相似三角形之间的边,角对应关系.,素养目标,3. 掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论的应用,会用平行线判定两
2、个三角形相似并进行证明和计算.,请分别度量l3 , l4, l5.在l1 上截得的两条线段AB, BC和在l2 上截得的两条线段DE, EF的长度, AB: BC与DE:EF相等吗?任意平移l5 , 再量度AB, BC, DE, EF的长度, 它们的比值还相等吗?,猜想,l2,l1,l2,l3,l4,l5,平行线分线段成比例定理,若 ,那么,若 , 那么,即,事实上,当l3 /l4 / l5时,都可以得到 , 还可以得到 , , 等.,l1,l2,通过探究,你得到了什么规律呢?,一般地,我们有平行线分线段成比例的基本事实: 两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.,符号语言:,若ab
3、c ,则 , ,,归纳:,a,7,1. 如何理解“对应线段”? 2.“对应线段”成比例都有哪些表达形式?,【想一想】,1.如图,已知l1l2l3,下列比例式中错误的是 ( ) A. B. C. D.,D,如图,直线l3l4l5,由平行线分线段成比例的基本事实,我们可以得出图中对应成比例的线段,,把直线 l1向左或向右任意平移,这些线段依然成比例.,平行线分线段成比例定理的推论,【思考】,如果把图1中l1 , l2两条直线相交,交点A刚好落到l3上,如图2(1),所得的对应线段的比会相等吗?依据是什么?,图1,图2(1),11,【思考】如果把图1中l1 , l2两条直线相交,交点A刚好落到l4上
4、,如图2(2)所得的对应线段的比会相等吗?依据是什么?,图1,图2(2),12,平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.,归纳:,13,2.如图,l1l2l3, ,DE6,求DF的长,解:l1l2l3, . 又 ,DE6, , 解得EF4. DFDEEF6410.,例1 如图,在ABC中,DEBC,AC=4 ,AB=3,EC=1.求AD和BD.,AE=3.,解:AC=4,EC=1,, DEBC,,AD=2.25,,BD=0.75.,利用平行线分线段成比例定理及推论求线段,15,3. 如图,在ABC中,EFBC,AE=2cm, BE=6cm,FC=3cm,AF的长
5、为_,1cm,16,如图,在ABC中,D为AB上任意一点,过点D作BC的平行线DE,交AC于点E. 问题1 ADE与ABC的三个角分别相等吗? 问题2 分别度量ADE与ABC的边长,它们的边 长是否对应成比例?,相似三角形的判定定理,问题3 你认为ADE与ABC之间有什么关系?平行移动DE的位置,你的结论还成立吗?,通过度量,我们发现ADEABC, 且只要DEBC,这个结论恒成立.,【思考】1.我们通过度量三角形的边长,知道ADE ABC,但要用相似的定义去证明它,我们需要证明什么?,2.由前面的结论,我们可以得到什么?还需证明什么?,用相似的定义证明ADEABC,A,B,C,D,E,证明:在
6、ADE与ABC中,,A= A, DE/BC,ADE=B, AED=C,,过E作EF/AB交BC于F,四边形DBFE是平行四边形,F,DE=BF,ADEABC,则,已知:如图,在ABC中,DE/BC,且DE分别交AB , AC于点D、E 求证:ADEABC .,“A”型,“X”型,定理:平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成 的三角形与原三角形相似.,符号语言: DE/BC ADEABC,【讨论】过点D作与AC平行的直线与BC相交,可否证明ADEABC?如果在三角形中出现一边的平行线,那么你应该联想到什么?,【方法总结】过点D作与AC平行的直线与BC相交,仍可证明ADEABC,这与教材第3
7、1页证法雷同题目中有平行线,可得相似三角形,然后利用相似三角形的性质,可列出比例式,4. 已知:如图,ABEFCD,图中共有_对相似三角形.,3,巩固练习,(2018临安区)如图,在ABC中,DEBC,DE分别与AB,AC相交于点D,E,若AD=4,DB=2,则DE:BC的值 为( ) A B C D,A,1. 如图,在 ABC 中,EFBC,AE=2cm,BE=6cm,BC = 4 cm,EF 长( ),A,A. 1cm B. cm C. 3cm D. 2cm,2.如图,DEBC, , ; FGBC, ,则 .,3.如图,在ABC中, EFBC. ( 1 )如果E、F分别是 AB 和 AC
8、上的点, AE = BE=7, FC = 4 ,那么 AF 的长是多少?,解:,解得 AF = 4.,(2) 如果AB = 10,AE=6,AF = 5,那么 FC 的长是多少?,解:,解得 .,如图所示,如果D,E,F分别在OA,OB,OC上,且DFAC,EFBC 求证:ODOAOEOB,证明: DFAC,, EFBC,,29,如图,已知菱形 ABCD 内接于AEF,AE=5cm, AF = 4 cm,求菱形的边长.,解: 四边形 ABCD 为菱形,,CDAB,,设菱形的边长为 x cm,则CD = AD = x cm,DF = (4x )cm,, 解得 菱形的边长为 cm.,两条直线被一组
9、平行线所截,所得的对应线段成比例.,推论,平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线),所得的对应线段成比例.,相似三角形判定的引理,平行于三角形一边的直线与其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似.,基本事实,平行线分线段成比例,三边成比例的两个三角形相似,第二课时,返回,32,学习三角形全等时,我们知道,除了可以通过证明对应角相等对应边相等来判定两个三角形全等外,还有判定的简便方法(SSS、SAS、ASA、AAS)类似地,判定两个三角形相似时,是不是也存在简便的判定方法呢?,类似于判定三角形全等的SSS方法,我们能不能通过三边来判断两个三角形相似呢?,33,2. 会运用“三组对应边的
10、比相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似,并能进行相关计算与推理.,1. 复习已经学过的三角形相似的判定定理 .,素养目标,1.定义法:对应角相等,对应边的比相等的两个三角形相似.,如何判断两个三角形是否相似?, DEBC ADE ABC,2.平行法:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.,A型,X型,三边对应成比例的两三角形相似,还有没有其他简单的判断方法呢?,是否有ABCABC?,A,B,C,三边对应成比例,36,通过测量不难发现A=A,B=B,C=C,又因为两个三角形的边对应成比例,所以 ABC ABC. 下面我们用前面所学的定理证明该结
11、论.,已知:如图,在ABC和ABC中,AB:AB=AC:AC=BC:BC. 求证:ABCABC,证明:在ABC的边AB(或延长线)上截取AD=AB,D,E,过点D作DEBC交AC于点E.,又AB:AB=BC:BC=CA:CA,AD:AB=AE:AC=DE:BC,ADEABC,AD=ABAD:AB=AB:AB,DE:BC=BC:BC,EA:CA=CA:CA.,因此DE=BC,EA=CA.,ABCABC,ADEABC,由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理: 三边成比例的两个三角形相似,归纳:, ,, ABC ABC.,符号语言:,【讨论】在用三边的比判定两个三角形相似时,如何寻找对应边?,【方
12、法点拨】利用三边的比判定两个三角形相似时,应先将两个三角形的三边按大小顺序排列,然后分别计算它们对应边的比,最后由比值是否相等来确定两个三角形是否相似,例1 已知AB=4 cm,BC=6 cm ,AC=8 cm, AB =12 cm , BC=18 cm , AC=24 cm ,试说明ABC ABC., ABC ABC ,利用三边成比例判断三角形相似,解:,41,方法点拨,判定三角形相似的方法之一:如果题中给出了两个三角形的三边的长,分别算出三条对应边的比值,看是否相等,计算时最大边与最大边对应,最短边与最短边对应.,42,1.在ABC和DEF中,如果AB4,BC3,AC6;DE2.4,EF1
13、.2,FD1.6,那么这两个三角形能否相似的结论是_,理由是_,2. 如图,在大小为44的正方形网格中,是相似三角形的是( ),相似,C,三组对应边的比相等,A. 和 B. 和 C. 和 D. 和,43,例2 如图,在 RtABC 与 RtABC中,C =C = 90, 且 求证: ABCABC.,证明:由已知条件得 AB = 2 AB,AC = 2 AC,, BC 2 = AB 2AC 2 = ( 2 AB )2( 2 AC )2 = 4 AB 24 AC 2 = 4 ( AB 2AC 2 ) = 4 BC 2 = ( 2 BC )2., ABCABC., BC=2BC,,判断三角形相似,3
14、. 如图,ABC中,点 D,E,F 分别是 AB,BC,CA的中点,求证:ABCEFD, ABCEFD.,证明:ABC中,点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,,试说明BAD=CAE.,ABCADE BAC=DAE BACDAC=DAEDAC 即BAD=CAE,例3 如图已知:,解:,利用三角形相似求角相等,46,解:相等的角有BAC=DAE, B=ADE,C=E,BAD=CAE. 理由如下: 在 ABC 和 ADE 中, AB : AD = BC : DE = AC : AE, ABCADE, BAC=DAE,B= ADE ,C=E. BACCAD =DAECAD , BAD=CAE.
15、故图中相等的角有BAC=DAE, B=ADE,C=E,BAD=CAE.,4. 如图,已知 AB : AD = BC : DE = AC : AE,找出图中相等的角 (对顶角除外),并说明你的理由.,(2018临安)如图,小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分)与ABC相似的是( ) A B C D,B,1下列各组三角形一定相似的是( ) A两个直角三角形 B两个钝角三角形 C两个等腰三角形 D两个等边三角形,D,2.下列判断,不正确的是( ) A两条直角边分别是3、4和6、8的两个直角三角形相似. B斜边长和一条直角边长分别是 、 4和 、2的两个直角三角形相似. C两条边长分别是
16、7、4和14、8的两个直角三角形相似. D斜边长和一条直角边长分别是5、3和2.5、1.5的两个直角三角形相似.,C,49,3. 如图,APD=90,AP=PB=BC=CD,下列结论正确 的是( ) A. PABPCA B. PABPDA C. ABCDBA D. ABCDCA,C,4. 判断图中的两个三角形是否相似,并说明理由,解:在 ABC 中,AB BC CA,在 DEF中, DE EF FD., DEF ABC., , , ,, .,要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形框架的三边长分别为4、5、6,另一个三角形框架的一边长为2,它的另外两条边长应当是多少?你有几个答案?,方案



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