2018-2019学年浙江省丽水市高二（下）3月段考数学试卷（含详细解答）

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1、2018-2019学年浙江省丽水市高二（下）3月段考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）直线x+3y30的倾斜角为（）A30B30C120D1502（5分）如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A3m4B3m7Cm7D0m33（5分）下列四个命题为真命题的是（）A“若x+y0，则x，y互为相反数”的逆命题B“全等三角形的面积相等”的否命题C“若q1，则x2+2x+q0无实根”的逆否命题D“不等边三角形的三个内角相等”逆命题4（5分）下列求导结果正确的是（）A（1x2）12xB（cos30）sin3

2、0Cln（2x）D（）5（5分）“a1”是“直线ax+y20和直线（a2）x+ay+10垂直”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件6（5分）已知m，n是两条不同直线，是三个不同平面，则下列命题中正确的是（）A若mn，n，则mB若，则C若m，n，m，n，则D若m，n，则m，n平行、相交、异面均有可能7（5分）已知点M（a，b）在圆O：x2+y21外，则直线ax+by1与圆O的位置关系是（）A相切B相交C相离D不确定8（5分）已知圆C1：（x2）2+（y3）21，圆C2：（x3）2+（y4）29，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+

3、|PN|的最小值为（）A1B54C62D9（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P平行于平面AEF，则线段A1P长度的最小值为（）ABCD10（5分）已知F1，F2为双曲线1（a0，b0）的左右焦点，过F1的直线交双曲线左支于P，Q两点，若|PF2|F1F2|，且5|PF1|4|QF1|，则双曲线离心率为（）ABCD11（5分）已知函数f（x）与f（x）的图象如图所示，则g（x）（）A在区间（0，1）上是减函数B在区间（1，4）上是减函数C在区间（1，）上是减函数D在区间（）上是减函数12（5分）已知三

4、棱柱ABCABC，AA平面ABC，P是ABC内一点，点E，F在直线BC上运动，若直线PA和AE所成角的最小值与直线PF和平面ABC所成角的最大值相等，则满足条件的点P的轨迹是（）A圆的一部分B椭圆的一部分C抛物线的一部分D双曲线的一部分二、填空题（本大题共7小题，多空题每空3分，单空题每空4分，共34分）13（6分）双曲线x21的焦距是 ，焦点到渐近线的距离是 14（6分）九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的体积是 ，表面积是 15（6分）在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB2，点E

5、在棱AB上移动，则直线D1E与A1D所成角的大小是 ，若D1EEC，则AE 16（4分）若曲线f（x）ax2+lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是 17（4分）已知抛物线y22px的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点若3，则直线AB的斜率为 ；18（4分）已知点P（1，1），圆C：x2+y24x2，过点P的直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M（M不同于P），若|OP|OM|，则l的方程是 19（4分）如图，在矩形ABCD中，AB2，AD1，M为AB的中点，将ADM沿DM翻折在翻折过程中，当二面角ABCD的平面角最大时，其正切值为 三、解答题（本大题共4小题，共56

6、分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）20（12分）已知函数f（x）x32x2+x+1（）求函数f（x）的单调区间；（）若关于x的方程f（x）m0（mR）恰有两个不同的解，求m的值21（14分）如图，空间几何体中，四边形ABCD是边长为2的正方形，ABEF，AFEFBE1，（1）求证：BF平面ADF；（2）求直线BF与平面DCEF所成角的正弦值22（15分）设f（x）xalnx（aR）（）当a1时，求曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）当a1时，在内是否存在一实数x0，使f（x0）e1成立？请说明理由23（15分）已知F1，F2分别是椭圆1（ab0）的左，右焦点，A，B分别为

7、椭圆的上，下顶点过椭圆的右焦点F2的直线在y轴右侧交椭圆于C，D两点，且F1CD的周长为8，F2AB的周长为6（）求椭圆的方程；（）设四边形ABCD的面积为S，求S的最大值2018-2019学年浙江省丽水市高二（下）3月段考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）直线x+3y30的倾斜角为（）A30B30C120D150【分析】由直线方程求出直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求解【解答】解：直线x+3y30化成斜截式，得yx+1，直线的斜率k设直线的倾斜角为，tan，结合0，180），得150

8、故选：D【点评】本题考查直线的倾斜角，考查倾斜角与斜率的关系，是基础题2（5分）如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A3m4B3m7Cm7D0m3【分析】由题意可得，m34，求解得答案【解答】解：方程表示焦点在y轴上的椭圆，m34，即m7故选：C【点评】本题考查椭圆的标准方程与简单性质，是基础题3（5分）下列四个命题为真命题的是（）A“若x+y0，则x，y互为相反数”的逆命题B“全等三角形的面积相等”的否命题C“若q1，则x2+2x+q0无实根”的逆否命题D“不等边三角形的三个内角相等”逆命题【分析】对四个选项分写出相应的命题，并判断真假【解答】解：选项A的逆命题为“若x，y互

9、为相反数，则x+y0”，显然为真命题；选项B的否命题“不全等三角形的面积不相等”，不全等三角形的面积也可以相等，为假命题；选项C的逆否命题“若x2+2x+q0有实根，则q1”，当x2+2x+q0有实根，则44q0，解得q1，所以C为假命题；选项D的逆命题为“若三角形的三个内角相等，则该三角形是不等边三角形”，显然为假命题故选：A【点评】本题考查命题的四种形式和命题真假性的判断，属于基础题目4（5分）下列求导结果正确的是（）A（1x2）12xB（cos30）sin30Cln（2x）D（）【分析】按照基本初等函数的求导法则，求出A、B、C、D选项中正确的结果即可【解答】解：对于A，（1x2）2x，

10、A式错误；对于B，（cos30）0，B式错误；对于C，ln（2x）（2x），C式错误；对于D，D式正确故选：D【点评】本题考查了基本初等函数求导问题，解题时应按照基本初等函数的求导法则进行计算，求出正确的导数即可5（5分）“a1”是“直线ax+y20和直线（a2）x+ay+10垂直”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件【分析】根据直线垂直的等价条件求出a的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：若直线ax+y20和直线（a2）x+ay+10垂直，则a（a2）+1a0，得a2a0，得a1或a0，则“a1”是“直线ax+y20和直线（a2）x+

11、ay+10垂直”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合直线垂直的等价是解决本题的关键6（5分）已知m，n是两条不同直线，是三个不同平面，则下列命题中正确的是（）A若mn，n，则mB若，则C若m，n，m，n，则D若m，n，则m，n平行、相交、异面均有可能【分析】在A中，m或m；在B中，与相交或平行；在C中，与相交或平行；在D中，m，n平行、相交、异面均有可能【解答】解：由m，n是两条不同直线，是三个不同平面，得：在A中，若mn，n，则m或m，故A错误；在B中，若，则与相交或平行，故B错误；在C中，若m，n，m，n，则与相交或平行，故C错误；在D中，若m，n，

12、则m，n平行、相交、异面均有可能，故D正确故选：D【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题7（5分）已知点M（a，b）在圆O：x2+y21外，则直线ax+by1与圆O的位置关系是（）A相切B相交C相离D不确定【分析】由M在圆外，得到|OM|大于半径，列出不等式，再利用点到直线的距离公式表示出圆心O到直线ax+by1的距离d，根据列出的不等式判断d与r的大小即可确定出直线与圆的位置关系【解答】解：M（a，b）在圆x2+y21外，a2+b21，圆O（0，0）到直线ax+by1的距离d1r，则直线与圆的位置关系是相交故选：B【点评】

13、此题考查了直线与圆的位置关系，以及点与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，以及两点间的距离公式，熟练掌握公式是解本题的关键8（5分）已知圆C1：（x2）2+（y3）21，圆C2：（x3）2+（y4）29，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A1B54C62D【分析】求出圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A，以及半径，然后求解圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出|PM|+|PN|的最小值【解答】解：如图圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，3），半径为1，圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，由图象可知当P，

14、M，N，三点共线时，|PM|+|PN|取得最小值，|PM|+|PN|的最小值为圆C3与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即：|AC2|314454故选：B【点评】本题考查圆的对称圆的方程的求法，两个圆的位置关系，两点距离公式的应用，考查转化思想与计算能力9（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P平行于平面AEF，则线段A1P长度的最小值为（）ABCD【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段A1P长度取最小值【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC

15、为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，A（2，0，0），E（1，2，0），F（0，2，1），A1（2，0，2），（1，2，0），（2，2，1），设平面AEF的法向量（x，y，z），则，取y1，得（2，1，2），设P（a，2，c），0a2，0c2，则（a2，2，c2），A1P平行于平面AEF，2（a2）+2+2（c2）0，整理得a+c3，线段A1P长度|，当且仅当ac时，线段A1P长度取最小值故选：B【点评】本题考查线段长的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题10（5分）已知F1，F2为双曲线1（a0，b0）的左右焦点，过F1的直线交双曲

16、线左支于P，Q两点，若|PF2|F1F2|，且5|PF1|4|QF1|，则双曲线离心率为（）ABCD【分析】可得|PF1|2c2a，|QF1|PF1|，|QF2|PF1|+2a，取PF1的中点M，则F2MQP在RtQMF2中，利用勾股定理9c220a+11a20ac（舍去）或9c11a，即可求解【解答】解：如图，|PF2|F1F2|2c，且5|PF1|4|QF1|，|PF1|2c2a，|QF1|PF1|，|QF2|PF1|+2a，取PF1的中点M，则F2MQP在RtQMF2中，|MF2|2（2c）2（ca）23c2a2+2ac，|QM|2（）2|QF2|2+，9c220a+11a20ac（舍去

17、）或9c11a，故选：A【点评】考查双曲线的定义，双曲线的离心率的概念，转化思想属于中档题11（5分）已知函数f（x）与f（x）的图象如图所示，则g（x）（）A在区间（0，1）上是减函数B在区间（1，4）上是减函数C在区间（1，）上是减函数D在区间（）上是减函数【分析】结合函数图象求出f（x）f（x）0成立的x的范围即可【解答】解：结合图象：x（1，4）时，f（x）f（x）0，而g（x），而f（2）0，故g（x）在（1，）递减，故选：C【点评】本题考查了数形结合思想，考查函数的单调性问题，是一道基础题12（5分）已知三棱柱ABCABC，AA平面ABC，P是ABC内一点，点E，F在直线BC上运动

18、，若直线PA和AE所成角的最小值与直线PF和平面ABC所成角的最大值相等，则满足条件的点P的轨迹是（）A圆的一部分B椭圆的一部分C抛物线的一部分D双曲线的一部分【分析】由题意可知P到A的距离等于P到BC的距离，故而P到A的距离等于P到BC的距离，得出结论【解答】解：设三棱柱的高为h，P在平面ABC上的射影为P，则当APE共线时，直线PA和AE所成角取得最小值，不妨设最小值为，则sin，当PFBC时，直线PF和平面ABC所成角取得最大值，不妨设最大值为，则sin，当直线PA和AE所成角的最小值与直线PF和平面ABC所成角的最大值相等时，PAPF，即P到A的距离等于P到直线BC的距离，设P到BC的

19、距离为d，则PA2+h2d2+h2，P到A的距离等于P到BC的距离，P的轨迹是以A为焦点，以BC为准线的抛物线的一部分，故选：C【点评】本题考查了圆锥曲线的定义，轨迹方程的求解，考查了空间想象与推理能力，属于中档题二、填空题（本大题共7小题，多空题每空3分，单空题每空4分，共34分）13（6分）双曲线x21的焦距是4，焦点到渐近线的距离是【分析】双曲线x21中a1，b，c2，即可求出双曲线的焦距；渐近线方程；焦点到渐近线的距离【解答】解：双曲线x21中a1，b，c2，所以双曲线的焦距为2c4；渐近线方程为yx；焦点到渐近线的距离为故答案为：4，【点评】本题考查双曲线的方程与性质，确定双曲线中a

20、，b，c是关键14（6分）九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的体积是2，表面积是【分析】由三视图还原原几何体，该直三棱柱底面是等腰直角三角形，直角边长为，直三棱柱的高为2再由体积与表面积公式求解【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该直三棱柱底面是等腰直角三角形，直角边长为，直三棱柱的高为2则其体积V；表面积S故答案为：2；【点评】本题考查由三视图求面积，体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题15（6分）在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB2，点E在棱AB上移动，则直线D1E与A

21、1D所成角的大小是90，若D1EEC，则AE1【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设E（1，t，0），0t2，分别求出和，由0，能求出直线D1E与A1D所成角的大小；分别求出，由0，能求出AE的长【解答】解：在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB2，点E在棱AB上移动，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），D1（0，0，1），A（1，0，0），A1（1，0，1），C（0，2，0），设E（1，t，0），0t2，则（1，t，1），（1，0，1），1+0+10，直线D1E与A1D所成角的大小

22、是90（1，t，1），（1，2t，0），D1EEC，1+t（2t）+00，解得t1，AE1故答案为：900，1【点评】本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查线段长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用16（4分）若曲线f（x）ax2+lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是a|a0【分析】先求出函数的定义域，然后求出导函数，根据存在垂直于y轴的切线，得到此时斜率为0，问题转化为x0范围内导函数存在零点，再将之转化为g（x）2ax与存在交点，讨论a的正负进行判定即可【解答】解：由题意该函数的定义域x0，由因为存在垂直于y轴的切线，故此时斜率为0，问题转化为x0范围内导

23、函数存在零点再将之转化为g（x）2ax与存在交点当a0不符合题意，当a0时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当a0如图2，此时正好有一个交点，故有a0故答案为：a|a0【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，函数零点等有关基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题17（4分）已知抛物线y22px的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点若3，则直线AB的斜率为；【分析】设出直线方程，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系及向量等式列式求解【解答】解：抛物线y22px的焦点为F（），由题意可知直线AB的斜率存在，设直线方程为联立，得ky

24、22pykp20设A（x1，y1），B（x2，y2）则，由3，得，解得：k故答案为：【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题18（4分）已知点P（1，1），圆C：x2+y24x2，过点P的直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M（M不同于P），若|OP|OM|，则l的方程是3x+y40【分析】圆C的方程可化为（x2）2+y26，所以圆心为C（2，0），半径为，设M（x，y），运用0，化简整理求出M的轨迹方程由于|OP|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，可得ONPM，由直线垂直的条件：斜率之积为1，再由点斜式方程可得直线l的方程【解答】解

25、：圆C的方程可化为（x2）2+y26，所以圆心为C（2，0），半径为，设M（x，y），则（x2，y），（1x，1y），由题设知0，故（x2）（1x）+y（1y）0，即（x1.5）2+（y0.5）20.5由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是（x1.5）2+（y0.5）20.5M的轨迹是以点N（1.5，0.5）为圆心，为半径的圆由于|OP|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ONPM因为ON的斜率为，所以l的斜率为3，故l的方程为y13（x1），即3x+y40故答案为：3x+y40【点评】本题主要考查圆和圆的位置关系，直线和圆相交的性质，属于基础题19（4分）如图，在矩形A

26、BCD中，AB2，AD1，M为AB的中点，将ADM沿DM翻折在翻折过程中，当二面角ABCD的平面角最大时，其正切值为【分析】取CD的中点S，DM的中点为N，则有DM平面ASN，过点A作SN的垂线，垂足为O，再过O作BC的垂线，垂足为T，连结AT，则ATO是二面角ABCD的平面角，用ANS的三角函数表示ATO的正切值，利用导数可求出其最大值【解答】解：取CD的中点S，DM的中点为N，ADM是等腰三角形，ANDM，同理SNDM，ANSNN，DM平面ASN，DM平面DMBC，平面ANS平面DMBC，在四棱锥ADMBC中，过点A作SN的垂线，垂足为O，再过点O作BC的垂线，垂足为T，连结AT，AOSN

27、，AO平面ANC，平面ANS平面DMBCSN，AO平面DMBC，BC平面DMBC，AOBCOTBC，AOOTO，BC平面AOT，AT平面AOT，ATBC，ATO是二面角ABCD的平面角，设ANS，则AO，SO（1cos），OT1+（1cos），tanATO，其中（0，），令f（），则f（），令0（0，），且cos0，当（0，0）时，f（）0；当（0，）时，f（）0f（）maxf（0），（tanATO）max故答案为：【点评】本题考查二面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题三、解答题（本大题共4小题，共56分解答应写出文字说明，证明过程或

28、演算步骤）20（12分）已知函数f（x）x32x2+x+1（）求函数f（x）的单调区间；（）若关于x的方程f（x）m0（mR）恰有两个不同的解，求m的值【分析】（）解f（x）0和f（x）0可得单调递增和递减区间；（）利用导数研究函数的单调性可求得极大极小值，结合3次函数的图象可得【解答】解（）f，（x）3x24x+（12分），（6分）（）所以f（x）极大值f（1）1，（10分）所以时方程有两解； （12分）【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，属中档题21（14分）如图，空间几何体中，四边形ABCD是边长为2的正方形，ABEF，AFEFBE1，（1）求证：BF平面ADF；（2）求直线BF

29、与平面DCEF所成角的正弦值【分析】（1）求出cosFAB，BF，AFBF，再求出BFDF，由此能证明BF平面ADF（2）作FOAB于O，以OF，OB为x，y轴建立如图的空间直角坐标系，利用向量法能求出BF与平面DCEF所成角的正弦值【解答】证明：（1）等腰梯形ABEF中，AB2，EFAFBE1，cosFAB，BF，AF2+BF2AB2，AFBF，在DFB中，BF2+DF2BD2，BFDFAFDFF，BF平面ADF解：（2）作FOAB于O，以OF，OB为x，y轴建立如图的空间直角坐标系，则（0，1，0），（，），设平面DCEF的法向量（x，y，z），则，取x2，得平面DCEF的法向量为，又co

30、sBF与平面DCEF所成角的正弦值为【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题22（15分）设f（x）xalnx（aR）（）当a1时，求曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）当a1时，在内是否存在一实数x0，使f（x0）e1成立？请说明理由【分析】（）当a1时，f（x）xlnx，求得切点，得到曲线yf（x）在点（1，0）处的切线的斜率，再由直线方程点斜式求解；（）假设当a1时，在存在一点x0，使f（x0）e1成立，则只需证明x时，f（x）maxe1即可利用导数证明函数f（

31、x）在（）上递减，在（1，e）上递增，则f（x）maxmax，f（e）于是，只需证明f（e）e1或f（）e1即可然后证明f（e）e1成立，可得当a1时，在x上至少存在一点x0，使f（x0）e1成立【解答】解：（）当a1时，f（x）xlnx，f（1）1，切点为（1，1），又f（x）曲线yf（x）在点（1，0）处的切线的斜率为f（1）0所求切线方程为y10（x1），即y1；（）假设当a1时，在存在一点x0，使f（x0）e1成立，则只需证明x时，f（x）maxe1即可f（x）（x0），令f（x）0得，x11，x2a1，当a1时，a10，当x（）时，f（x）0，当x（1，e）时，f（x）0函数f（x）

32、在（）上递减，在（1，e）上递增，f（x）maxmax，f（e）于是，只需证明f（e）e1或f（）e1即可f（e）f（e1）ea（e1）0f（e）e1成立假设正确，即当a1时，在x上至少存在一点x0，使f（x0）e1成立【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求最值，考查数学转化思想方法，是中档题23（15分）已知F1，F2分别是椭圆1（ab0）的左，右焦点，A，B分别为椭圆的上，下顶点过椭圆的右焦点F2的直线在y轴右侧交椭圆于C，D两点，且F1CD的周长为8，F2AB的周长为6（）求椭圆的方程；（）设四边形ABCD的面积为S，求S的最大值【分析】（）设C（x1，y1

33、），D（x2，y2），由题意得A（0，b），B（0，b），结合已知求得a，b的值，则椭圆方程可求；（）由（）知，F2（，0），故设直线CD：，联立直线方程与椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系求得面积SSAOD+SBOC+SOCD令，t3，4），再由函数单调性求最值【解答】解：（）设C（x1，y1），D（x2，y2），由题意得A（0，b），B（0，b），又4a8，即a2，2（a+b）6，b1椭圆的方程为；（）由（）知，F2（，0），故设直线CD：，代入得，则，由x10，x20得0m23，面积SSAOD+SBOC+SOCD1令，t3，4），则S在t3，4）上递减，m0，t3时，S最大值为【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用换元法求最值，考查计算能力，是中档题