2020江西省中考数学专题复习:二次函数综合题(含答案)
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1、二次函数综合题(必考1道,9或12分)类型一与图形规律有关的探究问题(2019.23,2016.23,2014.24,2013.24)1. (2018江西样卷)已知抛物线Cn:ynx2(n1)x2n(其中n为正整数)与x轴交于An,Bn两点(点An在Bn的左边),与y轴交于点Dn.(1)填空:当n1时,点A1的坐标为_,点B1的坐标为_;当n2时,点A2的坐标为_,点B2的坐标为_;(2)猜想抛物线Cn是否经过某一个定点,若经过请写出该定点坐标并给予证明;若不经过,并说明理由;(3)判断A2D2B4的形状;猜想AnDnBn2的大小,并给予证明2. (2019南昌模拟)如图,抛物线C:yx2经过
2、变换可得到抛物线C1:y1a1x(xb1),C1与x轴的正半轴交于点A1,且其对称轴分别交抛物线C、C1于点B1、D1.此时四边形OB1A1D1恰为正方形;按上述类似方法,如图,抛物线C1:y1a1x(xb1)经过变换可得到抛物线C2:y2a2x(xb2),C2与x轴的正半轴交于点A2,且其对称轴分别交抛物线C1、C2于点B2、D2.此时四边形OB2A2D2也恰为正方形;按上述类似方法,如图,可得到抛物线C3:y3a3x(xb3)与正方形OB3A3D3,请探究以下问题:(1)填空:a1_,b1_;(2)求出C2与C3的解析式;(3)按上述类似方法,可得到抛物线Cn:ynanx(xbn)与正方形
3、OBnAnDn(n1)请用含n的代数式直接表示出Cn的解析式;当x取任意不为0的实数时,试比较y2018与y2019的函数值的大小关系,并说明理由第2题图3. (2019江西黑白卷)如图,抛物线y1x2(2m4)xm24m与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.(1)若抛物线y1x2(2m4)xm24m过点(1,0),求抛物线y1的解析式;(2)当AOCCOB时,求点C的坐标;(3)当m3时,过点(2,0)且平行于y轴的直线l与抛物线y1交于点P,抛物线y1向右平移1个单位得到抛物线y2,抛物线y2与直线l交于点Q.y1向右平移2个单位得到抛物线y3,y1向右平移n1(n为正
4、整数)个单位得到抛物线yn,抛物线yn与直线l交于点R,当四边形PARB的面积为70时,求n的值第3题图4. (2019抚州模拟)如图,已知OBB130,点A1,A2,A3,在x轴上,点B1,B2,B3,在射线BB1上,OA1B1,A1B2A2,A2B3A3,均为等边三角形,若OB1,过O、A1、B1三点的抛物线称为y1,过A1、B2、A2三点的抛物线称为y2,过An1、Bn、An三点的抛物线称为yn.(1)写出A1,A2,A3和B1,B2,B3的坐标;(2)求出抛物线y1和y2的解析式;(3)若把A2018B2019A2019沿边A2018B2019向上翻折得到四边形A2018A2019B2
5、019A2019,点A2019与A2019是对应点,请判断四边形A2018A2019B2019A2019的形状,并说明理由;(4)若抛物线yn和yn1的对称轴分别交x轴于点Cn和Cn1,连接Bn1Cn并延长交yn1的对称轴于点D,请判断Bn1Bn1D的形状(不需证明),求出Bn1D的长,并说明理由第4题图5. (2018章贡模拟)已知抛物线C1:y1a(x1)2k1(a0)交x轴于点M(2,0)和点A1(b1,0),抛物线C2:y2a(xb1)2k2交x轴于点M(2,0)和点A2(b2,0), 抛物线C3:y3a(xb2)2k3交x轴于点M(2,0)和点A3(b3,0),按此规律,抛物线Cn:
6、yna(xbn1)2kn交x轴于点M(2,0)和点An(bn,0)(其中n为正整数),我们把抛物线C1,C2,C3,Cn称为系数a的抛物线族(1)直接写出b1的值;(2)线段An1An的长为_;(3)探究如下问题:(用含a的代数式表示)抛物线C3的顶点坐标为(_,_);依此类推第n条抛物线Cn的顶点坐标为(_,_);(4)抛物线C10的顶点为N,是否存在MNA10是等腰直角三角形的情况?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由6. (2019江西样卷六)已知以直线x1为对称轴的抛物线y1与x轴交于点A1(d,0)和A2,顶点为B1,以直线x2为对称轴的抛物线y2与x轴交于点A2和A3,顶点为B
7、2,以直线xn为对称轴的抛物线yn与x轴交于点An和An1,顶点为Bn,我们把这样的抛物线y1,y2,yn对应的二次函数称为“整对称轴”二次函数(1)当0d1时:填空:A1A2_,A2A3_,A3A4_;(用含d的代数式表示)若d0.4,“整对称轴”二次函数y1,y2,yn的图象的顶点B1,B2,Bn都在直线yx上,当n的值为多少时,AnAn1Bn是直角三角形?(2)当0d1时,已知“整对称轴”二次函数y1,y2,yn的图象的开口方向都向下,且A1A2B1,A2A3B2,AnAn1Bn均为直角三角形请求出“整对称轴”二次函数y1,y2的解析式,并猜想出二次函数y2019的解析式(可以含d);请
8、通过画草图分析直线y与抛物线y1,y2,y2019的公共点个数第6题图类型二与图象变换有关的探究问题(2019.23,2017.22,2011.24,2010.24)1. (2019江西模拟)如图,在平面直角坐标系中,抛物线M:yax2bxc(a0)经过点A(1,0),且顶点为B(0,1)(1)求抛物线M的函数表达式;(2)设点F(t,0)为x轴正半轴上一点,将抛物线M绕点F旋转180得到抛物线M1.抛物线M1的顶点B1的坐标为_;当抛物线M1与线段AB有公共点时,结合函数的图象,求t的取值范围第1题图2. (2019江西定心卷)已知抛物线C1:yax22ax3 (a0)(1)当a1时,抛物线
9、C1的顶点坐标为_;将抛物线C1沿x轴翻折得到抛物线C2,则抛物线C2的解析式为_; (2)无论a为何值,直线ym与抛物线C1相交所得的线段EF(点E在点F左侧)的长度都不变,求m的值和EF的长;(3)在(2)的条件下,将抛物线C1沿直线ym翻折,得到抛物线C3,抛物线C1,C3的顶点分别记为P,Q,是否存在实数a,使得以点E,F,P,Q为顶点的四边形为正方形?若存在,请求出a的值;若不存在,请说明理由第2题图3. (2019江西样卷二)如图,已知二次函数L1:ymx22mx3m1(m1)和二次函数L2:ym(x3)24m1(m1)图象的顶点分别为点M、N,与x轴分别相交于A、B两点(点A在点
10、B的左边)和C、D两点(点C在点D的左边)(1)函数ymx22mx3m1(m1)的顶点坐标为_;当二次函数L1,L2的y值同时随着x的增大而增大时,则x的取值范围是_;(2)当ADMN时,判断四边形AMDN的形状(直接写出,不必证明);(3)抛物线L1,L2均会分别经过某些定点求所有定点的坐标;若抛物线L1位置固定不变,通过平移抛物线L2的位置使这些定点组成的图形为菱形,则抛物线L2应平移的距离是多少?4. (2017江西样卷二)已知抛物线C1:y1a1x2b1xc1中,函数值y1与自变量x之间的部分对应关系如下表:x321134y141041625(1)设抛物线C1的顶点为P,则点P的坐标为
11、_;(2)现将抛物线C1沿x轴翻折,得到抛物线C2:y2a2x2b2xc2,试求抛物线C2的解析式;(3)现将抛物线C2向下平移,设抛物线在平移过程中,顶点为点D,与x轴的两交点为点A、B.在最初的状态下,至少向下平移多少个单位,点A、B之间的距离不小于6个单位?在最初的状态下,若向下平移m(m0)个单位时,对应的线段AB长为n,请直接写出m与n的等量关系5. (2019江西模拟)将抛物线y(x1)2向右平移2个单位,再向上平移4个单位得抛物线m,抛物线m交x轴于A,B(点A在B的左侧)两点,交y轴于点C,过点C且平行于x轴的直线与抛物线m交于另一点D.(1)求抛物线m的解析式及点D的坐标,在
12、如图所示的坐标系中画出抛物线m的示意图;(2)P是抛物线上一动点,点E在x轴上,若以A,E,D,P为顶点的四边形是平行四边形,求此时点P的坐标;(3)M是抛物线上一动点,当M点在抛物线m的对称轴右侧时,过点M作直线CD的垂线,垂足为N,若将CMN沿CM翻折,点N的对应点为N.是否存在点M,使N恰好落在x轴上?若存在,求出此时点M的坐标;若不存在,说明理由第5题图6. (2019江西黑白卷)已知抛物线L1:y1ax22的顶点为P,交x轴于A、B两点(A点在B点左侧),且sinABP.(1)求抛物线L1的函数解析式;(2)过点A的直线交抛物线于点C,交y轴于点D,若ABC的面积被y轴分为14两个部
13、分,求直线AC的解析式;(3)在(2)的情况下,将抛物线L1绕点P逆时针旋转180得到抛物线L2,点M为抛物线L2上一点,当点M的横坐标为何值时,BDM为直角三角形?第6题图类型三二次函数性质的探究问题(2015.23,2012.23)1. (2019北京)在平面直角坐标系xOy中,抛物线yax2bx(a0)与y轴交于点A,将点A向右平移2个单位长度,得到点B,点B在抛物线上(1)求点B的坐标(用含a的式子表示);(2)求抛物线的对称轴;(3)已知点P(,),Q(2,2),若抛物线与线段PQ恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围2. (2019江西样卷一)已知抛物线yx2(2m1)xm2
14、1.(1)若该抛物线经过点P(1,4),试求m的值及抛物线的顶点坐标(2)求此抛物线的顶点坐标(用含m的代数式表示),并证明:不论m为何值,该抛物线的顶点都在同一条直线l上(3)直线l截抛物线所得的线段长是否为定值?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由3. 已知二次函数yx2bxc(b,c为常数)(1)当b2,c3时,求二次函数图象的顶点坐标;(2)当c10时,若在函数值y1的情况下,只有一个自变量x的值与其对应,求此时二次函数的解析式;(3)当cb2时,若在自变量x的值满足bxb3的情况下,与其对应的函数值y的最小值为21,求此时二次函数的解析式4. (2017江西样卷一)已知抛物线L1
15、:y1x26x5k和抛物线L2:y2kx26kx5k,其中k0.(1)下列说法你认为正确的序号是_;抛物线L1和L2与y轴交于同一点F(0,5k);抛物线L1和L2开口都向上;抛物线L1和L2的对称轴是同一条直线;当k1时,抛物线L1和L2都与x轴有两个交点(2)抛物线L1和L2相交于点E、F,当k的值发生变化时,请判断线段EF的长度是否发生变化,并说明理由;(3)在(2)中,若抛物线L1的顶点为M,抛物线L2的顶点为N,问是否存在实数k,使MN2EF?如存在,求出实数k的值;如不存在,请说明理由5. 如图,已知抛物线l1的顶点是P(2,4),且经过点O(0,0)、A(t,0),平行于y轴的直
16、线m与x轴交于点B(b,0),与抛物线l1交于点M.(1)求t的值及抛物线l1的解析式;(2)当BM4时,求b的值;(3)把抛物线l1绕点(0,1)旋转180,得到抛物线l2.直接写出当两条抛物线对应的函数值y都随着x的增大而减小时,x的取值范围;直线m与抛物线l2交于点N,设线段MN的长为n,求n与b的关系式,并求出线段MN的最小值及此时b的值第5题图类型四与新定义有关的探究问题(2014.24)1. 我们定义:对于抛物线y,以y轴上的点M(0,m)为中心,作该抛物线关于点M对称的抛物线y,则我们称抛物线y为抛物线y关于点M(0,m)的“衍生抛物线”,点M为“衍生中心”(1)求抛物线yx22
17、关于原点O(0,0)的“衍生抛物线”的解析式;(2)已知抛物线yax22axb(a0)若抛物线y的“衍生抛物线”为ybx22bxa2(b0),两抛物线有两个交点,且恰好是它们的顶点,求a、b的值及衍生中心的坐标;若抛物线y关于点(0,k12)的“衍生抛物线”为y1,其顶点为A1;关于点(0,k22)的“衍生抛物线”为y2,其顶点为A2;关于点(0,kn2)的“衍生抛物线”为yn,其顶点为An(n为正整数)求AnAn1的长(用含n的式子表示)2. (2019南昌模拟)已知:抛物线C1:y(xm)2m2(m0),抛物线C2:y(xn)2n2(n0),称抛物线C1,C2互为派对抛物线,例如抛物线C1
18、:y(x1)21与抛物线C2:y(x)22是派对抛物线,已知派对抛物线C1,C2的顶点分别为A,B,抛物线C1的对称轴交抛物线C2于C,抛物线C2的对称轴交抛物线C1与D.(1)已知抛物线yx22x,y(x3)23,y(x)22,yx2x,则抛物线中互为派对抛物线的是_(请在横线上填写抛物线的数字序号);(2)如图,当m1,n2时,证明:ACBD;(3)如图,连接AB,CD交于点F,延长BA交x轴的负半轴于点E,记BD交x轴于G,CD交x轴于点H,BEOBDC.求证:四边形ACBD是菱形;若已知抛物线C2:y(x2)24,请求出m的值第2题图参考答案类型一与图形规律有关的探究问题1. 解:(1
19、)(2,0),(2,0);(2,0),(4,0);(2)经过,定点为(2,0);解法一:当x2时,y(2)2(n1)(2)2n22n22n0,结果与n无关,必经过点(2,0);解法二:ynx2nxx2nx2(x2)nx,令x20,即x2.yn0与n无关必经过点(2,0);解法三:令yn0,即x22(n1)x4n0,(x2)(x2n)0,解得x12,x22n,定点为(2,0);(3)A2D2B4的形状为直角三角形;猜想AnDnBn290.证明:当x0时,yn2n,Dn(0,2n)Bn(2n,0),Bn2(2n2,0)在AnDnO中,tanAnDnO,在ODnBn2中,tanOBn2Dn,AnDn
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