2019-2020学年浙江省七彩阳光新高考研究联盟高二（上）期中数学试卷（含详细解答）

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1、2019-2020学年浙江省七彩阳光新高考研究联盟高二（上）期中数学试卷一、选择题：每小题4分，共40分1（4分）设集合Ax|x10，Bx|x2x60，则AB（）A（1，2）B（2，1C1，2）D2，3）2（4分）已知lg2a，lg3b，则lg120（）A1+a+bB1+a+2bC1+2a+bD2+2a+b3（4分）若实数x，y满足约束条件，则2x+3y的最大值是（）A11B10C5D94（4分）已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且C，A，B成等差数列，a3，c2b，则ABC的面积为（）ABCD5（4分）若，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题正确的是（）A若m

2、n，n，则mB若n，n，m，则mC若m，则mD若mn，n，则m6（4分）在RtABC中，C90，BC5，则（）A5B5C25D257（4分）已知an是等比数列，a22，则a1a3+a2a4+anan+2（）A16（14n）B16（12n）CD8（4分）在正四面体ABCD中，异面直线AB与CD所成的角为，直线AB与平面BCD所成的角为，二面角CABD的平面角为，则，的大小关系为（）ABCD9（4分）设函数f（x）满足f（x）f（x），当x1，x20，+）时都有，且对任意的，不等式f（ax+1）f（x2）恒成立，则实数a的取值范围是（）A2，0B5，0C5，1D2，110（4分）已知平面向量，满足

3、，则对任意共面的单位向量，的最大值是（）ABC3D2二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11（4分）在等差数列an中，若a3+a6+a924，则a6   ，S11   12（4分）几何体的三视图如图，正视图和侧视图是腰长为2的等腰直角三角形，则几何体的体积为   ，几何体的外接球的直径为   13（4分）若直线l的倾斜角是直线x2y60的倾斜角的2倍，则tan   ，   14（4分）已知a，b是正实数，且a+2b3ab0，则ab的最小值是   ，a+b的最小值是   15（4分）在ABC中，BCa，ACb，

4、ABc，若b2ac，且abcosA，则cosB   16（4分）正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，下列结论：异面直线AB与CD所成的角为60；ACBD；ACD是等边三角形；二面角ABCD的平面角正切值是；其中正确结论是   （写出你认为正确的所有结论的序号）17（4分）已知a是实数，若对于任意的x0，不等式恒成立，则a的值为   三、解答题：5小题，共74分18已知函数（1）求函数的最小正周期和对称轴；（2）当时，求函数f（x）的值域19如图，矩形ABCD所在的平面垂直于BCE所在的平面，BCCE，F为CE的中点（1）证明：AE平面BDF；（2）若P、M分别

5、为线段AE、CD的动点当BEPM时，试确定点P的位置，并加以证明20如图，三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都是2，CAA160，A1B3，D，D1分别是AC，A1B1的中点（1）证明：DD1平面BCC1B1；（2）求直线CC1与平面ABC所成角的正弦值21已知数列an满足a11，数列是公比为3的等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）当n2时，证明：；（3）设数列的前n项和为Sn，证明：22已知函数f（x）x2+ax+b（1）若b3时，不等式f（x）x对x1，4恒成立，求a的取值范围；（2）若函数f（x）在区间0，2上有两个不同的零点，求a2b的取值范围2019-2020学年浙江省七彩阳光新

6、高考研究联盟高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题4分，共40分1（4分）设集合Ax|x10，Bx|x2x60，则AB（）A（1，2）B（2，1C1，2）D2，3）【分析】分别求出关于A、B的不等式，求出A、B的交集即可【解答】解：由Ax|x10x|x1，Bx|x2x60x|2x3，则ABx|2x1，故选：B【点评】本题考查了集合的交集的运算，考查不等式问题，属于基础题2（4分）已知lg2a，lg3b，则lg120（）A1+a+bB1+a+2bC1+2a+bD2+2a+b【分析】由已知结合对数的运算性质求解lg120【解答】解：lg2a，lg3b，lg120lg（1034）

7、lg10+lg3+2lg21+b+2a故选：C【点评】本题考查对数的运算性质，是基础的计算题3（4分）若实数x，y满足约束条件，则2x+3y的最大值是（）A11B10C5D9【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，3），令z2x+3y，化为y，由图可知，当直线y过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为21+3311故选：A【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题4（4分）已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且C，A，B成等

8、差数列，a3，c2b，则ABC的面积为（）ABCD【分析】由C，A，B成等差数列及三角形内角和求出角A，再利用已知条件和余弦定理求出b和c，然后由三角形面积公式bcsinA，计算出答案【解答】解：ABC中，因C，A，B成等差数列，C+B2A，又A+B+C，A，由余弦定理知：a2b2+c22bccosA，又a3，c2b，32b2+（2b）22b2bcos，得b，c2b2，ABC的面积为bcsinA故选：B【点评】本题结合三角形考查了余弦定理，三角形面积，等差数列等知识运用，考查了学生计算化简技巧与能力，属于中档题5（4分）若，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题正确的是（）A若m

9、n，n，则mB若n，n，m，则mC若m，则mD若mn，n，则m【分析】在A中，m与相交、平行或m；在B中，由线面垂直的判定定理得m；在C中，m与相交、平行或m；在D中，m与相交、平行或m【解答】解：由，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，知：在A中，若mn，n，则m与相交、平行或m，故A错误；在B中，若n，n，可得，由m，由线面垂直的判定定理得m，故B正确；在C中，若m，则m与相交、平行或m，故C错误；在D中，若mn，n，则m与相交、平行或m，故D错误故选：B【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题6（4分）在RtABC中，C90，BC5

10、，则（）A5B5C25D25【分析】根据C90即可得出，从而带入进行数量积的运算即可求出【解答】解：如图，C90，且BC5，故选：C【点评】本题考查了向量垂直的充要条件，向量加法的几何意义，相反向量的定义，向量数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题7（4分）已知an是等比数列，a22，则a1a3+a2a4+anan+2（）A16（14n）B16（12n）CD【分析】由知an是等比数列可得anan+2为等比数列，根据等比数列的求和公式即可求和【解答】解：因为an是等比数列，a22，所以公比q，因为，a1a34，所以a1a3+a2a4+anan+2，故选：D【点评】本题主要考查等比数列的通项公式

11、及前n项和公式，属于基础题8（4分）在正四面体ABCD中，异面直线AB与CD所成的角为，直线AB与平面BCD所成的角为，二面角CABD的平面角为，则，的大小关系为（）ABCD【分析】分别根据异面直线所成角的定义，线面角的定义，以及二面角的定义确定，的大小即可得到结论【解答】解：过A作A在底面的射影O，ABCD是正四面体，O是底面的中心，取BC的中点E，连结OB，OE，AE，则ABO是侧棱AB与底面BCD所成的角，即ABO二面角CABD的平面角和侧面ABC与底面BCD所成的角相等，又侧面ABC与底面BCD所成的角为AEO，AEO，在正四面体ABCD中，ABCD，即异面直线AB与CD所成的角为90

12、，sinsinABO，sinsinAEO，ABAE，即sinsin，则90，即，故选：D【点评】本题考查空间角大小计算，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题9（4分）设函数f（x）满足f（x）f（x），当x1，x20，+）时都有，且对任意的，不等式f（ax+1）f（x2）恒成立，则实数a的取值范围是（）A2，0B5，0C5，1D2，1【分析】根据函数的单调性得到关于a的不等式，解出即可【解答】解：由题意得：f（x）是偶函数且f（x）在（0，+）递增，故f（x）在（，0）递减，时，x2，1，故f（x2）f（1），若任意的，不等式f（ax+1）f（x2）恒成

13、立，则时，|ax+1|1恒成立，故1ax+11，x，1，故2ax0，x，1，故a0，x，1，而a（）max2，故2a0，故选：A【点评】本题考查了函数的奇偶性，单调性问题，考查函数恒成立以及转化思想，是一道常规题10（4分）已知平面向量，满足，则对任意共面的单位向量，的最大值是（）ABC3D2【分析】由条件可知，夹角为，用特殊值法表示出，列出即可求出其最大值【解答】解：根据题意，cos，不妨设（4，0），（1，），（cos，sin），则|4cos|cos+sin|3cossinsin（），所以最大值为2，故选：B【点评】本题考查平面向量数量积及其运算，用特殊值法进行运算是关键，属于中档题二、填

14、空题：单空题每题4分，多空题每题6分11（4分）在等差数列an中，若a3+a6+a924，则a68，S1188【分析】由题意利用等差数列的性质求出a6的值，再利用等差数列的求和公式求出S11的值【解答】解：在等差数列an中，若a3+a6+a93a624，则a68，故S1111a688，故答案为：8；88【点评】本题主要考查等差数列的性质、等差数列的求和公式，属于基础题12（4分）几何体的三视图如图，正视图和侧视图是腰长为2的等腰直角三角形，则几何体的体积为，几何体的外接球的直径为2【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积，求出外接球的半径，然后求解直径即可【解答】解：由题意

15、可知几何体的直观图如图，是列出为2的正方体的一部分，是四棱锥PABCD，几何体的体积为：四棱锥的外接球就是正方体的外接球，外接球的直径就是正方体的体对角线的长度，可得外接球的直径：2故答案为：；2【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，外接球的直径的求法，是中档题13（4分）若直线l的倾斜角是直线x2y60的倾斜角的2倍，则tan，【分析】由题意可得：tan理念倍角公式可得tan利用倍角公式、同角三角函数基本关系式化简，代入tan即可得出【解答】解：由题意可得：tantan故答案为：，【点评】本题考查了倍角公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题14（4分）已知a，b

16、是正实数，且a+2b3ab0，则ab的最小值是，a+b的最小值是【分析】根据条件可得3aba+2b，解不等式可得ab的最小值；根据条件可得，然后由a+b，利用基本不等式求出最小值即可【解答】解：因为a，b是正实数，且a+2b3ab0，所以3aba+2b，所以或（舍），所以ab，所以ab的最小值为；由a，b是正实数，且a+2b3ab0，可得，所以a+b，当且仅当，即a，b，所以a+b的最小值为故答案为：；【点评】本题考查了利用基本不等式求最值，考查了转化思想和计算能力，属中档题15（4分）在ABC中，BCa，ACb，ABc，若b2ac，且abcosA，则cosB【分析】根据条件可知ABC为直角三

17、角形，然后用余弦定理经过转化得到关于cosB的一元二次方程，再求出cosB即可【解答】解：b2ac，且abcosA，ab，b2+c2a22ac2b2，a2+b2c2，ABC为直角三角形由余弦定理，有cosB，cosBcos2Asin2B1cos2B，cos2B+cosB10，cosB或（舍），故答案为：【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，余弦定理和同角三角函数的基本关系，考查了转化思想和计算能力，属中档题16（4分）正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，下列结论：异面直线AB与CD所成的角为60；ACBD；ACD是等边三角形；二面角ABCD的平面角正切值是；其中正确结论是（写出你认为正确的所

18、有结论的序号）【分析】取BD中点O，连结AO，CO，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法和空间中线线、线面、面面间的位置关系能求出结果【解答】解：取BD中点O，连结AO，CO，正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，设OC1，则A（0，0，1），B（0，1，0），C（1，0，0），D（0，1，0），（0，1，1），（1，1，0），cos，异面直线AB与CD所成的角为60，故正确；（1，0，1），（0，2，0），0，ACBD，故正确；OAOCOD1，OA，OC，OD两两垂直，ACCDAD

19、，ACD是等边三角形，故正确；平面BCD的法向量（0，0，1），（0，1，1），（1，1，0），设平面ABC的法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，1，1），cos，sin二面角ABCD的平面角正切值是：，故正确故答案为：【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题17（4分）已知a是实数，若对于任意的x0，不等式恒成立，则a的值为【分析】设y（4a2）x+，yx2+ax，分别作出y（4a2）x+，yx2+ax的图象，讨论4a20，不符题意；4a20，且y（4a2）x+经过二次函数yx2+ax图象的B（x2，0），将B的坐标分

20、别代入一次函数和二次函数解析式，解方程可得a，检验可得所求值【解答】解：设y（4a2）x+，yx2+ax，由a2+0，可得yx2+ax的图象与x轴有两个交点，分别作出y（4a2）x+，yx2+ax的图象，可得4a20，不满足题意；则4a20，即a，且y（4a2）x+经过二次函数yx2+ax图象的B（x2，0），即有（4a2）x2+0，即x2，代入x2+ax0，化为48a240a+70，解得a或a（舍去），故答案为：【点评】本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用一次函数和二次函数的图象，考查转化思想和方程思想、以及数形结合思想，属于中档题三、解答题：5小题，共74分18已知函数（1）求函数的最小

21、正周期和对称轴；（2）当时，求函数f（x）的值域【分析】（1）结合两角差的正弦公式，二倍角，辅助角公式对已知函数进行化简，然后根据正弦函数的性质可求；（2）由，可求，结合正弦函数的性质可求值域【解答】解：（1），4cosx（+sinx），4cosx（）6sinxcosx2cos2x，3sin2x（1+cos2x）2sin（2x），T，由2x可得对称轴x，kZ，（2）由，可得，sin（2x），2sin（2x），2sin（2x），函数f（x）的值域为3，【点评】本题主要考查了利用和差角，二倍角，辅助角公式对三角函数化简，及正弦函数性质的综合应用，属于中档试题19如图，矩形ABCD所在的平面垂直于B

22、CE所在的平面，BCCE，F为CE的中点（1）证明：AE平面BDF；（2）若P、M分别为线段AE、CD的动点当BEPM时，试确定点P的位置，并加以证明【分析】（1）连结AC，交BD于点O，连结OF，推导出OFAE，由此能证明AE面BDF（2）取BE的中点H，连结DP，PH，CH，推导出PHABPHCD，从而P，H，C，D四点共面，推导出CD面BCE，CDBE，从而CH面BCE，进而BE平面DPHC，由此能证明PMBE【解答】解：（1）证明：连结AC，交BD于点O，连结OF，四边形ABCD是矩形，O是AC的中点，又F为EC的中点，OFAE，OF面BDF，AE面BDF，AE面BDF（2）解：当PM

23、BE时，点P为AE的中点证明如下：取BE的中点H，连结DP，PH，CH，P为AE的中点，H为BE的中点，PHAB又ABCD，PHCD，P，H，C，D四点共面，面ABCD面BCE，且面ABC面BCEBC，CDBC，CD面ABCD，CD面BCE，又BE面BCE，CDBE，BCCE，且H为BE的中点，CH面BCE，又CHCDC，且CH，CD面DPHC，BE平面DPHC，又PM平面DPHC，PMBE【点评】本题考查线面平行的证明，考查满足线线垂直的条件是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理能力，是中档题20如图，三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都是2，CAA16

24、0，A1B3，D，D1分别是AC，A1B1的中点（1）证明：DD1平面BCC1B1；（2）求直线CC1与平面ABC所成角的正弦值【分析】（1）取A1C1中点M，连结DM，D1M，推导出D1MB1C1，由此能证明DD1平面BCC1B1（2）由CC1AA1，得直线CC1与平面ABC所成角的正弦值就是直线AA1与平面ABC所成角的正弦值，连结DB，DA1，作A1HBD于H，连结AH，推导出ACDA1，ACDB，从而AC平面BDA1，进而A1H平面ABC，A1AH就是直线CC1与平面ABC所成角，由此能求出直线CC1与平面ABC所成角的正弦值【解答】解：（1）证明：取A1C1中点M，连结DM，D1M，

25、D1M是AA1B1C1的中位线，D1MB1C1，D1M平面BCC1B1，DM平面BCC1B1，又DD1平面DMD1，DD1平面BCC1B1（2）解：CC1AA1，直线CC1与平面ABC所成角的正弦值就是直线AA1与平面ABC所成角的正弦值，连结DB，DA1，作A1HBD于H，连结AH，由条件知AA1C是正三角形，ACDA1，同理，ACDB，又DBDA1D，AC平面BDA1，A1H平面BDA1，且A1HBD，A1H平面ABC，A1AH就是直线CC1与平面ABC所成角，由条件知DBDA1，cosBDA1，BDA1120，A1DH60，A1H，AA12，sinA1AH，直线CC1与平面ABC所成角的

26、正弦值为【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题21已知数列an满足a11，数列是公比为3的等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）当n2时，证明：；（3）设数列的前n项和为Sn，证明：【分析】（1）考察等比数列求通项公式；（2）放缩法证明不等式；（3）先写出数列的前n项和为Sn，构造等比数列证明不等式【解答】解：（1）数列是公比为3，首项为的等比数列，所以，即（2）证明：当n2时，所以原式成立（3）证明：当n1时，当n2时，所以成立【点评】（1）求等比数列通项公式，基础题；（2）放缩法证明不等式，

27、这里用糖水不等式解决了问题；（3）利用放缩法证明不等式，关键是根据（2）变成等比数列求和，中档题22已知函数f（x）x2+ax+b（1）若b3时，不等式f（x）x对x1，4恒成立，求a的取值范围；（2）若函数f（x）在区间0，2上有两个不同的零点，求a2b的取值范围【分析】（1）由题意可得，axx2+x3对x1，4恒成立，变形化为ax+1对x1，4恒成立，构造函数g（x）（x+）+1，x1，4，根据对勾函数的图象性质知g（x）在1，上单调递增，4上单调递减，又由g（1）g（4），求出a的取值范围；（2）根据题意，找到f（x）在区间0，2上有两个不同的零点所满足的条件，利用线性规划来解决【解答】

28、解：（1）由题意可得，f（x）x2+ax+3x对x1，4恒成立，变形可得：axx2+x3对x1，4恒成立，则ax+1对x1，4恒成立，设g（x）（x+）+1，x1，4，则g（x）在1，上单调递增，4上单调递减，又由g（1）3，g（4），则g（1）g（4），故g（x）ming（4），必有a，a的取值范围是（，；（2）根据题意，若f（x）在区间0，2上有两个不同的零点，则有，即，由线性规划，画出约束条件表示的可行域，以a为横轴，b为纵轴，如图，黑色为可行域，A（4，4）12a2b0，a2b的取值范围是（12，0）【点评】本题考查了利用参变分离、对勾函数的图象性质来解决恒成立问题，利用线性规划来解决取值范围，属于难题