2019-2020学年浙江省杭州市西湖区二校联考高二（上）期中数学试卷（含详细解答）

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1、一、选择题：每小题4分，共40分1（4分）直线x+y+10的倾斜角为（）ABCD2（4分）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）ABCD3（4分）若a，b是异面直线，直线ca，则c与b的位置关系是（）A相交B异面C平行D异面或相交4（4分）设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：若m，n，则mn若，m，则m若m，n，则mn若，则其中正确命题的序号是（）A和B和C和D和5（4分）圆x2+y24x0在点P（1，）处的切线方程为（）Ax+y20Bx+y40Cxy+40Dxy+206（4分）三棱锥PABC的高为PH，若三个侧面两两垂直，则H为ABC的（）A内心B外

2、心C垂心D重心7（4分）已知直线ax+y20与圆心为C的圆（x1）2+（ya）24相交于A，B两点，且ABC为等边三角形，则实数a（）ABC1或7D48（4分）如图，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，现在沿SE，SF，EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合，重合后的点记为G给出下列关系：SG平面EFG；SE平面EFG；GFSE；EF平面SEG其中成立的有（）ABCD9（4分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y21上存在点N，使得OMN30，则x0的取值范围是（）A，B，C2，2D，10（4分）已知四棱锥SABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E

3、是线段AB上的点（不含端点）设SE与BC所成的角为1，SE与平面ABCD所成的角为2，二面角SABC的平面角为3，则（）A123B321C132D231二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11（4分）已知过点A（2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y10平行，则m的值为   12（4分）直线（m+2）x（2m1）y（3m4）0，不管m怎样变化该直线恒过定点M，则M的坐标为   13（4分）某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积V   cm314（4分）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上如果正四棱柱的底面边长为1cm，那

4、么该棱柱的表面积为   cm215（4分）如图所示，RtABC在平面内，ACB90，斜边AB在二面角l的棱l上，且AC与平面所成角为45，BC与平面所成角为30，则二面角l的平面角大小为   16（4分）如图，在ABC中，ACB90，CAB，M为AB的中点，将ACM沿着CM翻折至A'CM，使得A'MMB，则的取值可能为   （填上正确的所有序号）三、解答题：4小题，共36分17若一个球与一个圆柱的各面均相切，并设球的体积与圆柱的体积的比值为a，球的表面积与圆柱的表面积的比值为b，探求a与b的大小关系18如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形

5、，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，E，F分别是AD，PB的中点（1）求证：PECD；（2）求证：EF平面PCD；（3）求证：平面PAB平面PCD19如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1，ACB90，E是棱CC1上动点，F是AB中点，ACBC2，AA14（1）求证：CF平面ABB1A1；（2）当E是棱CC1中点时，求EB1与平面ABB1A1所成的角；（3）当时，求二面角AEB1B的大小20已知圆C：x26x+y26y+30，直线l：x+y20是圆E与圆C的公共弦AB所在直线方程，且圆E的圆心在直线y2x上（1）求公共弦AB的长度；（2）求圆E的方程；（3）过点Q（1，0）分别作直线M

6、N，RS，交圆E于M，N，R，S四点，且MNRS，求四边形MRNS面积的最大值与最小值2019-2020学年浙江省杭州外国语学校高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题4分，共40分1（4分）直线x+y+10的倾斜角为（）ABCD【分析】直线的斜率等于，设它的倾斜角等于 ，则  0，且 tan，求得 值，即为所求【解答】解：直线的斜率等于，设它的倾斜角等于 ，则  0，且 tan，故选：B【点评】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，得到 tan，是 解题的关键2（4分）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图

7、相同的是（）ABCD【分析】利用三视图的作图法则，对选项判断，A的三视图相同，圆锥，四棱锥的两个三视图相同，棱台都不相同，推出选项即可【解答】解：正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，圆锥和正四棱锥的，正视图和侧视图相同，所以，正确答案为D故选：D【点评】本题是基础题，考查几何体的三视图的识别能力，作图能力，三视图的投影规则是主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等3（4分）若a，b是异面直线，直线ca，则c与b的位置关系是（）A相交B异面C平行D异面或相交【分析】若a，b是异面直线，直线ca，所以c与b可能异面，可能相交【解答】解：由a、b是异面直线，直线ca知c与

8、b的位置关系是异面或相交，故选：D【点评】此题考查学生的空间想象能力，考查对异面直线的理解和掌握4（4分）设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：若m，n，则mn若，m，则m若m，n，则mn若，则其中正确命题的序号是（）A和B和C和D和【分析】根据线面平行性质定理，结合线面垂直的定义，可得是真命题；根据面面平行的性质结合线面垂直的性质，可得是真命题；在正方体中举出反例，可得平行于同一个平面的两条直线不一定平行，垂直于同一个平面和两个平面也不一定平行，可得不正确由此可得本题的答案【解答】解：对于，因为n，所以经过n作平面，使l，可得nl，又因为m，l，所以ml，结合nl得m

9、n由此可得是真命题；对于，因为且，所以，结合m，可得m，故是真命题；对于，设直线m、n是位于正方体上底面所在平面内的相交直线，而平面是正方体下底面所在的平面，则有m且n成立，但不能推出mn，故不正确；对于，设平面、是位于正方体经过同一个顶点的三个面，则有且，但是，推不出，故不正确综上所述，其中正确命题的序号是和故选：A【点评】本题给出关于空间线面位置关系的命题，要我们找出其中的真命题，着重考查了线面平行、面面平行的性质和线面垂直、面面垂直的判定与性质等知识，属于中档题5（4分）圆x2+y24x0在点P（1，）处的切线方程为（）Ax+y20Bx+y40Cxy+40Dxy+20【分析】本题考查的知

10、识点为圆的切线方程（1）我们可设出直线的点斜式方程，联立直线和圆的方程，根据一元二次方程根与图象交点间的关系，得到对应的方程有且只有一个实根，即0，求出k值后，进而求出直线方程（2）由于点在圆上，我们也可以切线的性质定理，即此时切线与过切点的半径垂直，进行求出切线的方程【解答】解：法一：x2+y24x0ykxk+x24x+（kxk+）20该二次方程应有两相等实根，即0，解得ky（x1），即xy+20法二：点（1，）在圆x2+y24x0上，点P为切点，从而圆心与P的连线应与切线垂直又圆心为（2，0），k1解得k，切线方程为xy+20故选：D【点评】求过一定点的圆的切线方程，首先必须判断这点是否在

11、圆上若在圆上，则该点为切点，若点P（x0，y0）在圆（xa）2+（yb）2r2（r0）上，则 过点P的切线方程为（xa）（x0a）+（yb）（y0b）r2（r0）；若在圆外，切线应有两条一般用“圆心到切线的距离等于半径长”来解较为简单若求出的斜率只有一个，应找出过这一点与x轴垂直的另一条切线6（4分）三棱锥PABC的高为PH，若三个侧面两两垂直，则H为ABC的（）A内心B外心C垂心D重心【分析】先画出图形，三个侧面两两垂直，可看成正方体的一角，根据BC面APH，而AH面APH，推出AHBC，同理可推出CHAB，得到H为ABC的垂心【解答】解：如图所示，三个侧面两两垂直，可看成正方体的一角，则A

12、P面PBC，而BC平面PBCAPBC而PH面ABC，BC面ABCPHBC，又APPHP，BC面APH，而AH面APHAHBC，同理可得CHAB故H为ABC的垂心故选：C【点评】本题主要考查了平面与平面垂直的性质，以及棱锥的结构特征，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题7（4分）已知直线ax+y20与圆心为C的圆（x1）2+（ya）24相交于A，B两点，且ABC为等边三角形，则实数a（）ABC1或7D4【分析】根据ABC为等边三角形，得到圆心到直线的距离为，根据点到直线的距离公式即可得到结论【解答】解：圆（x1）2+（ya）24的圆心C（1，a），半径R2，直线和圆相交，ABC为

13、等边三角形，圆心到直线的距离为Rsin60，即d，平方得a28a+10，解得a4，故选：D【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据ABC为等边三角形，得到圆心到直线的距离是解决本题的关键8（4分）如图，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，现在沿SE，SF，EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合，重合后的点记为G给出下列关系：SG平面EFG；SE平面EFG；GFSE；EF平面SEG其中成立的有（）ABCD【分析】根据题意，在折叠过程中，始终有SG1G1E，SG3G3F，即SGGE，SGGF，由线面垂直的判定定理，得SG平面EFG，分析四个答案

14、，即可给出正确的选择【解答】证明：正确在折前正方形SG1G2G3中，SG1G1E，SG3G3F，折成四面体SEFG后，SGGE，SGGF，又GEGFG，SG平面EFG错误根据知，SG平面EFG若SE平面EFG，则SGSE，而由图知SE与SG明显相交正确FG2EG2即FGEG，又SGEGG，GF平面GSE，又SE平面GSE，所以GFSE错误EF不垂直于EG，EF不垂直于平面SEG故成立的有故选：B【点评】线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考

15、有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来9（4分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y21上存在点N，使得OMN30，则x0的取值范围是（）A，B，C2，2D，【分析】易知M点在直线y1上，若设圆x2+y21与直线y1的交点为T，显然假设存在点N，使得OMN30，则必有OMNOMT，所以只需OMT30即可，借助于三角函数容易求出x0的范围【解答】解：易知M（x0，1）在直线y1上，设圆x2+y21与直线y1的交点为T，显然假设存在点N，使得OMN30，则必有OMNOMT，所以要是圆上存在点N，使得OMN30，只需OMT30，因为T（0，1），所

16、以只需在RtOMT中，tanOMTtan30，解得，当x00时，显然满足题意，故x0故选：A【点评】此题重点考查了利用数形结合的思想方法解题，关键是弄清楚M点所在的位置，能够找到OMN与OMT的大小关系，从而构造出关于x0的不等式10（4分）已知四棱锥SABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点）设SE与BC所成的角为1，SE与平面ABCD所成的角为2，二面角SABC的平面角为3，则（）A123B321C132D231【分析】作出三个角，表示出三个角的正弦或正切值，根据三角函数的单调性即可得出三个角的大小【解答】解：由题意可知S在底面ABCD的射影为正方形ABCD的中心

17、过E作EFBC，交CD于F，过底面ABCD的中心O作ONEF交EF于N，连接SN，取AB中点M，连接SM，OM，OE，则ENOM，则1SEN，2SEO，3SMO显然，1，2，3均为锐角tan1，tan3，SNSO，13，又sin3，sin2，SESM，32故选：D【点评】本题考查了空间角的计算，三角函数的应用，属于中档题二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11（4分）已知过点A（2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y10平行，则m的值为8【分析】利用斜率计算公式、相互平行的直线斜率之间的关系即可得出【解答】解：过点A（2，m）、B（m，4）的直线与直线2x+y10平行，2，解得m8故

18、答案为：8【点评】本题考查了直斜率计算公式、相互平行的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题12（4分）直线（m+2）x（2m1）y（3m4）0，不管m怎样变化该直线恒过定点M，则M的坐标为（1，2）【分析】把已知方程变形，化为m（x2y3）+2x+y+40，联立，求解得答案【解答】解：由（m+2）x（2m1）y（3m4）0，得mx+2x2my+y3m+40，即m（x2y3）+2x+y+40联立，解得M的坐标为（1，2）故答案为：（1，2）【点评】本题考查直线系方程的应用，是基础的计算题13（4分）某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积Vcm3【分析】首

19、先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式的应用求出结果【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为，如图所示：所以几何体的体积为故答案为：【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型14（4分）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为2+4cm2【分析】本题考查的知识点是棱柱的体积与表面积计算，由一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上如果正四棱柱的底面边长为1cm，我们根据球的直径等于棱柱的对角线长，我们可以求出棱柱的各棱的长

20、度，进而得到其表面积【解答】解：由一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上正四棱柱的对角线的长为球的直径，现正四棱柱底面边长为1cm，设正四棱柱的高为h，2R2，解得h，那么该棱柱的表面积为2+4cm2故答案为：2+4【点评】一个直四棱柱外接球的直径等于棱柱的对角线长，这是解答本题的关键，希望大家牢固掌握15（4分）如图所示，RtABC在平面内，ACB90，斜边AB在二面角l的棱l上，且AC与平面所成角为45，BC与平面所成角为30，则二面角l的平面角大小为60【分析】过点C作CO，交于O，连结AO，BO，作CDl，交l于点D，连结OD，则CDO是二面角l的平面角，由此能求出二面角l的

21、平面角大小【解答】解：过点C作CO，交于O，连结AO，BO，作CDl，交l于点D，连结OD，则CDO是二面角l的平面角，RtABC在平面内，ACB90，斜边AB在二面角l的棱l上，AC与平面所成角为45，BC与平面所成角为30，CAO45，CBO30，设CO1，则AO1，AC，BC2，BO，AB，AD，OD，cosCDO，CDO60，二面角l的平面角大小为60故答案为：60【点评】本题考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题16（4分）如图，在ABC中，ACB90，CAB，M为AB的中点，将ACM沿着CM翻折至A'CM，使得A

22、9;MMB，则的取值可能为（填上正确的所有序号）【分析】设A'在平面BMC上的射影为A''，则由题意知，点A''在直线CM的垂线A'A''上，要使A'MMB，则A''MMB，因此只需考虑其临界情况，然后求出的取值范围，进一步确定其可能的取值【解答】解：如图，设A'在平面BMC上的射影为A''，则由题意知，点A''在直线CM的垂线A'A''上，要使A'MMB，则A''MMB，因此只需考虑其临界情况，即当A''

23、;MMB时，点A与点A''关于直线CM对称，AMDA''MDBMC，又AMMC，AMC是以MAC为底角的等腰三角形，CAM+MCA2，因此当时，有A'MMB，的取值可能为，故答案为：【点评】本题考查了空间中点，直线，面位置关系的判定，考查了极限思想，属难题三、解答题：4小题，共36分17若一个球与一个圆柱的各面均相切，并设球的体积与圆柱的体积的比值为a，球的表面积与圆柱的表面积的比值为b，探求a与b的大小关系【分析】直接利用球的体积和表面积公式的应用，圆柱的体积和表面积公式的应用求出结果【解答】解：设球的半径为r，根据一个球与一个圆柱的各面均相切，所以圆

24、柱的高为2r，圆柱的底面半径为r则，所以a，所以b，则ab【点评】本题考查的知识要点：球的体积和表面积公式的应用，圆柱的体积和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题18如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，E，F分别是AD，PB的中点（1）求证：PECD；（2）求证：EF平面PCD；（3）求证：平面PAB平面PCD【分析】（1）推导出PEAD，从而PE平面ABCD，由此能证明PECD（2）取BC中点G，连结EG，FG，推导出FGPC，EFDC，从而平面EFG平面PCD，由此能证明EF平面PCD（3）推导出C

25、DAD，从而CD平面PAD，进而PA平面PCD，由此能证明平面PAB平面PCD【解答】证明：（1）PAPD，E是AD的中点，PEAD，平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PE平面ABCD，CD平面ABCD，PECD（2）取BC中点G，连结EG，FG，E，F分别是AD，PB的中点，FGPC，EFDC，FGEGG，平面EFG平面PCD，EF平面EFG，EF平面PCD（3）底面ABCD为矩形，CDAD，由（1）得CDPE，又ADPEE，CD平面PAD，AP平面PAD，CDAP，PAPD，PDCDD，PA平面PCD，PA平面PAB，平面PAB平面PCD【点评】本题考查线线垂直、线面平行

26、、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1，ACB90，E是棱CC1上动点，F是AB中点，ACBC2，AA14（1）求证：CF平面ABB1A1；（2）当E是棱CC1中点时，求EB1与平面ABB1A1所成的角；（3）当时，求二面角AEB1B的大小【分析】（1）推导出CFAA1，CFAB，由此能证明CF平面ABB1A1（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出EB1与平面ABB1A1所成的角（3）求出平面AEB1的法向量和平面BB1E的法向量，利用向量法能求

27、出二面角AEB1B的大小【解答】解：（1）证明：直三棱柱ABCA1B1C1，CFAA1，F是AB中点，ACBC2，CFAB，AA1ABA，CF平面ABB1A1（2）解：以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，E（0，0，2），B1（0，2，4），A（2，0，0），B（0，2，0），（0，2，2），（2，2，0），（2，2，4），设平面ABB1A1的法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，1，0），设EB1与平面ABB1A1所成的角为，则sin，30，EB1与平面ABB1A1所成的角为30（3）解：当时，E（0，0，），B1（0，2，4），A（2，0，0），（2，

28、0，），（2，2，4），设平面AEB1的法向量（x，y，z），则，取x5，则（5，3，4），平面BB1E的法向量（1，0，0），设二面角AEB1B的大小为，则cos，45二面角AEB1B的大小为45【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角、二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20已知圆C：x26x+y26y+30，直线l：x+y20是圆E与圆C的公共弦AB所在直线方程，且圆E的圆心在直线y2x上（1）求公共弦AB的长度；（2）求圆E的方程；（3）过点Q（1，0）分别作直线MN，RS，交圆E于M，N，R，S四点，且MNRS，求四边形MRNS

29、面积的最大值与最小值【分析】根据直线和圆相交求弦长用直角三角形勾股定理等价条件进行求解即可【解答】解：圆C：x26x+y26y+30（x3）2+（y3）215，所以圆C的圆心坐标（3，3），半径r1，（1），圆心到直线l：x+y20的距离d12，公共弦AB22；（2）圆E的圆心在直线y2x上，设圆心E（a，2a），由题意得CEl，1a0，即E（0，0），E到l的距离d2，所以E的半径r23，所以圆E的方程：x2+y29；（3）当过点Q（1，0）的互相垂直的直线MN，RS为x轴，垂直于x轴时，|MN|2r26，这时直线RS的方程为x1，代入到圆E中，|y|2，所以|RS|4，四边形MRNS的面积s|MN|RS|12；当过点Q（1，0）的互相垂直的直线MN，RS不垂直于x轴时时，设直线MN为：xmy1xmy+1，则直线RS为：ym（x+1）mx+y+m0，所以圆心E到直线MN的距离h，圆心E到直线RS的距离h'，|MN|22，|RS|22，设t（0t1），当t0或1时，正好是x轴及垂直x轴，面积s2，当t时，s最大且s17，t0或1时，s最小12，四边形MRNS面积的最大值17，最小值12【点评】本题主要考查直线和圆相交求相交弦长，及利用勾股定理弦长距离半径之间的关系求解，属于中难度题