2019-2020学年浙江省湖州市高二（上）期中数学试卷（含详细解答）

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1、2019-2020学年浙江省湖州市高二（上）期中数学试卷一、选择题：每小题4分，共40分1（4分）若直线经过O（0，0），两点，则直线OA的倾斜角为（）ABCD2（4分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线AC与B1D所成的角为（）ABCD3（4分）已知aR，那么“a1”是“a21”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4（4分）已知某几何体的三视图，如图所示，则该几何体的体积为（）ABCD5（4分）圆x2+y24被直线3x+4y+50截得的弦长为（）A1B2CD6（4分）已知，是两个不同平面，m，n是两条不同直线，则下列错误的是（）A若m，n，则m

2、nB若m，m，则C若m，m，则D若mn，m，则n7（4分）设球O与圆锥SO1的体积分别为V1，V2，若球O的表面积与圆锥SO1的侧面积相等，且圆锥SO1的轴截面为正三角形，则的值是（）ABCD8（4分）若圆C：（xa）2+（yb）22与两条直线yx和yx都有公共点，则a2+b2的取值范围是（）A2，4B0，4C4，+）D2，+）9（4分）已知正方体ABCDA1B1C1D1的体积为1，则四棱锥BA1B1C1D1与四棱锥AA1B1C1D1重叠部分的体积是（）ABCD10（4分）已知点P（x1，y1）是单位圆x2+y21上的动点，点Q（x2，y2）是直线2x+y60上的动点，定义LPQ|x1x2|+

3、|y1y2|，则LPQ的最小值为（）ABCD二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11（6分）倾斜角为120，在y轴上的截距为1的直线l的方程为 ；直线ax+y+10与直线l垂直，则a 12（6分）已知圆C的方程为x2+y22x2my0，若圆C过点（0，2）则m ，若圆心C在直线2xy0上，则m 13（6分）若a，b，c是不同直线，是平面，若ab，bcA，则直线a与直线c的位置关系是 ；若ab，b，则直线a与平面的位置关系是 14（6分）ABC为边长为2cm的正三角形，则其水平放置（斜二测画法）的直观图的面积为 ，其直观图的周长为 15（4分）已知ax+y+a10与圆C：x2+y22x8y

4、+b0，（a，bR），交于A，B两点，若ABC面积的最大值为4，求此时ab 16（4分）在三棱锥SABC中，底面ABC是正三角形且SASBSC，M是SC的中点，且AMSB，底面边长，则三棱锥SABC外接球的表面为 17（4分）如图，直线l平面，垂足为O，正四面体（所有棱长都相等的三棱锥）ABCD的棱长为2，B是直线l上的动点，C是平面上的动点，求O到点D的距离的最大值 三、解答题：5小题，共74分18设命题p：实数x满足（xa）（x2a）0，其中a0；命题q：实数x满足（2x16）（2x2）0（1）若a1，p，q都是真命题，求实数x的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围

5、19如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x3y60，点T（1，1）在AD边所在直线上求：（1）AD边所在直线的方程；（2）DC边所在的直线方程20如图，在四棱锥PABCD中，AB平面PCD，AB4，AC2，BCAC，平面PAC平面ABCD，PAC是正三角形（1）求证：CD平面PAB；（2）求二面角PABC的平面角的正切值21如图，已知多面体PABCD中，ADBC，AD平面PAB，AD2BC4，AB1，PA2，PAB60（1）证明：PB平面ABCD；（2）求直线PA与平面PCD所成角的正弦值22如图：点P是直线x2上一个动点，过P作圆C：x2+（y1）21的

6、两条切线PA，PB交直线x2于A，B两点O是坐标原点，直线AO，BO的斜率为kAO，kBO（1）当点P的坐标为（2，1）时，求kAOkBO的值；（2）当P运动时，求kAOkBO的最小值，并求此时点P的坐标2019-2020学年浙江省湖州市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题4分，共40分1（4分）若直线经过O（0，0），两点，则直线OA的倾斜角为（）ABCD【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率的概念，利用直线的斜率公式，求得直线OA的倾斜角【解答】解：直线经过O（0，0），两点，设直线OA的倾斜角为，0，），则tan，故选：B【点评】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，直线的

7、斜率公式，属于基础题2（4分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线AC与B1D所成的角为（）ABCD【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC与B1D所成的角【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCDA1B1C1D1中棱长为1，则A（1，0，0），C（0，1，0），D（0，0，0），B1（1，1，1），（1，1，0），（1，1，1），设异面直线AC与B1D所成的角为，则cos0，异面直线AC与B1D所成的角为故选：D【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线

8、、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题3（4分）已知aR，那么“a1”是“a21”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：由a21得a1或a1，即“a1”是“a21”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系是解决本题的关键4（4分）已知某几何体的三视图，如图所示，则该几何体的体积为（）ABCD【分析】由已知中的三视图，我可以判断出几何体的形状，进而求出几何体的底面面积和高后，代入棱锥体积公式，可得答案【解答】解：

9、由已知中的三视图可得几何体是一个三棱锥，棱锥的顶点在底面的射影是斜三角形的顶点，且棱锥的底面是一个以2为底，以为高的三角形，棱锥的高为2，故棱锥的体积V故选：B【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知判断出几何体的形状是解答本题的关键5（4分）圆x2+y24被直线3x+4y+50截得的弦长为（）A1B2CD【分析】求出圆心到直线3x+4y+50的距离，借助由半径、半弦长和弦心距构成的直角三角形利用勾股定理即可得到弦长【解答】解：依题意，圆x2+y24圆心为（0，0），半径r2，所以圆心到直线圆x2+y24的距离d1，设弦长为l，则半径r、半弦长和弦心距d构成直角三角形，所以，解得

10、l2，故选：D【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了点到直线的距离，考查了圆的弦长的求法，借助半径、半弦长和弦心距构成的直角三角形利用勾股定理是常用方法，本题属于基础题6（4分）已知，是两个不同平面，m，n是两条不同直线，则下列错误的是（）A若m，n，则mnB若m，m，则C若m，m，则D若mn，m，则n【分析】在A中，m与n平行或异面；在B中，由面面垂直的判定定理得；在C中，由面面垂直的判定定理得正确；在D中，由线面垂直的判定定理得n【解答】解：由，是两个不同平面，m，n是两条不同直线，知：在A中，m，n，m与n平行或异面，故A错误；在B中，m，m，由面面垂直的判定定理得，故B正确；在C

11、中，m，m，由面面垂直的判定定理得，故C正确；在D中，mn，m，由线面垂直的判定定理得n，故D正确故选：A【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题7（4分）设球O与圆锥SO1的体积分别为V1，V2，若球O的表面积与圆锥SO1的侧面积相等，且圆锥SO1的轴截面为正三角形，则的值是（）ABCD【分析】设球O的半径为R，圆锥SO1的底面半径为r，则圆锥SO1的母线长l2r，由球O的表面积与圆锥SO1的侧面积相等，得r，由此能求出的值【解答】解：设球O的半径为R，圆锥SO1的底面半径为r，则圆锥SO1的母线长l2r，由题意得4R2rl

12、2r2，解得r，故选：C【点评】本题考查球和圆锥的体积求法，考查球和圆锥的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题8（4分）若圆C：（xa）2+（yb）22与两条直线yx和yx都有公共点，则a2+b2的取值范围是（）A2，4B0，4C4，+）D2，+）【分析】根据条件可知点C到这两条直线的距离，即2a+b2；2ab2，作出可行域再结合a2+b2几何意义可得取值范围【解答】解：根据题意，知C（a，b），因为圆C与直线都有公共点，所以点C到这两条直线的距离，即2a+b2；2ab2，作出不等式组表示的平面区域如下图：则可行域为正方形，根据a2+b2的几何意义可知其表示点（a，b）到原点距离的平方，

13、所以a2+b2最大值为224，最小值为0，所以a2+b2范围为0，4故选：B【点评】本题考查直线与圆的位置关系，利用可行域及其几何意义求取值范围是关键，属于中档题9（4分）已知正方体ABCDA1B1C1D1的体积为1，则四棱锥BA1B1C1D1与四棱锥AA1B1C1D1重叠部分的体积是（）ABCD【分析】由题意画出图形，再由三棱柱体积减去三棱锥体积求解【解答】解：如图，设A1BAB1E，AC1BD1O，DC1CD1F，四棱锥BA1B1C1D1与四棱锥AA1B1C1D1重叠部分的体积是：V故选：C【点评】本题考查多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题10（4分）已知点P（x1，y

14、1）是单位圆x2+y21上的动点，点Q（x2，y2）是直线2x+y60上的动点，定义LPQ|x1x2|+|y1y2|，则LPQ的最小值为（）ABCD【分析】利用圆的参数方程与直线的方程分别求出|x1x2|与|y1y2|的最小值，比较即可得答案【解答】解：取x1x20，1，则y1，y262x262x1，则|x1x2|+|y1y2|y1y2|，令x1cos（0，），则|y1y2|62cossin6（+）6；取y1y20，1，则x1，x233则|x1x2|+|y1y2|x1x2|，令y1sin（0，），则|x1x2|3cos3sin（+）3综上可得：|x1x2|+|y1y2|的最小值是3故选：A【点

15、评】本题考查了圆的参数方程，训练了利用换元法及三角函数的单调性求最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11（6分）倾斜角为120，在y轴上的截距为1的直线l的方程为yx+1；直线ax+y+10与直线l垂直，则a【分析】倾斜角为120，在y轴上的截距为1的直线l的方程为：yxtan120+1直线ax+y+10与直线l垂直，可得atan1201，解得a【解答】解：倾斜角为120，在y轴上的截距为1的直线l的方程为：yxtan120+1，即yx+1直线ax+y+10与直线l垂直，则atan1201，解得a故答案为：yx+1，【点评】本题考查了直线的斜截式

16、、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题12（6分）已知圆C的方程为x2+y22x2my0，若圆C过点（0，2）则m1，若圆心C在直线2xy0上，则m2【分析】通过点的坐标代入圆的方程，得到m值；求出圆的圆心代入直线方程，即可得到m值即可【解答】解：圆C的方程为x2+y22x2my0，若圆C过点（0，2），则44m0，解得m1；圆的圆心（1，m），圆心C在直线2xy0上，可得2m0，解得m2；故答案为：1；2【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，圆的一般方程的应用，是基本知识的考查13（6分）若a，b，c是不同直线，是平面，若ab，bcA，则直线a与直线c的位置

17、关系是相交或异面；若ab，b，则直线a与平面的位置关系是a或a【分析】由ab，bcA，得直线a与直线c的位置关系是相交或异面；由ab，b，得直线a与平面的位置关系a或a【解答】解：a，b，c是不同直线，是平面，ab，bcA，直线a与直线c的位置关系是相交或异面ab，b，则直线a与平面的位置关系a或a故答案为：相交或异面，a或a【点评】本题考查直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题14（6分）ABC为边长为2cm的正三角形，则其水平放置（斜二测画法）的直观图的面积为，其直观图的周长为2+【分析】画出正ABC和

18、水平放置的直观图ABC，计算它的面积与周长即可【解答】解：如图所示，ABC为边长为2cm的正三角形，则其水平放置的直观图ABC的面积为SABCBCOAsin452（2sin60）sin45；其直观图ABC的周长为LAB+BC+CA+2+（+）+2+（）2+故答案为：，2+【点评】本题考查了平面图形与它的直观图的应用问题，也考查了三角形面积与周长的计算问题，是基础题15（4分）已知ax+y+a10与圆C：x2+y22x8y+b0，（a，bR），交于A，B两点，若ABC面积的最大值为4，求此时ab【分析】当ABC的面积最大时，ACBC，由ABC面积的最大值为4，可算得b，从而得到C到直线的距离等于

19、2，建立方程可求得a的值，从而得ab的值【解答】解：圆C：x2+y22x8y+b0，即（x1）2+（y4）217b；圆心C（1，4），半径r；当ABC的面积最大时，ACBC，（SABC）max4；r28，即17b8，b9；直角三角形ABC中，ACBCr，C到直线AB：ax+y+a10的距离等于d2，d2，a，ab故答案为：【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，数形结合的思想方法，属于中档题16（4分）在三棱锥SABC中，底面ABC是正三角形且SASBSC，M是SC的中点，且AMSB，底面边长，则三棱锥SABC外接球的表面为12【分析】根据空间直线平面的垂直问题，得出棱锥的

20、高，转化顶点，补图的正方体的外接球求解正三棱锥SABC的外接球的半径即可【解答】解：取AC中点D，则SDAC，DBAC，又SDBDD，AC平面SDB，SB平面SBD，ACSB，又AMSB，AMACA，SB平面SAC，SASB，SCSB，根据对称性可知SASC，从而可知SA，SB，SC两两垂直，将其补为立方体，其棱长为2，其外接球即为立方体的外接球，半径r，表面积S4312故答案为：12【点评】本题考查了空间空间几何体的性质，学生的空间思维能力，计算能力，属于中档题17（4分）如图，直线l平面，垂足为O，正四面体（所有棱长都相等的三棱锥）ABCD的棱长为2，B是直线l上的动点，C是平面上的动点，

21、求O到点D的距离的最大值【分析】先确定直线BC与动点O的位置关系，得到最大距离是AD到球心的距离+半径，由此能求出O到点D的距离的最大值【解答】解：由题意，直线BC与动点O的位置关系是：点O是以BC为直径的球面上的点，所以O到AD的距离为四面体上以BC为直径的球面上的点到AD的距离，最大距离为AD到球心的距离（即BC与AD的公垂线段长）+半径+1O到点D的距离的最大值为：故答案为：【点评】本题考查两点间距离的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题三、解答题：5小题，共74分18设命

22、题p：实数x满足（xa）（x2a）0，其中a0；命题q：实数x满足（2x16）（2x2）0（1）若a1，p，q都是真命题，求实数x的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围【分析】先分别求出命题p，q为真时对应的集合，取交集即可求出x的范围；再根据集合间的基本关系与充分、必要条件的关系列出不等式即可求出a的取值范围【解答】解：（1）当a1时，（x1）（x2）0解得1x2，（2x16）（2x2）0解得22x16，即1x4，所以当p，q都是真命题时，解得1x2，故实数x的取值范围为（1，2）；（2）命题p：ax2a，因为p是q的充分不必要条件，所以（a，2a）1，4，解得1a2

23、，故实数a的取值范围为1，2【点评】本题主要考查由命题的真假求参数的取值范围以及集合间的基本关系与充分、必要条件的关系应用，属于基础题19如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x3y60，点T（1，1）在AD边所在直线上求：（1）AD边所在直线的方程；（2）DC边所在的直线方程【分析】（1）先由AD与AB垂直，求得AD的斜率，再由点斜式求得其直线方程；（2）根据矩形特点可以设DC的直线方程为x3y+m0（m6），然后由点到直线距离得出，就可以求出m的值，即可求出结果【解答】解：（1）因为AB边所在直线的方程为x3y60，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为

24、3又因为点T（1，1）在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为y13（x+1）3x+y+20（2）M为矩形ABCD两对角线的交点，则点M到直线AB和直线DC的距离相等DCAB可令DC的直线方程为：x3y+m0（m6）M到直线AB的距离dM到直线BC的距离即：m2或6，又m6m2DC边所在的直线方程为：x3y+20【点评】本题主要考查直线方程的求法，（2）问解题的关键是充分利用矩形的特点，属于中档题20如图，在四棱锥PABCD中，AB平面PCD，AB4，AC2，BCAC，平面PAC平面ABCD，PAC是正三角形（1）求证：CD平面PAB；（2）求二面角PABC的平面角的正切值【分析】（1）推导出

25、ABCD，由此能证明CD平面PAB（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，过C作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角PABC的平面角的正切值【解答】解：（1）证明：在四棱锥PABCD中，AB平面PCD，ABCD，CD平面PAB，AB平面PAB，CD平面PAB（2）解：AB4，AC2，BCAC，平面PAC平面ABCD，PAC是正三角形以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，过C作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则P（1，0，），A（2，0，0），B（0，2，0），（1，0，），（2，2，0），设平面PAB的法向量（x，y，z），则，取z1，得（，1，1

26、），平面ABC的法向量（0，0，1），设二面角PABC的平面角为，则cos，sin，tan2二面角PABC的平面角的正切值为2【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基知识，考查运算求解能力，是中档题21如图，已知多面体PABCD中，ADBC，AD平面PAB，AD2BC4，AB1，PA2，PAB60（1）证明：PB平面ABCD；（2）求直线PA与平面PCD所成角的正弦值【分析】（1）由余弦定理得PB，从而PBAB，由AD平面PAB，得ADPB，再由PBAB，能证明PB平面ABCD（2）由余弦定理求出cosPDC，从而sinPCD，SAC

27、D2，设直线PA与平面PCD所成角为，点A到平面PCD的距离为h，由VAPDCVPACD，得h，从而sin，由此能求出直线PA与平面PCD所成角的正弦值【解答】证明：（1）在PBA中，PA2，AB1，PAB60，PB24+1221cos603，PB，PB2+AB2PA2，PBAB，ADBC，A，B，C，D四点共面，又AD平面PAB，PB平面PAB，ADPB，又PBAB，ADABA，PB平面ABCD解：（2）在RtPBC中，PC，在RtPAD中，PD2，在直角梯形ABCD中，CD，在PDC中，cosPDC，sinPCD，SACD2，设直线PA与平面PCD所成角为，设点A到平面PCD的距离为h，V

28、APDCVPACD，即，解得h，sin，直线PA与平面PCD所成角的正弦值为【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题22如图：点P是直线x2上一个动点，过P作圆C：x2+（y1）21的两条切线PA，PB交直线x2于A，B两点O是坐标原点，直线AO，BO的斜率为kAO，kBO（1）当点P的坐标为（2，1）时，求kAOkBO的值；（2）当P运动时，求kAOkBO的最小值，并求此时点P的坐标【分析】（1）当点P的坐标为（2，1）时，设直线为y1k（x+2），根据直线与圆相切，圆心到直线的距

29、离等于半径，建立方程，求出斜率k的值，得出切线方程，从而求得点A，B的坐标，得出kAOkBO的値；（2）设出切线方程，找出m与k的关系，根据韦达定理和斜率公式，建立关于m的一元二次方程，求出kAOkBO最小时的m，即求出P的坐标【解答】解：（1）当点P的坐标为（2，1）时，设直线为y1k（x+2），根据直线与圆相切，得，得或者，所以两条切线的方程为，把x2代入得所以（2）设P（2，m），设切线的方程为yk（x+2）+m，由，化简得3k2+4（m1）k+m22m0，根据韦达定理，设A（2，y1），B（2，y2），当x2时，y14k1+m，y24k2+m，代入化简得，所以当时，kAOkBO最小，综上，P（2，）【点评】（1）考察直线与圆相切；（2）直线与圆的综合题，会灵活的利用韦达定理，会求一元二次方程的最值中档题