2019-2020学年浙江省9+1高中联盟高二（上）期中数学试卷（含详细解答）

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1、2019-2020学年浙江省9+1高中联盟高二（上）期中数学试卷一、选择题：每小题4分，共40分1（4分）直线x+y+10的倾斜角是（）A30B60C120D1502（4分）已知命题p：若x3，则x5，命题q：若x3，则x5，则命题p是命题q的（）A否命题B逆命题C逆否命题D否定形式3（4分）已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m的是（）A且mB且mCmn且nDmn且n4（4分）已知直线ykx+2与圆x2+y21有公共点的充分不必要条件是（）A或Bk2CD5（4分）一个底面半径为2，高为4的圆锥中有一个内接圆柱，该圆柱侧面积的最大值为（）A2B3C4D5

2、6（4分）过球O表面上一点A引三条长度相等的弦AB、AC、AD，且AB、AC、AD两两夹角都为60，若BD，则该球的体积为（）ABCD7（4分）已知点P是椭圆E：上第一象限内的一点，M，N分别是圆（x+3）2+y24和（x3）2+y21上的点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A6B7C8D98（4分）已知正四面体ABCD中，M为棱AD的中点，设P是BCM（含边界）内的点，若点P到平面ABC，平面ACD，平面ABD的距离相等，则符合条件的点P（）A仅有一个B有有限多个C有无限多个D不存在9（4分）设PABCD是一个高为3，底面边长为2的正四棱锥，M为PC中点，过AM作平面AEMF与线段PB，P

3、D分别交于点E，F（可以是线段端点），则四棱锥PAEMF的体积的取值范围为（）A，2B，C1，D1，210（4分）如图，A，B，C是椭圆上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BFAC且|BF|3|CF|，则该椭圆的离心率为（）ABCD二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11（6分）空间直角坐标系Oxyz中，点M（1，1，1）关于x轴的对称点坐标是 ；|OM| 12（6分）若方程表示椭圆，则实数m的取值范围是 ；当m1时，椭圆的焦点坐标为 13（6分）如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线A1B与直线AC所成角的大小为 ；直线A1B和平面A1B1CD所成角的大小为 1

4、4（6分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形则该几何体的体积是 ；若用3个这样的几何体拼成一个棱柱，则该棱柱的表面积为 15（4分）设直线l：xy+m0上存在点P到点A（3，0），O（0，0）的距离之比为2，则实数m的取值范围为 16（4分）如图，在矩形ABCD中，AB1，BC，E为线段BC上一动点，现将ABE沿AE折起得到ABE，当二面角BAED的平面角为120，点B在平面ABC上的投影为K，当E从B运动到C，则点K所形成轨迹的长度为 17（4分）已知椭圆，圆C：（xt）2+y21，直线l与椭圆交于A，B两点，与圆相切于M点，且M为线段AB的中

5、点，若这样的直线l有4条，则t的取值范围为 三、解答题：5小题，共74分18（14分）已知两直线l1：3xy10，l2：x+2y50（1）求过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程；（2）若直线l3：xay+4a30与l1，l2不能构成三角形，求实数a的值19（15分）如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为菱形且ADC60，侧面SAD是等边三角形，且平面SAD平面ABCD，M，N分别为AD，SC中点（1）求证：MN平面SAB；（2）求证：平面MNB平面SBC、20（15分）如图，梯形ABCS中，ASBC，ABBC，D，E分别是SA，SC的中点，现将SCD沿CD翻折到PCD位置，使（

6、1）证明：PD平面ABCD；（2）求二面角EBDC的平面角的正切值；（3）求AB与平面BDE所成的角的正弦值21（15分）已知圆M的圆心在直线l1：xy10上，与直线l2：4x+3y+140相切，截直线l3：3x+4y+100所得的弦长为6（1）求圆M的方程；（2）过点P（4，3）的两条成60角的直线分别交圆M于A，C和B，D，求四边形ABCD面积的最大值22（15分）如图，已知椭圆的左顶点为A，过右焦点F的直线交椭圆于B，D两点，直线AB，AD分别交直线l：x2于点M，N（1）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由；（2）记MB，MF，MD的斜率分别为k1，k2，k3，证明：k1，

7、k2，k3成等差数列2019-2020学年浙江省9+1高中联盟高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题4分，共40分1（4分）直线x+y+10的倾斜角是（）A30B60C120D150【分析】由直线方程求得直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求解【解答】解：直线x+y+10的斜率k，设其倾斜角为（0180），则tan，150故选：D【点评】本题考查直线的倾斜角，考查直线倾斜角与斜率的关系，是基础题2（4分）已知命题p：若x3，则x5，命题q：若x3，则x5，则命题p是命题q的（）A否命题B逆命题C逆否命题D否定形式【分析】根据命题“若p，则q”的否命题是“若p，则q”，即可

8、得出结论【解答】解：命题p：如果x3，那么x5，命题q：如果x3，那么x5，则命题p是命题q的否命题故选：A【点评】本题考查了四种命题之间的关系与应用问题，是基础题3（4分）已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m的是（）A且mB且mCmn且nDmn且n【分析】根据A，B，C，D所给的条件，分别进行判断，能够得到正确结果【解答】解：，且mm，或m，或m与相交，故A不成立；，且mm，或m，或m与相交，故B不成立；mn，且nm，故C成立；由mn，且n，知m不成立，故D不正确故选：C【点评】本题考查直线与平面的位置关系的判断，解题时要认真审题，仔细解答，属于基础

9、题4（4分）已知直线ykx+2与圆x2+y21有公共点的充分不必要条件是（）A或Bk2CD【分析】先求出圆x2+y21与直线ykx+2有公共点的等价条件，然后根据充分不必要条件的定义进行判断【解答】解：若直线与圆有公共点，则圆心O（0，0）到直线kxy+20的距离d1，解得：k或k，即Akk或k，圆x2+y21与直线ykx+2有公共点的充分不必要条件是k属于A的真子集，只有k2满足条件；故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要的条件的应用，利用直线和圆的位置关系是解决本题的关键5（4分）一个底面半径为2，高为4的圆锥中有一个内接圆柱，该圆柱侧面积的最大值为（）A2B3C4D5【分析】设内接圆

10、柱的底面半径为x，表示出圆柱的高h，写出圆柱的侧面积，再求S侧的最大值【解答】解：圆锥的底面半径为2，高为4，内接圆柱的底面半径为x时，它的上底面截圆锥得小圆锥的高为2x因此，内接圆柱的高 h42x；圆柱的侧面积为：S侧2x（42x）4（2xx2） （0x2）令t2xx2，当x1时tmax1；所以当x1时，（ S侧）max4即圆柱的底面半径为1时，圆柱的侧面积最大，最大值为4故选：C【点评】本题考查了圆柱的侧面积公式和旋转体的内接外切等知识点，是基础题6（4分）过球O表面上一点A引三条长度相等的弦AB、AC、AD，且AB、AC、AD两两夹角都为60，若BD，则该球的体积为（）ABCD【分析】由

11、题意画出图形，可知ABCD是正四面体，设ABa，将正三棱锥ABCD补充成一个正方体AGBHFDEC，可得正三棱锥ABCD和正方体AGBHFDEC有共同的外接球，推出与正方体外接球半径R的关系，即可求球的体积【解答】解：如图：A、B、C、D为球上四点，设ABACADa，AB、AC、AD两两夹角都为60，BD，三棱锥ABCD为正四面体则正三棱锥ABCD和正方体AGBHFDEC有共同的外接球，BCD的边长就是正方体面的对角线，则正方体AGBHFDEC的棱长为1，则正方体外接球半径R满足：12+12+12（2R）2，解得R该球的体积为故选：A【点评】本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间想象能

12、力和思维能力，是中档题7（4分）已知点P是椭圆E：上第一象限内的一点，M，N分别是圆（x+3）2+y24和（x3）2+y21上的点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A6B7C8D9【分析】由题意画出图形，数形结合得答案【解答】解：如图，椭圆E：的a5圆（x+3）2+y24和（x3）2+y21的圆心为椭圆的两个焦点，则当M，N为如图所示位置时，|PM|+|PN|的最小值为2a（2+1）7故选：B【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆定义的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题8（4分）已知正四面体ABCD中，M为棱AD的中点，设P是BCM（含边界）内的点，若点P到平面ABC，平面ACD

13、，平面ABD的距离相等，则符合条件的点P（）A仅有一个B有有限多个C有无限多个D不存在【分析】根据提示信息构造出三个面面平行，结合本题是正四面全这一属性，得出结论【解答】解：过点P作平面平面ABC，作平面平面ACD，作平面平面ABD，根据“三个不平行不重合的平面相交，会得到三条互相平行的直线或一个点”，本题四个点A，B，C，D构成的是正四面体，可知，此时这三个平面，也只会交出一个点，所以符合条件的只有一个点故选：A【点评】考查面面相交的结论，考查利用面面平行找距离相等的点，属于中档题9（4分）设PABCD是一个高为3，底面边长为2的正四棱锥，M为PC中点，过AM作平面AEMF与线段PB，PD分

14、别交于点E，F（可以是线段端点），则四棱锥PAEMF的体积的取值范围为（）A，2B，C1，D1，2【分析】由三棱锥被截四面体的体积与原四棱锥的体积的结论，转化到本题中，进而转化成函数求最值问题，求导分析单调性后即可求得最值，【解答】解：为了建立四棱锥PAEMF的体积与原三棱锥的体积的关系，我们先引用下面的事实，（如图）设A1，B1，C1分别在三棱锥SABC的侧棱SA，SB，SC上，又SA1B1C1与SABC的体积分别为V1和V，则事实上，设C，C1在平面SAB的射影分别为H，H1，则又所以下面回到原题：设，PABCD的体积V0，于是由上面的事实有：+，得：xy+xy，于是，而由01，x1，得，

15、则Vx+yx+（），又得，所以，当时，V0，V为减函数，当时，V0，V为增函数所以得：，又，得Vmax，故答案为，故选：B【点评】本题考查的知识点是棱锥和棱柱的体积，导数法求函数的最大值，难度较大10（4分）如图，A，B，C是椭圆上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BFAC且|BF|3|CF|，则该椭圆的离心率为（）ABCD【分析】利用椭圆的定义及勾股定理求得a和c的关系，根据椭圆的离心率即公式即可求得椭圆E的离心率【解答】解：设椭圆的左焦点F1（c，0），连接AF1，BF1，CF1，设|CF|m，由对称性可知：|AF1|BF|3m，由椭圆的定义可知：|AF|2a3m，|CF1|2

16、am由AF1BF，则AF1AC，则AF1C中，由|AF1|2+|AC|2|CF1|2，则9m2+（2a2m）2（2am）2，整理得：m，在RtAF1F中，9m2+（2a3m）2（2c）2，将m代入解得椭圆的离心率e故选：B【点评】本题考查椭圆的性质，直线与椭圆位置关系，考查勾股定理的应用，考查转化思想，属于中档题二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11（6分）空间直角坐标系Oxyz中，点M（1，1，1）关于x轴的对称点坐标是（1，1，1）；|OM|【分析】根据空间直角坐标系中，点M（x，y，z）关于x轴的对称点坐标是M（x，y，z）；以及两点间的距离公式，计算即可【解答】解：空间直角坐标

17、系Oxyz中，点M（1，1，1）关于x轴的对称点坐标是M（1，1，1）；|OM|故答案为：（1，1，1），【点评】本题考查了空间直角坐标系中点的坐标问题，也考查了两点间的距离计算问题，是基础题12（6分）若方程表示椭圆，则实数m的取值范围是2m1且m；当m1时，椭圆的焦点坐标为（0，1）【分析】由方程表示椭圆，可得，即可得实数m的取值范围；当m1时，椭圆方程为，根据a，b，c关系可得焦点坐标【解答】解：方程表示椭圆，即2m1且m，当m1时，椭圆方程为，则22，b21，c1且焦点在y轴上焦点坐标为是（0，1）；故答案为：2m1且m，（0，1）【点评】本题考查了椭圆方程，解题时注意椭圆焦点位置，属

18、于中档题13（6分）如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线A1B与直线AC所成角的大小为；直线A1B和平面A1B1CD所成角的大小为【分析】连接AC，BC，等边三角形BAC，所以直线A1B与直线AC所成角的大小为 ，设BC交BC与O，角OAB为所求的角，在RTOAB中，sinOAB，得出答案【解答】解：连接AC，BC，等边三角形BAC，所以直线A1B与直线AC所成角的大小为 ，因为正方形BCCB，所以BCBC，又DC平面BCCB，所以BCCD，设BC交BC与O，角OAB为所求的角，在RTOAB中，sinOAB，所以直线A1B和平面A1B1CD所成角的大小为，故答案为：，【点评】考查

19、了异面直线所成的角，线面所成的角，基础题14（6分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形则该几何体的体积是；若用3个这样的几何体拼成一个棱柱，则该棱柱的表面积为24【分析】根据三视图知几何体为一直四棱锥，结合图中数据求出该四棱锥的体积【解答】解：由三视图知几何体为一倒着放得直四棱锥，把其放正得其直观图如图所示；正视图和侧视图是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，四棱锥的底面是正方形，且边长为2，其中一条侧棱垂直于底面且侧棱长也为2，该四棱锥的体积为222三个这样的几何体组成的是如上图分别是以S为顶点，底面1，前面2，右侧面3为底面的三个四棱锥；实际

20、就是棱长为2的正方体所以其表面积为62224故答案为：，24【点评】本题考查了由三视图求几何体体积的应用问题，解题的关键是判断几何体的形状，是基础题15（4分）设直线l：xy+m0上存在点P到点A（3，0），O（0，0）的距离之比为2，则实数m的取值范围为3，5【分析】设点P（x，y），根据点P到点A（3，0），O（0，0）的距离之比为2，可得2，化简可得其轨迹为圆，又点P在直线l：xy+m0上，可得直线与圆有交点【解答】解：设点P（x，y），点P到点A（3，0），O（0，0）的距离之比为2，2，化为：（x+1）2+y24，可得点P在以（1，0）为圆心，2为半径的圆上又点P在直线l：xy+m0

21、上，2，化为：|m1|4，解得3m5实数m的取值范围为3，5故答案为：3，5【点评】本题考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16（4分）如图，在矩形ABCD中，AB1，BC，E为线段BC上一动点，现将ABE沿AE折起得到ABE，当二面角BAED的平面角为120，点B在平面ABC上的投影为K，当E从B运动到C，则点K所形成轨迹的长度为【分析】过K作KOAE，连接DO，二面角DAEB的平面角为120，BOK60，则KOBO，原问题可以转化为BOAE，K为BO中点（如图2），进而可得到K点的轨迹是以MD为直径的圆上一弧【解答】解：过K作KO

22、AE，连接OB，二面角BAED的平面角为120，BOK60，KOBO，从而原问题就转化为BOAE，K为BO中点，求K的轨迹长度，如下图：BOAE，O在以AB为直径的圆上，取AB中点J，则JKBK，所以K点的轨迹是以BJ为直径的圆上的一段弧，设此圆圆心为O，得其半径为AB又E与C重合时，BK，得等边BOK，KOB60，KOJ120，所对的弧长为故答案为【点评】本题以平面图形的翻折为载体，考查立体几何中的轨迹问题，考查了转化思想，属于中档题17（4分）已知椭圆，圆C：（xt）2+y21，直线l与椭圆交于A，B两点，与圆相切于M点，且M为线段AB的中点，若这样的直线l有4条，则t的取值范围为【分析】

23、利用点差法求得直线AB的斜率可得4ky0x0，根据kMCkAB1，又直线与圆相切，所以k1，求得M点横坐标x0，由M在椭圆内部，则，即可求得t的取值范围【解答】解：当直线AB斜率不存在且与圆C相切时，M在x轴上故满足条件的直线有两条；当l的斜率存在时，设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），lAB的斜率为k，代入椭圆方程相减，整理得4（y1+y2）（y1y2）+（x1x2）（x1+x2），利用点差法可得4ky0x0，因为直线与圆相切，所以k1，所以x0，即M的轨迹是直线x由M在椭圆内部，则由：1（t）2+y02，得 ，代入得：故答案为：【点评】本题考查点差法的应用，以及直线和圆

24、相切，属于中档题三、解答题：5小题，共74分18（14分）已知两直线l1：3xy10，l2：x+2y50（1）求过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程；（2）若直线l3：xay+4a30与l1，l2不能构成三角形，求实数a的值【分析】（1）联立方程组，求得l1和l2的交点坐标，再分类讨论求出要求的直线方程（2）分当l3l1时、当l3l2时、当l3经过l1和l2的交点时，三种情况，分别求出a的范围【解答】解：（1）把两直线l1：3xy10，l2：x+2y50的方程联立方程组，求得，可得两直线的交点为（1，2）当要求的直线过原点时，斜率为2，方程为y2x当要求的直线不过原点时，设方程为x

25、+ya0，把交点（1，2）代入，求得a3，可得要求的直线方程为x+y30（2）当l3l1时，根据，求得a；当l3l2时，根据，求得a2；当l3经过l1和l2的交点（1，2）时 由12a+4a30，求得a1综上可得，a，或a2，或a1【点评】本题主要考查求直线的交点坐标，两条直线平行的条件，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题19（15分）如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为菱形且ADC60，侧面SAD是等边三角形，且平面SAD平面ABCD，M，N分别为AD，SC中点（1）求证：MN平面SAB；（2）求证：平面MNB平面SBC、【分析】（1）取SB的中点E，连接NE、AE，证明四边形AMN

26、E是平行四边形，得出MNAE，从而证明MN平面SAB；（2）由SMAD，证明SM平面ABCD，得出SMBC；再证BC平面SMC，得出BCMN，证明MN平面SBC，即可证明平面MNB平面SBC【解答】证明：（1）取SB的中点E，连接NE、AE，如图所示；因为M、N分别为AD、SC的中点，所以ENBC，且ENBC，AMBC，且AMBC，所以ENAM，且ENAM；所以四边形AMNE是平行四边形，所以MNAE；又MN平面SAB，AE平面SAB，所以MN平面SAB；（2）由题意知，SMAD，因为平面SAD平面ABCD，且平面SAD平面ABCDAD，所以SM平面ABCD，所以SMBC；又ADC是正三角形，

27、则CMAD，即CMBC；又CMSMM，所以BC平面SMC，且MN平面SBC，所以BCMN；在SMC中，SMMC，N是SC的中点，则MNSC，且BCSCC，所以MN平面SBC，且MN平面MNB，所以平面MNB平面SBC【点评】本题考查了空间中的平行与垂直关系证明问题，也考查了推理与论证能力，是中档题20（15分）如图，梯形ABCS中，ASBC，ABBC，D，E分别是SA，SC的中点，现将SCD沿CD翻折到PCD位置，使（1）证明：PD平面ABCD；（2）求二面角EBDC的平面角的正切值；（3）求AB与平面BDE所成的角的正弦值【分析】（1）由已知可得，四边形ABCD为正方形，CDSD，折叠后，C

28、DPD，再由勾股定理证得PDBD，由线面垂直的判定可得PD平面ABCD；（2）取DC中点F，连接EF，又E是PC的中点，可得EFPD，进一步得到EF平面ABCD，作FGBD，连接EG，则EGF为二面角EBDC的平面角，求解三角形得二面角EBDC的平面角的正切值；（3）设BA与平面BDE所成的角为，则sin，其中d为点A到平面BDE的距离，然后利用等体积法求出d，则答案可求【解答】（1）证明：由已知可得，四边形ABCD为正方形，且BD，SD2，CDSD，折叠后，CDPD，且PD2，PB，满足PB2PD2+BD2，则PDBD，又CDBDD，PD平面ABCD；（2）解：取DC中点F，连接EF，又E是

29、PC的中点，EFPD，PD平面ABCD，EF平面ABCD，作FGBD，连接EG，则EGBD，EGF为二面角EBDC的平面角，则tan；（3）解：设BA与平面BDE所成的角为，则sin，其中d为点A到平面BDE的距离，VEABDVABDE，由已知求得BF，BE，DE，BD，cos，sinBDE，又SABD2，即dsin【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了空间角的求法，是中档题21（15分）已知圆M的圆心在直线l1：xy10上，与直线l2：4x+3y+140相切，截直线l3：3x+4y+100所得的弦长为6（1）求圆M的方程；（2）过点P（4，3）的两条成60角

30、的直线分别交圆M于A，C和B，D，求四边形ABCD面积的最大值【分析】（1）令圆的方程为：（xa）2+（yb）2r2，用待定系数法求出a，b，r代入即可； （2）SABCD|AC|BD|sinAPD，当且仅当|AC|BD|时取等号，要使|AC|BD|，则PM是APD的平分线，分APD120时，APD60时，讨论，求出四边形ABCD面积的最大值【解答】解：（1）令圆的方程为：（xa）2+（yb）2r2，则由ba1，联立解方程组得，a2，b1，r5，所以（x2）2+（y1）225（2）SABCD|AC|BD|sinAPD，当且仅当|AC|BD|时取等号，要使|AC|BD|，则PM是APD的平分线，

31、当APD120时，圆心M到直线AC、BD的距离是，则|AC|BD|2，当APD60时，圆心M到直线AC、BD的距离是，则|AC|BD|2，综上，四边形ABCD面积的最大值为【点评】（1）考查待定系数法求圆的标准方程；（2）利用了均值不等式，分类讨论思想，属于中档题22（15分）如图，已知椭圆的左顶点为A，过右焦点F的直线交椭圆于B，D两点，直线AB，AD分别交直线l：x2于点M，N（1）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由；（2）记MB，MF，MD的斜率分别为k1，k2，k3，证明：k1，k2，k3成等差数列【分析】（1）令直线DB：x1+ty，设B（x1，y1），D（x2，y2），联立点M（2，），N（2，）1+1+1+110即可证明（2）由（1）可知k1，k3k1+k32k2y1即可证明【解答】解：（1）令直线DB的方程为：x1+ty，设B（x1，y1），D（x2，y2），联立得：（2+t2）y2+2ty10则y1+y2，y1y2直线AB：，直线AD：即点M（2，），N（2，）又点F（1，0），（1，），（1，）1+1+1+110故以线段MN为直径的圆过点F（2）由（1）可知k1，k3k1+k32k2y1，k1，k2，k3成等差数列【点评】本题主要考查椭圆方程，利用直线和椭圆的位置关系，以及直线斜率公式、等差数列的判定，属于综合性较强的题