2019-2020学年浙江省舟山市高二（上）期末数学试卷（含详细解答）

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1、2019-2020学年浙江省舟山市高二（上）期末数学试卷一、选择题：每小题4分，共40分1（4分）直线yx+1的倾斜角是（）ABCD2（4分）半径为2的球的表面积是（）ABC16D323（4分）已知直线l和平面，若l，P，则过点P且平行于l的直线（）A只有一条，不在平面内B只有一条，且在平面内C有无数条，一定在平面内D有无数条，一定不在平面内4（4分）圆（x+2）2+y24与圆（x2）2+（y3）225的位置关系为（）A内切B外切C相交D相离5（4分）设m、n是不同的直线，、是不同的平面，下列命题中正确的是（）A若m，n，mn，则B若m，n，mn，则C若mn，m，n，则D若m，n，m，n，则6

2、（4分）将正方形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角BACD，则异面直线AB和CD所成角的余弦值为（）ABCD7（4分）若直线mx+ny4和圆x2+y24没有公共点，则过点（m，n）的直线与椭圆的公共点个数为（）A至多一个B0个C1个D2个8（4分）九章算术中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A4B8C12D169（4分）在长方体ABCDA1B1C1D1中，DADC1，DD12，分别在对角线A1D，CD1上取点M、N，使得直线MN平面A1ACC1，则线段MN长的

3、最小值为（）ABCD210（4分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上一点，直线F2M垂直于OP且交线段F1P于点M，|F1M|2|MP|，则该椭圆的离心率的取值范围是（）ABCD二、填空题：单空题4分，多空题6分，共36分11（6分）已知向量（1，2，2），（2，x，1），则| ；若，则x 12（6分）某简单几何体的三视图（俯视图为等边三角形）如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）为 ；表面积为 （单位：cm2）13（6分）双曲线的渐近线方程为 ，C上一点P到点F1（5，0）的距离为7，则点P到点F2（5，0）的距离为 14（6分）正三棱柱ABCA1B1C1的

4、侧棱长和底面边长均为2，则AC1与侧面ABB1A1所成角的正弦值为 ；点E为AB中点，则过B1，E，C1三点的截面面积为 15（4分）已知圆C：（x2）2+y29，过点M（1，2）的直线l交圆于A、B两点，当时，l所在的直线方程是 16（4分）过抛物线C：y24x的焦点F的直线与抛物线C交于A、B两点，则|AF|+4|BF|的最小值为 17（4分）若四棱锥PABCD的侧面PAB内有一动点Q，已知Q到底面ABCD的距离与Q到点P的距离之比为正常数k，且动点Q的轨迹是抛物线，则当二面角PABC平面角的大小为60时，k的值为 三、解答题：5小题，共74分18（14分）已知平面内三点A（3，0）、B（

5、5，4）、P（5，4），（1）求过点P且与AB平行的直线方程；（2）求过点P、A、B三点的圆的方程19（15分）如图所示，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD是矩形且CD2，PDAD1，E、F分别是CD、PB的中点（1）求证：直线EF平面PAD；（2）求证：直线EF平面PAB20（15分）已知椭圆的离心率为，且过点（1）求椭圆C的方程；（2）直线l交椭圆C于不同的两点A、B，且AB中点E在直线x1上，线段AB的垂直平分线交y轴于点P（0，m），求m的取值范围21（15分）如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为平行四边形，ABP为边长为2的等边三角形，O为AB的中点，DO平

6、面ABP（1）求证：ABDP；（2）当四边形ABCD为菱形时，求AC与平面PCD所成角大小的正弦值22（15分）如图，已知抛物线C：y24x，过抛物线焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，P是抛物线外一点，连接PA，PB分别交抛物线于点C，D，且CDAB，设AB，CD的中点分别为M，N（1）求证：MNx轴；（2）若，求PAB面积的最小值2019-2020学年浙江省舟山市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题4分，共40分1（4分）直线yx+1的倾斜角是（）ABCD【分析】根据题意，设直线yx+1的倾斜角为，由直线的方程可得其斜率k，则有tan1，结合的范围即可得答案【解答】解

7、：根据题意，设直线yx+1的倾斜角为，直线的方程为：yx+1，其斜率k1，则有tan1，又由0，则，故选：B【点评】本题考查直线的倾斜角，注意直线倾斜角的定义2（4分）半径为2的球的表面积是（）ABC16D32【分析】由球的表面积公式直接求出表面积即可【解答】解：由球的表面积公式可得S4R216，故选：C【点评】考查球的表面积公式，属于基础题3（4分）已知直线l和平面，若l，P，则过点P且平行于l的直线（）A只有一条，不在平面内B只有一条，且在平面内C有无数条，一定在平面内D有无数条，一定不在平面内【分析】通过假设过点P且平行于l的直线有两条m与n的出矛盾，由题意得ml且nl，这与两条直线m与

8、n相交与点P相矛盾，又因为点P在平面内所以点P且平行于l的直线有一条且在平面内【解答】解：假设过点P且平行于l的直线有两条m与nml且nl由平行公理4得mn这与两条直线m与n相交与点P相矛盾又因为点P在平面内所以点P且平行于l的直线有一条且在平面内所以假设错误故选：B【点评】反证法一般用于问题的已知比较简单或命题不易证明的命题的证明，此类题目属于难度较高的题型4（4分）圆（x+2）2+y24与圆（x2）2+（y3）225的位置关系为（）A内切B外切C相交D相离【分析】根据题意，分析两个圆的圆心与半径，求出两圆的圆心距，据此分析可得答案【解答】解：根据题意，圆（x+2）2+y24的圆心为（2，0

9、），半径r12；圆（x2）2+（y3）225的圆心为（2，3），半径r25；两圆的圆心距d5，有52d5+2，则两圆相交；故选：C【点评】本题考查圆与圆的位置关系，注意圆与圆位置关系的判断方法，属于基础题5（4分）设m、n是不同的直线，、是不同的平面，下列命题中正确的是（）A若m，n，mn，则B若m，n，mn，则C若mn，m，n，则D若m，n，m，n，则【分析】在A中，与相交或平行；在B中，由面面垂直的判定定理得；在C中，与相交或平行；在D中，与相交或平行【解答】解：在A中，若m，n，mn，则由面面垂直的判定定理得，故A正确；在B中，若m，n，mn，则与相交或平行，故B错误；在C中，若mn，m

10、，n，则与相交或平行，故C错误；在D中，若m，n，m，n，则与相交或平行，故D错误故选：A【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养6（4分）将正方形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角BACD，则异面直线AB和CD所成角的余弦值为（）ABCD【分析】根据题意可知OB，OC，OD三直线两两垂直，从而可分别以这三直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，并设OC1，从而可得出A，B，C，D的坐标，进而得出向量，的坐标，从而可求出的值，进而得出异面直线AB和CD所成角的余弦值【解答】解：如图，取AC的中点为O，连接BO，DO，则：OBAC，ODAC，且二面角

11、BACD为直二面角，OB，OC，OD三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设OC1，则：A（0，1，0），B（1，0，0），C（0，1，0），D（0，0，1），异面直线AB和CD所成角的余弦值为故选：A【点评】本题考查了二面角的定义，通过建立空间直角坐标系，利用向量坐标解决异面直线所成角的问题的方法，向量数量积的坐标运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题7（4分）若直线mx+ny4和圆x2+y24没有公共点，则过点（m，n）的直线与椭圆的公共点个数为（）A至多一个B0个C1个D2个【分析】先根据题意可知原点到直线mx+ny40的距离大于等于 2求得m和

12、n的范围可推断点P（m，n）是以原点为圆心，2为半径的圆内的点，根据圆的方程和椭圆方程可知圆x2+y24内切于椭圆，进而可知点P是椭圆内的点，进而判断可得答案【解答】解：因为直线mx+ny4和圆x2+y24没有公共点，所以原点到直线mx+ny40的距离d2，所以m2+n24，所以点P（m，n）是在以原点为圆心，2为半径的圆内的点椭圆的长半轴 3，短半轴为 2圆x2+y24内切于椭圆点P是椭圆内的点过点P（m，n）的一条直线与椭圆的公共点数为2故选：D【点评】本题主要考查了直线与圆、直线与圆锥曲线的关系，以及点到直线的距离公式，解决此类问题可采用数形结合的方法较为直观8（4分）九章算术中，称底面

13、为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A4B8C12D16【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案【解答】解：根据正六边形的性质，则D1A1ABB1，D1A1AFF1满足题意，而C1，E1，C，D，E，和D1一样，有248，当A1ACC1为底面矩形，有4个满足题意，当A1AEE1为底面矩形，有4个满足题意，故有8+4+416故选：D【点评】本题考查了新定义，以及排除组合的问题，考查了棱柱的特征，属于中档题9（4分）在长方体ABCDA1B1C1D1中，DADC1，DD12，

14、分别在对角线A1D，CD1上取点M、N，使得直线MN平面A1ACC1，则线段MN长的最小值为（）ABCD2【分析】作MM1AD于点M1，作NN1CD于点N1，则M1N1AC设DM1DN1x，则MM1x，NN11x，由此能求出MN的最小值【解答】解：作MM1AD于点M1，作NN1CD于点N1，线段MN平行于对角面ACC1A1，M1N1AC设DM1DN1x，则MM12x，NN122x，在直角梯形MNN1M1中，MN2（x）2+（24x）218（x）2+；当x时，MN的最小值为故选：C【点评】本题考查线段长的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查化归与转化思想、数形结合

15、思想，考查推理论论能力、空间想象能力，是中档题10（4分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上一点，直线F2M垂直于OP且交线段F1P于点M，|F1M|2|MP|，则该椭圆的离心率的取值范围是（）ABCD【分析】设P（m，n），|m|a，又F1（c，0），F2（c，0），运用向量共线的坐标表示，可得M的坐标，再由向量垂直的条件：数量积为0，由P的坐标满足椭圆方程，化简整理可得m的方程，求得m，由|m|a，解不等式结合离心率公式即可得到范围【解答】解：设P（m，n），|m|a，又F1（c，0），F2（c，0），|F1M|2|MP|，（xM+c，yM），（mxM，nyM），2，M（，

16、），（，），又（m，n），OPF2M0，m+n0，化为n2m（2cm），由P在椭圆上，可得：n2b2（1），可得m（2cm）b2（1），化为m22mc+a2c20，解得ma，或m+a，（舍去），由aa，可得2ca，即有e，又0e1，e1故选：D【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量垂直与数量积的关系、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题：单空题4分，多空题6分，共36分11（6分）已知向量（1，2，2），（2，x，1），则|3；若，则x0【分析】利用向量的模和向量垂直的性质直接求解【解答】解：向量（1，2，2），（2，x，1），|3；若，则2+2x20，解

17、得x0故答案为：3，0【点评】本题考查向量的模、实数值的求法，考查向量的模和向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题12（6分）某简单几何体的三视图（俯视图为等边三角形）如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）为3；表面积为3（单位：cm2）【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积和表面积【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为，底面为边长为2的正三角形，高为3的正三棱柱故3，S3故答案为：【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题13（

18、6分）双曲线的渐近线方程为yx，C上一点P到点F1（5，0）的距离为7，则点P到点F2（5，0）的距离为13【分析】求得双曲线的a，b，c，可得渐近线方程；讨论P在右支上不可能，结合双曲线的定义可得所求值【解答】解：双曲线的a3，b4，c5，可得渐近线方程为yx；若P在双曲线的右支上，可得|PF1|a+c8，C上一点P到点F1（5，0）的距离为7，可得P在左支上，可得|PF2|PF1|2a6，即有|PF2|7+613，故答案为：yx，13【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是渐近线方程，考查定义法的运用，注意分析P的位置，考查运算能力，属于基础题14（6分）正三棱柱ABCA1B1C1

19、的侧棱长和底面边长均为2，则AC1与侧面ABB1A1所成角的正弦值为；点E为AB中点，则过B1，E，C1三点的截面面积为【分析】以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AC1与侧面ABB1A1所成角的正弦值；取AC中点D，连结DE，DC1，则过B1，E，C1三点的截面为梯形DEB1C1，由此能求出过B1，E，C1三点的截面面积【解答】解：以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），A1（0，0，2），C1（0，2，2），B（，1，0），（0，2，2），

20、（），（0，0，2），设平面ABB1A1的法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，0），设AC1与侧面ABB1A1所成角为，则AC1与侧面ABB1A1所成角的正弦值为：sin取AC中点D，连结DE，DC1，点E为AB中点，则过B1，E，C1三点的截面为梯形DEB1C1，过B1，E，C1三点的截面面积为：故答案为：，【点评】本题考查线面角的正弦值、截面面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题15（4分）已知圆C：（x2）2+y29，过点M（1，2）的直线l交圆于A、B两点，当时，l所在的直线方程是x1或3x+4y110【分析】分别就直线斜率存在于

21、不存在两种情况考虑，结合直线与圆相交的性质可求【解答】解：当直线的斜率不存在时，直线方程x1，此时交点A（1，2），B（1，2），满足题意，当直线的斜率存在时，可设直线为y2k（x1），即kxy+2k0，则圆心（2，0）到直线kxy+2k0的距离d，则根据直线与圆相交的性质可得，9，解可得，k，此时直线方程为3x+4y110故答案为x1或3x+4y110【点评】本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用16（4分）过抛物线C：y24x的焦点F的直线与抛物线C交于A、B两点，则|AF|+4|BF|的最小值为9【分析】利用抛物线的性质，即过抛物线焦点的直线交抛物线于

22、A，B两点，则，再结合柯西不等式即可得解【解答】解：抛物线的焦点F（1，0），由抛物线的性质可知，当且仅当|AF|2|BF|时取等号，故答案为：9【点评】本题考查抛物线的性质及柯西不等式的综合运用，考查逻辑推理能力，属于中档题17（4分）若四棱锥PABCD的侧面PAB内有一动点Q，已知Q到底面ABCD的距离与Q到点P的距离之比为正常数k，且动点Q的轨迹是抛物线，则当二面角PABC平面角的大小为60时，k的值为【分析】设二面角PABC平面角为，点Q到底面ABCD的距离为|QH|，点Q到定直线AB得距离为d，则d再由点Q到底面ABCD的距离与到点P的距离之比为正常数k，可得|PQ|，由此可得sin

23、k，则由coscos60可求k值【解答】解：如图，设二面角PABC平面角为，点Q到底面ABCD的距离为|QH|，点Q到定直线AB得距离为d，则|QH|dsin，即d点Q到底面ABCD的距离与到点P的距离之比为正常数k，则|PQ|，动点Q的轨迹是抛物线，|PQ|d，即，则sink二面角PABC的平面角的余弦值为coscos60解得：k（k0）故答案为：【点评】本题考查二面角的平面角及其求法，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题三、解答题：5小题，共74分18（14分）已知平面内三点A（3，0）、B（5，4）、P（5，4），（1）求过点P且与AB平行的直线方程；（2）求过点P、A

24、、B三点的圆的方程【分析】（1）根据题意，求出直线AB的斜率，由直线的点斜式方程分析可得答案；（2）根据题意，设圆心为M，则M在BP的垂直平分线上，有B、P的坐标可得M在x轴上，设M（a，0），进而可得（a5）2+（04）2（a+3）2，解可得a的值，据此可得圆心坐标和半径，即可得答案【解答】解：（1）根据题意，平面中点A（3，0）、B（5，4），则kAB，则过点P且与AB平行的直线方程为（y+4）（x5），即x2y130；（2）根据题意，设圆心为M，又由B（5，4）、P（5，4），则M在BP的垂直平分线上，即M在x轴上，设M（a，0），则有（a5）2+（04）2（a+3）2，解可得：a2；则

25、圆心M的坐标为（2，0），半径r（a+3）5，则要求圆的方程为（x2）2+y225，【点评】本题考查圆的方程的求法，涉及直线的点斜式方程，属于基础题19（15分）如图所示，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD是矩形且CD2，PDAD1，E、F分别是CD、PB的中点（1）求证：直线EF平面PAD；（2）求证：直线EF平面PAB【分析】（1）取PA中点H，利用中位线及平行线的传递性即可得证；（2）借助第一问，只需证明HD平面PAB即可【解答】证明：（1）取PA中点H，连接FH，DH，易知FH为PAD的一条中位线，故FHAB，且，又E为CD中点，ABCD为矩形，DEAB，且，DEFH

26、，且DEFH，四边形EFHD为平行四边形，EFHD，EF不在平面PAD内，HD在平面PAD内，EF平面PAD；（2）PDAD，H为PA中点，HDPA，又PD平面ABCD，AB在平面ABCD内，PDAB，又ABAD，PDADD，且PD，AD均在平面PAD内，AB平面PAD，又HD在平面PAD内，ABHD，又PAABA，且都在平面PAB内，HD平面PAB，又EFHD，EF平面PAB【点评】本题考查线面平行及线面垂直的判定，考查逻辑推理能力，属于基础题20（15分）已知椭圆的离心率为，且过点（1）求椭圆C的方程；（2）直线l交椭圆C于不同的两点A、B，且AB中点E在直线x1上，线段AB的垂直平分线交

27、y轴于点P（0，m），求m的取值范围【分析】（1）由离心率及过的点的坐标及a，b，c之间的关系求出椭圆的方程；（2）由题意设直线l的方程与椭圆联立求出两根之和，进而求出中点的横坐标，代入直线求出中点的纵坐标，进而求出AB的中垂线的方程令x0求出P的纵坐标，即m的表达式，分斜率大于0和小于0两种情况用均值不等式求出m的取值范围【解答】解：（1）由题意知：，1，b2a2c2，解得：a24，b23，所以椭圆的方程为：；（2）设直线l的方程为：yk（x1），k0，设A（x，y），B（x，y），联立直线与椭圆的方程整理得：（3+4k2）x28k2x+4（k23）0，x+x，所以中点E的横坐标为x，代入直

28、线可得E的纵坐标yEk（1），所以AB的垂直平分线方程为：y（x），与x0联立可得y，所以m，当k0时，k0，所以md的取值范围：，【点评】考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题21（15分）如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为平行四边形，ABP为边长为2的等边三角形，O为AB的中点，DO平面ABP（1）求证：ABDP；（2）当四边形ABCD为菱形时，求AC与平面PCD所成角大小的正弦值【分析】（1）推导出DOAB，POAB，从而AB平面APO，由此能证明ABDP（2）以O为原点，OA为x轴，OP为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AC与平面PCD所成角大小的正弦值【

29、解答】解：（1）证明：DO平面ABP，AB平面ABP，DOAB，ABP为边长为2的等边三角形，O为AB的中点，POAB，PODOO，AB平面APO，PD平面APO，ABDP（2）解：以O为原点，OA为x轴，OP为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，A（1，0，0），C（2，0，），D（0，0，），P（0，0），（3，0，），（2，），（0，），设平面PCD的法向量（x，y，z），则，取y1，得（0，1，1），设AC与平面PCD所成角大小为，则AC与平面PCD所成角大小的正弦值为：sin【点评】本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，

30、考查运算求解能力，是中档题22（15分）如图，已知抛物线C：y24x，过抛物线焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，P是抛物线外一点，连接PA，PB分别交抛物线于点C，D，且CDAB，设AB，CD的中点分别为M，N（1）求证：MNx轴；（2）若，求PAB面积的最小值【分析】（1）将直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理及中点坐标公式即可求得yMyN2t，即可求得MNx轴；（2）根据向量的坐标运算及点在抛物线上，即可求得x0，根据三角形的面积公式即可求得PAB面积的最小值【解答】解：（1）抛物线C：y24x的焦点F（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），

31、直线AB的方程为xty+1，由，消去x，整理得y24tx40，则y1+y24t，y1y24，yM2t，因为CDAB，所以kCDkAB，即yN2t，由yMyN2t，所以MNx轴；（2）由（1）可知，y1+y24t，y1y24，则xM2t2+1，由，得x3，y3，代入抛物线y24x，得到3y126y0y1+20x02y020，同理3y226y0y2+20x02y020，所以y1，y2为方程3y26y0y+20x02y020，即y1+y22y04t，所以y02t，即M，N，P三点共线，又y1y24，所以x0，又|y1y2|4，所以SPAB|y1y2|xMx0|，当t0，PAB面积的最小值【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，三角形的面积公式，抛物线的综合应用，考查计算能力，属于中档题