2020版高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用 第1课时 导数的应用

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1、3.2导数的应用最新考纲考情考向分析1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)3.会利用导数解决某些实际问题(生活中的优化问题).考查函数的单调性、极值、最值，利用函数的性质求参数范围；与方程、不等式等知识相结合命题，强化函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的应用意识；题型以解答题为主，一般难度较大.1.函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f

2、(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f(x)0，那么f(x0)是极小值.(2)求可导函数极值的步骤求f(x)；求方程f(x)0的根；考察f(x)在方程f(x)0的根附近的左右两侧导数值的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.3.函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函

3、数的最大值，f(b)为函数的最小值.(3)设函数f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下：求函数yf(x)在(a，b)内的极值；将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.概念方法微思考1“f(x)在区间(a，b)上是增函数，则f(x)0在(a，b)上恒成立”，这种说法是否正确？提示不正确，正确的说法是：可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对x(a，b)，都有f(x)0(f(x)0)且f(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零2对于可导函数f(x)，“f(x

4、0)0”是“函数f(x)在xx0处有极值”的_条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”)提示必要不充分题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)在此区间内没有单调性()(2)函数的极大值一定大于其极小值()(3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值()题组二教材改编2如图是函数yf(x)的导函数yf(x)的图象，则下列判断正确的是()A在区间(2,1)上f(x)是增函数B在区间(1,3)上f(x)是减函数C在区间(4,5)上f(x)是增函数D当x2时，f(x)取到极小值答案C解析在(4,5)

5、上f(x)0恒成立，f(x)是增函数3函数f(x)exx的单调递增区间是_答案(0，)解析由f(x)ex10，解得x0，故其单调递增区间是(0，)4当x0时，ln x，x，ex的大小关系是_答案ln xxex解析构造函数f(x)ln xx，则f(x)1，可得x1为函数f(x)在(0，)上唯一的极大值点，也是最大值点，故f(x)f(1)10，所以ln xx.同理可得xex，故ln xxex.5现有一块边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒，该方盒容积的最大值是_答案a3解析容积V(a2x)2x,0x，则V(a2x4ax24x3)(a2x)(a6x)，由

6、V0得x或x(舍去)，则x为V在定义域内唯一的极大值点也是最大值点，此时Vmaxa3.题组三易错自纠6函数f(x)x3ax2ax在R上单调递增，则实数a的取值范围是_答案3,0解析f(x)3x22axa0在R上恒成立，即4a212a0，解得3a0，即实数a的取值范围是3,07(2018铁岭质检)若函数f(x)x3x2ax4恰在1,4上单调递减，则实数a的值为_答案4解析f(x)x23xa，且f(x)恰在1,4上单调递减，f(x)x23xa0的解集为1,4，1,4是方程f(x)0的两根，则a(1)44.8若函数f(x)x34xm在0,3上的最大值为4，m_.答案4解析f(x)x24，x0,3，当

7、x0,2)时，f(x)0，所以f(x)在0,2)上是减函数，在(2,3上是增函数又f(0)m，f(3)3m.所以在0,3上，f(x)maxf(0)4，所以m4.9已知函数f(x)x3x22ax1，若函数f(x)在(1,2)上有极值，则实数a的取值范围为_答案解析f(x)x22x2a的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为x1，则f(x)在(1,2)上是单调递增函数，因此解得a0，即8x0，解得x，函数y4x2的单调增区间为.故选B.2函数f(x)的单调递减区间是_答案(，0)，(0,1)解析f(x)(x0)，令f(x)0可得x0或0x0)，当f(x)0时，解得0x0，则其在区间(，)上的解集为，即

8、f(x)的单调递增区间为和.思维升华 确定函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域(2)求f(x)(3)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间(4)解不等式f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递减；当0a1时，令f(x)0，解得x ，则当x时，f(x)0，故f(x)在上单调递减，在上单调递增综上所述，当a1时，f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，f(x)在(0，)上单调递减；当0a0)试讨论f(x)的单调性解由题意得f(x)exax2(2a2)x(a0)，令f(x)0，解得x10，x2.当0a0，则x，令f(x

9、)0，则0x1时，令f(x)0，则x0或x，令f(x)0，则x0.综上所述，当0a1时，f(x)在和(0，)上单调递增，在上单调递减题型三函数单调性的应用命题点1比较大小或解不等式例2 (1)设函数f(x)exx2，g(x)ln xx23，若实数a，b满足f(a)0，g(b)0，则()Ag(a)0f(b) Bf(b)0g(a)C0g(a)f(b) Df(b)g(a)0答案A解析因为函数f(x)exx2在R上单调递增，且f(0)120，所以f(a)0时，a(0,1)又g(x)ln xx23在(0，)上单调递增，且g(1)20，所以g(a)0，g(b)0得b(1,2)，又f(1)e10，所以f(b

10、)0.综上可知，g(a)0f(b)(2)已知定义域为R的偶函数f(x)的导函数为f(x)，当x0时，xf(x)f(x)0.若a，b，c，则a，b，c的大小关系是()Abac Bacb Cabc Dcab答案D解析设g(x)，则g(x)，又当x0时，xf(x)f(x)0，所以g(x)0，即函数g(x)在区间(，0)内单调递减因为f(x)为R上的偶函数，所以 2e3，可得g(3)g(e)g(ln 2)，即cab，故选D.(3)已知定义在(0，)上的函数f(x)满足xf(x)f(x)(m2 019)f(2)，则实数m的取值范围为()A(0,2 019) B(2 019，)C(2 021，) D(2

11、019,2 021)答案D解析令h(x)，x(0，)，则h(x).xf(x)f(x)0，h(x)(m2 019)f(2)，m2 0190，即h(m2 019)h(2)m2 0190，解得2 019m0时，有0的解集是_答案(，2)(0,2)解析当x0时，0，(x)在(0，)上为减函数，又(2)0，在(0，)上，当且仅当0x0，此时x2f(x)0.又f(x)为奇函数，h(x)x2f(x)也为奇函数故x2f(x)0的解集为(，2)(0,2)命题点2根据函数单调性求参数例3 (2018辽阳质检)已知函数f(x)ln x，g(x)ax22x(a0)(1)若函数h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间，

12、求a的取值范围；(2)若函数h(x)f(x)g(x)在1,4上单调递减，求a的取值范围解(1)h(x)ln xax22x，x(0，)，所以h(x)ax2，由于h(x)在(0，)上存在单调递减区间，所以当x(0，)时，ax2有解设G(x)，所以只要aG(x)min即可而G(x)21，所以G(x)min1.所以a1.又因为a0，所以a的取值范围为(1,0)(0，)(2)因为h(x)在1,4上单调递减，所以当x1,4时，h(x)ax20恒成立，即a恒成立由(1)知G(x)，所以aG(x)max，而G(x)21，因为x1,4，所以，所以G(x)max(此时x4)，所以a，又因为a0，所以a的取值范围是

13、(0，)引申探究1本例(2)中，若函数h(x)f(x)g(x)在1,4上单调递增，求a的取值范围解因为h(x)在1,4上单调递增，所以当x1,4时，h(x)0恒成立，所以当x1,4时，a恒成立，又当x1,4时，min1(此时x1)，所以a1，即a的取值范围是(，12本例(2)中，若h(x)在1,4上存在单调递减区间，求a的取值范围解h(x)在1,4上存在单调递减区间，则h(x)有解，又当x1,4时，min1(此时x1)，所以a1，又因为a0，所以a的取值范围是(1,0)(0，)思维升华 根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)

14、是相应单调区间的子集(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)内的任一非空子区间上，f(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题跟踪训练2 (1) 已知定义在上的函数f(x)的导函数为f(x)，且对于任意的x，都有f(x)sin xf B.ff(1)C.ff D.ff答案A解析令g(x)，则g(x)，由已知g(x)g，即，ff.(2)设函数f(x)x29ln x在区间a1，a1上单调递减，则实数a的取值范围是()A(1,2 B4，)C(，2 D(0,3答案A解析f(x)的定义域是(0，

15、)，f(x)x，由f(x)0，解得0x3，由题意知解得12，a2.用分类讨论思想研究函数的单调性含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能：方程f(x)0是否有根；若f(x)0有根，求出根后判断其是否在定义域内；若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法例 已知函数g(x)ln xax2(2a1)x，若a0，试讨论函数g(x)的单调性解g(x).函数g(x)的定义域为(0，)，当a0时，g(x).由g(x)0，得0x1，由g(x)1.当a0时，令g(x)0，得x1或x，若，由g(x)0，得x1或0x，由g(x)0，得x1，即0a0，得x或0x1，由g(x

16、)0，得1x，若1，即a，在(0，)上恒有g(x)0.综上可得：当a0时，函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减；当0a时，函数g(x)在上单调递增，在上单调递减，在(1，)上单调递增1函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是()A(，2) B(0,3) C(1,4) D(2，)答案D解析因为f(x)(x3)ex，所以f(x)ex(x2)令f(x)0，得x2，所以f(x)的单调递增区间为(2，)2(2018锦州调研)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是()Af(b)f(c)f(d)Bf(b)f(a)f(e)Cf(c)f(b)f(

17、a)Df(c)f(e)f(d)答案C解析由题意得，当x(，c)时，f(x)0，所以函数f(x)在(，c)上是增函数，因为abf(b)f(a)，故选C.3函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是()答案D解析利用导数与函数的单调性进行验证f(x)0的解集对应yf(x)的增区间，f(x)f(1)fBf(1)ffCff(1)fDfff(1)答案A解析因为f(x)xsin x，所以f(x)(x)sin(x)xsin xf(x)，所以函数f(x)是偶函数，所以ff.又当x时，f(x)sin xxcos x0，所以函数f(x)在上是增函数，所以ff(1)f(1)f，故选

18、A.5已知函数f(x)x3ax4，则“a0”是“f(x)在R上单调递增”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析f(x)x2a，当a0时，f(x)0恒成立，故“a0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件6若f(x)，eaf(b) Bf(a)f(b)Cf(a)1答案A解析f(x)，当xe时，f(x)f(b)7(2018满洲里质检)函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)f(2x)，且当x(，1)时，(x1)f(x)0，设af(0)，bf，cf(3)，则()Aabc BcbaCcab Dbca答案C解析由题意得，当x0，f(x)在(，1)上为增函

19、数又f(3)f(1)，且101，因此有f(1)f(0)f，即有f(3)f(0)f，即cab.8(2018营口调研)已知函数f(x)(xR)满足f(1)1，f(x)的导数f(x)，则不等式f(x2)的解集为_答案x|x1解析设F(x)f(x)x，F(x)f(x)，f(x)，F(x)f(x)0，即函数F(x)在R上单调递减f(x2)，f(x2)f(1)，F(x2)1，即不等式的解集为x|x19已知g(x)x22aln x在1,2上是减函数，则实数a的取值范围为_答案解析g(x)2x，由已知得g(x)0在1,2上恒成立，可得ax2在1,2上恒成立又当x1,2时，min4.a.10设函数f(x)是奇函

20、数f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当x0时，xf(x)f(x)0成立的x的取值范围是_答案(，1)(0,1)解析因为f(x)(xR)为奇函数，f(1)0，所以f(1)f(1)0.当x0时，令g(x)，则g(x)为偶函数，g(1)g(1)0.则当x0时，g(x)0，故g(x)在(0，)上为减函数，在(，0)上为增函数所以在(0，)上，当0xg(1)0，得0，所以f(x)0；在(，0)上，当x1时，由g(x)g(1)0，得0.综上知，使得f(x)0成立的x的取值范围是(，1)(0,1)11已知函数f(x)(k为常数)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行(1)求实数k的值；(2

21、)求函数f(x)的单调区间解(1)f(x)(x0)又由题意知f(1)0，所以k1.(2)f(x)(x0)设h(x)ln x1(x0)，则h(x)0，所以h(x)在(0，)上单调递减由h(1)0知，当0x0，所以f(x)0；当x1时，h(x)0，所以f(x)0.综上，f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，)12已知函数f(x)1(bR，e为自然对数的底数)在点(0，f(0)处的切线经过点(2，2)讨论函数F(x)f(x)ax(aR)的单调性解因为f(0)b1，所以过点(0，b1)，(2，2)的直线的斜率为k，而f(x)，由导数的几何意义可知，f(0)b，所以b1，所以f(x)1

22、.则F(x)ax1，F(x)a，当a0时，F(x)0时，由F(x)0，得x0，得xln a.故当a0时，函数F(x)在R上单调递减；当a0时，函数F(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增13定义在区间(0，)上的函数yf(x)使不等式2f(x)xf(x)3f(x)恒成立，其中yf(x)为yf(x)的导函数，则()A816 B48C34 D20，x0，0，令g(x)，g(x)在(0，)上单调递增，又由2f(x)0，即4.xf(x)3f(x)0，0，令h(x)，h(x)在(0，)上单调递减，即8.综上，40在上有解，当x时，f(x)的最大值为f2a.令2a0，解得a，所以a的

23、取值范围是.15对于三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0)，给出定义：设f(x)是函数yf(x)的导数，f(x)是f(x)的导数，若方程f(x)0有实数解x0，则称点(x0，f(x0)为函数yf(x)的“拐点”经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心设函数g(x)2x36x24，则ggg_.答案0解析g(x)6x212x，g(x)12x12，由g(x)0，得x1，又g(1)0，函数g(x)的对称中心为(1,0)，故g(x)g(2x)0，gggg(1)0.16已知函数f(x)ax2(a1)xln x(a0)，讨论函数f(x)的单调性解f(x)ax(a1)(x0)，当0a1，由f(x)0，解得x或0x1，由f(x)0，解得1x1时，00，解得x1或0x，由f(x)0，解得x1.综上，当0a1时，f(x)在(1，)和上单调递增，在上单调递减