2020版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形4.6 正弦定理和余弦定理

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1、4.6正弦定理和余弦定理最新考纲考情考向分析掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.以利用正弦、余弦定理解三角形为主，常与三角函数的图象和性质、三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查，加强数形结合思想的应用意识题型多样，中档难度.1正弦定理、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容(1)2R(2)a2b2c22bccos A；b2c2a22cacos B；c2a2b22abcos C变形(3)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(4)sin A，sin B，sin C；(5)abcsin

2、Asin Bsin C；(6)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin A(7)cos A；cos B；cos C2在ABC中，已知a，b和A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin Aab解的个数一解两解一解一解3.三角形常用面积公式(1)Saha(ha表示边a上的高)；(2)Sabsin Cacsin Bbcsin A；(3)Sr(abc)(r为三角形内切圆半径)概念方法微思考1在ABC中，AB是否可推出sin Asin B?提示在ABC中，由AB可推出sin Asin B.2如图，在ABC中，有如下结论：bcos Cccos Ba

3、.试类比写出另外两个式子提示acos Bbcos Ac；acos Cccos Ab.题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比()(2)当b2c2a20时，三角形ABC为锐角三角形()(3)在ABC中，.()(4)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积()题组二教材改编2在ABC中，acos Abcos B，则这个三角形的形状为 答案等腰三角形或直角三角形解析由正弦定理，得sin Acos Asin Bcos B，即sin 2Asin 2B，所以2A2B或2A2B，即AB或AB，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形3在AB

4、C中，A60，AC4，BC2，则ABC的面积为 答案2解析，sin B1，B90，AB2，SABC222.题组三易错自纠4在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cbcos A，则ABC为()A钝角三角形 B直角三角形C锐角三角形 D等边三角形答案A解析由已知及正弦定理得sin Csin Bcos A，sin(AB)sin Bcos A，sin Acos Bcos Asin B0，cos B1.角B不存在，即满足条件的三角形不存在6(2018包头模拟)设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若bc2a,3sin A5sin B，则C .答案解析由3sin A5sin B

5、及正弦定理，得3a5b.又因为bc2a，所以ab，cb，所以cos C.因为C(0，)，所以C.题型一利用正弦、余弦定理解三角形例1 (2018天津)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin Aacos.(1)求角B的大小；(2)设a2，c3，求b和sin(2AB)的值解(1)在ABC中，由正弦定理，可得bsin Aasin B.又由bsin Aacos，得asin Bacos，即sin Bcos，所以tan B.又因为B(0，)，所以B.(2)在ABC中，由余弦定理及a2，c3，B，得b2a2c22accos B7，故b.由bsin Aacos，可得sin A.因为a

6、c，所以cos A.因此sin 2A2sin Acos A，cos 2A2cos2A1.所以sin(2AB)sin 2Acos Bcos 2Asin B.思维升华 (1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素；(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系跟踪训练1 (1)在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b5c，C2B，则cos C等于()A. B C D.答

7、案A解析8b5c，由正弦定理，得8sin B5sin C.又C2B，8sin B5sin 2B，8sin B10sin Bcos B.sin B0，cos B，cos Ccos 2B2cos2B1.(2)如图所示，在ABC中，D是边AC上的点，且ABAD,2ABBD，BC2BD，则sin C的值为 答案解析设ABa，ABAD,2ABBD，BC2BD，ADa，BD，BC.在ABD中，cosADB，sinADB，sinBDC.在BDC中，sin C.题型二和三角形面积有关的问题例2 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bc2acos B.(1)证明：A2B；(2)若ABC的面积

8、S，求角A的大小(1)证明由正弦定理得sin Bsin C2sin Acos B，故2sin Acos Bsin Bsin(AB)sin Bsin Acos Bcos Asin B，于是sin Bsin(AB)又A，B(0，)，故0AB，所以B(AB)或BAB，因此A(舍去)或A2B，所以A2B.(2)解由S，得absin C，故有sin Bsin Csin Asin 2Bsin Bcos B，由sin B0，得sin Ccos B.又B，C(0，)，所以CB.当BC时，A；当CB时，A.综上，A或A.思维升华 (1)对于面积公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一个角

9、就使用哪一个公式(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化跟踪训练2 (1)(2018沈阳质检)若AB2，ACBC，则SABC的最大值为()A2 B.C. D3答案A解析设BCx，则ACx.根据三角形的面积公式，得SABCABBCsin Bx.根据余弦定理，得cos B.将代入，得SABCx.由三角形的三边关系，得解得22x0，sin A1，即A，ABC为直角三角形引申探究1本例(2)中，若将条件变为2sin Acos Bsin C，判断ABC的形状解2sin Acos Bsin Csin(AB)，2sin Acos Bsin Acos Bcos Asin B，sin

10、(AB)0.又A，B为ABC的内角AB，ABC为等腰三角形2本例(2)中，若将条件变为a2b2c2ab，且2cos Asin Bsin C，判断ABC的形状解a2b2c2ab，cos C，又0C，C，又由2cos Asin Bsin C得sin(BA)0，AB，故ABC为等边三角形命题点2求解几何计算问题例4如图，在四边形ABCD中，DAB，ADAB23，BD，ABBC.(1)求sinABD的值；(2)若BCD，求CD的长解(1)因为ADAB23，所以可设AD2k，AB3k.又BD，DAB，所以由余弦定理，得()2(3k)2(2k)223k2kcos ，解得k1，所以AD2，AB3，sinAB

11、D.(2)因为ABBC，所以cosDBCsinABD，所以sinDBC，所以，所以CD.思维升华 (1)判断三角形形状的方法化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用ABC这个结论(2)求解几何计算问题要注意：根据已知的边角画出图形并在图中标示；选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理跟踪训练3(1)在ABC中，cos2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则ABC的形状为()A等边三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形答案B解析cos2，cos2，(1cos B)cac，acos Bc，2a2a2c2b2，a2b2c

12、2，ABC为直角三角形(2)在平面四边形ABCD中，ABC75，BC2，则AB的取值范围是_答案(，)解析如图所示，延长BA与CD相交于点E，过点C作CFAD交AB于点F，则BFABBE.在等腰三角形CBF中，FCB30，CFBC2，BF.在等腰三角形ECB中，CEB30，ECB75，BECE，BC2，BE.ABc，可得30B180，B60或B120.3(2018丹东模拟)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos 2Asin A，bc2，则ABC的面积为()A. B. C1 D2答案A解析由cos 2Asin A，得12sin2Asin A，解得sin A(负值舍去)，由bc2

13、，可得ABC的面积Sbcsin A2.4在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知三个向量m，n，p共线，则ABC的形状为()A等边三角形 B等腰三角形C直角三角形 D等腰直角三角形答案A解析向量m，n共线，acos bcos .由正弦定理得sin Acos sin Bcos .2sin cos cos2sin cos cos .则sin sin .0，0，即AB.同理可得BC.ABC的形状为等边三角形故选A.5.(2018本溪质检)已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos C，bcos Aacos B2，则ABC的外接圆面积为()A4 B8 C9 D36答案C解析

14、cbcos Aacos B2，由cos C，得sin C，再由正弦定理可得2R6，R3，所以ABC的外接圆面积为R29，故选C.6在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，sin A，sin B，sin C成等比数列，且c2a，则cos B的值为()A. B.C. D.答案B解析因为sin A，sin B，sin C成等比数列，所以sin2Bsin Asin C，由正弦定理得b2ac，又c2a，故cos B.7(2018通辽模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2c2b2)tan Bac，则角B的值为_答案或解析由余弦定理，得cos B，结合已知等式得cos B

15、tan B，sin B，又0B，B或.8设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a，sin B，C，则b_.答案1解析因为sin B且B(0，)，所以B或B.又C，BC0，1，即sin Bcos A.(2)解由sin Csin Acos B知，sin(AB)sin Acos B，cos Asin B.由(1)知，sin Bcos A，cos2A，由于B是钝角，故A，cos A，A.sin B，B，C(AB).12(2018北京)在ABC中，a7，b8，cos B.(1)求A；(2)求AC边上的高解(1)在ABC中，因为cos B，所以sin B.由正弦定理得sin A.由题设知B，所

16、以0A0，sin Acos A，即tan A.0A，A.由余弦定理得a216b2c22bccos A(bc)23bc(bc)232，则(bc)264，即bc8(当且仅当bc4时等号成立)，ABC的周长labc4bc12，即最大值为12.15在ABC中，C60，且2，则ABC面积S的最大值为_答案解析由C60及2，可得c.由余弦定理得3b2a2abab(当且仅当ab时取等号)，Sabsin C3，ABC的面积S的最大值为.16在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2(bc)2(2)bc，且sin B1cos C，BC边上的中线AM的长为.(1)求角A和角B的大小；(2)求ABC的面积解(1)由a2(bc)2(2)bc，得a2b2c2bc，即b2c2a2bc，cos A，又0A，A.又sin B1cos C,0sin B1，cos C0，即C为钝角，B为锐角，且BC，则sin1cos C，化简得cos1，解得C，B.(2)由(1)知，ab，sin C，cos C，在ACM中，由余弦定理得AM2b222bcos Cb2()2，解得b2，故SABCabsin C22.