2020版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数

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1、4.1任意角、弧度制及任意角的三角函数最新考纲考情考向分析1.了解任意角的概念和弧度制的概念2.能进行弧度与角度的互化3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.以理解任意角三角函数的概念、能进行弧度与角度的互化和扇形弧长、面积的计算为主，常与向量、三角恒等变换相结合，考查三角函数定义的应用及三角函数的化简与求值，考查分类讨论思想和数形结合思想的应用意识题型以选择题为主，低档难度.1.角的概念(1)角的分类(按旋转的方向)角(2)象限角象限角象限角的集合表示第一象限角|k360k36090，kZ第二象限角|k36090k360180，kZ第三象限角|k360180k360270，kZ第四

2、象限角|k3602700)，则sin ；cos ；tan ；cot ；sec ；csc .4.三角函数在各象限的符号规律及三角函数线(1)三角函数在各象限的符号： 象限符号函数sin ，csc cos ，sec tan ，cot (2)三角函数线：正弦线如图，角的正弦线为.余弦线如图，角的余弦线为.正切线如图，角的正切线为.概念方法微思考1总结一下三角函数值在各象限的符号规律提示一全正、二正弦、三正切、四余弦2三角函数坐标法定义中，若取点P(x，y)是角终边上异于顶点的任一点，怎样定义角的三角函数？提示设点P到原点O的距离为r，则sin ，cos ，tan (x0)题组一思考辨析1判断下列结论

3、是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角()(2)角的三角函数值与其终边上点P的位置无关()(3)不相等的角终边一定不相同()(4)若为第一象限角，则sin cos 1.()题组二教材改编2角225 弧度，这个角在第 象限答案二3若角的终边经过点Q，则sin ，cos .答案4一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为 弧度答案题组三易错自纠5集合中的角所表示的范围(阴影部分)是()答案C解析当k2n(nZ)时，2n2n，此时表示的范围与表示的范围一样；当k2n1 (nZ)时，2n2n，此时表示的范围与表示的范围一样，故选C.6已知点P在角的终边上，

4、且0,2)，则的值为()A. B.C. D.答案C解析因为点P在第四象限，所以根据三角函数的定义可知tan ，又，所以.7在0到2范围内，与角终边相同的角是 答案解析与角终边相同的角是2k(kZ)，令k1，可得与角终边相同的角是.8(2018赤峰模拟)函数y的定义域为 答案(kZ)解析2cos x10，cos x.由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，x(kZ)题型一角及其表示1下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是()A2k45(kZ) Bk360(kZ)Ck360315(kZ) Dk(kZ)答案C解析与角的终边相同的角可以写成2k(kZ)，但是角度制与弧度制不能混用，

5、所以只有答案C正确2设集合M，N，那么()AMN BMN CNM DMN答案B解析由于M中，x18045k9045(2k1)45，2k1是奇数；而N中，x18045k4545(k1)45，k1是整数，因此必有MN，故选B.3(2018沈阳质检)终边在直线yx上，且在2，2)内的角的集合为 答案解析如图，在坐标系中画出直线yx，可以发现它与x轴的夹角是，在0,2)内，终边在直线yx上的角有两个：，；在2，0)内满足条件的角有两个：，故满足条件的角构成的集合为.4若角是第二象限角，则是第 象限角答案一或三解析是第二象限角，2k2k，kZ，kk，kZ.当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三

6、象限角综上，是第一或第三象限角思维升华 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(kZ)赋值来求得所需的角(2)确定k，(kN)的终边位置的方法先写出k或的范围，然后根据k的可能取值确定k或的终边所在位置题型二弧度制及其应用例1 已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l.若，R10 cm，求扇形的面积解由已知得，R10 cm，S扇形R2102(cm2)引申探究1若例题条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积解lR10(cm)，S弓形S扇形S三角形lRR2sin 10102(cm2)2若例题条件改为：“若扇形周长

7、为20 cm”，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解由已知得，l2R20，则l202R(0R0，解得m3.命题点2三角函数线例3 (1)满足cos 的角的集合是 答案解析作直线x交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角终边的范围，故满足条件的角的集合为.(2)若，从单位圆中的三角函数线观察sin ，cos ，tan 的大小关系是 答案sin cos tan 解析如图，作出角的正弦线，余弦线，正切线，观察可知sin cos 0.则实数a的取值范围是()A(2,3 B(2,3)C2,3) D2,3答案A解析cos 0，sin 0，角的终边落在

8、第二象限或y轴的正半轴上2cos x成立的x的取值范围是()A. B.C. D.答案C解析当x时，sin x0，cos x0，显然sin xcos x成立；当x时，作出三角函数线，如图，OA为x的终边，由三角函数线可知，sin xcos x；当x时，如图，OB为x的终边，由三角函数线可知sin xcos x.同理当x时，sin xcos x；当x时，sin xcos x，故选C.1下列说法中正确的是()A第一象限角一定不是负角B不相等的角，它们的终边必不相同C钝角一定是第二象限角D终边与始边均相同的两个角一定相等答案C解析因为33036030，所以330角是第一象限角，且是负角，所以A错误；同

9、理330角和30角不相等，但它们终边相同，所以B错误；因为钝角的取值范围为(90，180)，所以C正确；0角和360角的终边与始边均相同，但它们不相等，所以D错误2已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是()A1 B4 C1或4 D2或4答案C解析设扇形的半径为r，弧长为l，则解得或从而4或1.3.设是第三象限角，且cos ，则是()A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角答案B解析由是第三象限角知，为第二或第四象限角，cos ，cos 0，sin cos 0，sin 0，cos 0或sin 0，cos 0，cos 0时，为第一象限角，当sin 0，cos 0

10、时，为第三象限角sin cos 0，cos 30，sin 2cos 3tan 40.7已知角的终边过点P(8m，6sin 30)，且cos ，则m的值为()A BC. D.答案C解析由题意得点P(8m，3)，r，所以cos ，解得m，又cos 0，所以8m0，所以m.8给出下列命题：第二象限角大于第一象限角；三角形的内角是第一象限角或第二象限角；不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；若sin sin ，则与的终边相同；若cos 0，则是第二或第三象限的角其中正确命题的个数是()A1 B2C3 D4答案A解析举反例：第一象限角370不小于第二象限角100，故错；当三角

11、形的内角为90时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故错；正确；由于sin sin ，但与的终边不相同，故错；当cos 1，时，其既不是第二象限角，也不是第三象限角，故错综上可知，只有正确9若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是 答案解析设圆半径为r，则圆内接正方形的对角线长为2r，正方形边长为r，圆心角的弧度数是.10若角的终边与直线y3x重合，且sin 0，又P(m，n)是角终边上一点，且|OP|，则mn .答案2解析由已知tan 3，n3m，又m2n210，m21.又sin 0，m1，n3.故mn2.11已知角的终边上一点P的坐标为，则角的最小正值为 答案解析由题意

12、知，点P，r1，所以点P在第四象限，根据三角函数的定义得cos sin ，故2k(kZ)，所以的最小正值为.12函数y 的定义域为 答案，kZ解析利用三角函数线(如图)，由sin x，可知2kx2k，kZ.13已知角的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角用集合可表示为 答案解析在0,2)内，终边落在阴影部分角的集合为，所求角的集合为.14若角的终边落在直线yx上，角的终边与单位圆交于点，且sin cos 0，则cos sin .答案解析由角的终边与单位圆交于点，得cos ，又由sin cos 0知，sin 0，因为角的终边落在直线yx上，所以角只能是第三象限角记P为角的终边与单位

13、圆的交点，设P(x，y)(x0，y0)，则|OP|1(O为坐标原点)，即x2y21，又由yx得x，y，所以cos x，因为点在单位圆上，所以2m21，解得m，所以sin ，所以cos sin .15九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中“方田”章给出了计算弧田面积时所用的经验公式，即弧田面积(弦矢矢2)弧田(如图1)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径为3米的弧田，如图2所示按照上述经验公式计算所得弧田面积大约是 平方米(结果保留整数，1.73)答案5解析如题图2，由题意可得AOB，OA3，所以在RtAOD中，AOD，DAO，ODAO3，可得CD3，由ADAOsin 3，可得AB2AD3.所以弧田面积S(弦矢矢2)5(平方米)16如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B的坐标为(1,0)，BOA60.质点A以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以2 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动(1)求经过1 s后，BOA的弧度；(2)求质点A，B在单位圆上第一次相遇所用的时间解(1)经过1 s后，质点A运动1 rad，质点B运动2 rad，此时BOA的弧度为3.(2)设经过t s后质点A，B在单位圆上第一次相遇，则t(12)2，解得t，即经过 s后质点A，B在单位圆上第一次相遇