2020版高考数学大一轮复习 第六章 数 列 6.3 等比数列及其前n项和

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1、6.3等比数列及其前n项和最新考纲考情考向分析1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题3.了解等比数列与指数函数的关系.主要考查等比数列的基本运算、基本性质，等比数列的证明也是考查的热点本节内容在高考中既可以以选择题、填空题的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查解答题往往与等差数列、数列求和、不等式等问题综合考查属于中低档题.1等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q0)2等比数列

2、的通项公式设等比数列an的首项为a1，公比为q，则它的通项ana1qn1.3等比中项如果三个数x，G，y组成等比数列，则G叫做x和y的等比中项4等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anamqnm(n，mN)(2)若an为等比数列，且klmn(k，l，m，nN)，则akalaman.(3)若an，bn(项数相同)是等比数列，则an(0)，a，anbn，仍是等比数列(4)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为qk.5等比数列的前n项和公式等比数列an的公比为q(q0)，其前n项和为Sn，当q1时，Snna1；当q1时，Sn.

3、6等比数列前n项和的性质公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为qn.概念方法微思考1将一个等比数列的各项取倒数，所得的数列还是一个等比数列吗？若是，这两个等比数列的公比有何关系？提示仍然是一个等比数列，这两个数列的公比互为倒数2任意两个实数都有等比中项吗？提示不是只有同号的两个非零实数才有等比中项3“b2ac”是“a，b，c”成等比数列的什么条件？提示必要不充分条件因为b2ac时不一定有a，b，c成等比数列，比如a0，b0，c1.但a，b，c成等比数列一定有b2ac.题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)满

4、足an1qan(nN，q为常数)的数列an为等比数列()(2)如果数列an为等比数列，bna2n1a2n，则数列bn也是等比数列()(3)如果数列an为等比数列，则数列ln an是等差数列()(4)数列an的通项公式是anan，则其前n项和为Sn.()(5)数列an为等比数列，则S4，S8S4，S12S8成等比数列()题组二教材改编2已知an是等比数列，a22，a5，则公比q .答案解析由题意知q3，q.3公比不为1的等比数列an满足a5a6a4a718，若a1am9，则m的值为()A8 B9 C10 D11答案C解析由题意得，2a5a618，a5a69，a1ama5a69，m10.题组三易错

5、自纠4若1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则的值为 答案解析1，a1，a2，4成等差数列，3(a2a1)41，a2a11.又1，b1，b2，b3，4成等比数列，设其公比为q，则b144，且b21q20，b22，.5设Sn为等比数列an的前n项和，8a2a50，则 .答案11解析设等比数列an的公比为q，8a2a50，8a1qa1q40.q380，q2，11.6一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 MB，然后每3秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机 秒，该病毒占据内存8 GB.(1 GB210 MB)答案39解析由题意可知，病毒每复制一次所

6、占内存的大小构成一等比数列an，且a12，q2，an2n，则2n8210213，n13.即病毒共复制了13次所需时间为13339(秒)题型一等比数列基本量的运算1(2019沈阳模拟)已知等比数列an满足a1，a3a54(a41)，则a2等于()A. B. C1 D2答案B解析设等比数列an的公比为q，由题意知a3a54(a41)a，则a4a440，解得a42，又a1，所以q38，即q2，所以a2a1q.2(2018全国)等比数列an中，a11，a54a3.(1)求an的通项公式；(2)记Sn为an的前n项和，若Sm63，求m.解(1)设an的公比为q，由题设得anqn1.由已知得q44q2，解

7、得q0(舍去)，q2或q2.故an(2)n1或an2n1(nN+)(2)若an(2)n1，则Sn.由Sm63得(2)m188，此方程没有正整数解若an2n1，则Sn2n1.由Sm63得2m64，解得m6.综上，m6.思维升华 (1)等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1，an，q，n，Sn，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”)(2)运用等比数列的前n项和公式时，注意对q1和q1的分类讨论题型二等比数列的判定与证明例1 已知数列an满足对任意的正整数n，均有an15an23n，且a18.(1)证明：数列an3n为等比数列，并求数列an的通项公式；(2)记bn，求数列bn的前n

8、项和Tn.解(1)因为an15an23n，所以an13n15an23n3n15(an3n)，又a18，所以a1350，所以数列an3n是首项为5、公比为5的等比数列所以an3n5n，所以an3n5n.(2)由(1)知，bn1n，则数列bn的前n项和Tn11121nnn.思维升华 判定一个数列为等比数列的常见方法：(1)定义法：若q(q是不为零的常数)，则数列an是等比数列；(2)等比中项法：若aanan2(nN，an0)，则数列an是等比数列；(3)通项公式法：若anAqn(A，q是不为零的常数)，则数列an是等比数列跟踪训练1 (2018黄山模拟)设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn

9、14an2.(1)设bnan12an，证明：数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式(1)证明由a11及Sn14an2，有a1a2S24a12.a25，b1a22a13.又，得an14an4an1(n2)，an12an2(an2an1)(n2)bnan12an，bn2bn1(n2)，故bn是首项b13，公比为2的等比数列(2)解由(1)知bnan12an32n1，故是首项为，公差为的等差数列(n1)，故an(3n1)2n2.题型三等比数列性质的应用例2 (1)(2018包头质检)已知数列an是等比数列，若a21，a5，则a1a2a2a3anan1 (nN+)的最小值为()A. B1 C2

10、 D3答案C解析由已知得数列an的公比满足q3，解得q，a12，a3，故数列anan1是以2为首项，公比为的等比数列，a1a2a2a3anan1，故选C.(2)(2018大连模拟)设等比数列an的前n项和为Sn，S21，S45，则S6等于()A9 B21 C25 D63答案B解析因为S210，所以q1，由等比数列性质得S2，S4S2，S6S4成等比数列，即1(S65)(51)2，所以S621，故选B.思维升华 等比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可以分为三类：(1)通项公式的变形(2)等比中项的变形(3)前n项和公式的变形根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口跟

11、踪训练2 (1)等比数列an各项均为正数，a3a8a4a718，则a1a2a10 .答案20解析由a3a8a4a718，得a4a79所以a1a2a1055952log331020.(2)已知等比数列an的前n项和为Sn，且，则 (n2，且nN)答案解析很明显等比数列的公比q1，则由题意可得，解得q，则.等差数列与等比数列关于等差(比)数列的基本运算在高考试题中频繁出现，其实质就是解方程或方程组，需要认真计算，灵活处理已知条件例1已知等差数列an的首项和公差均不为0，且满足a2，a5，a7成等比数列，则的值为()A. B. C. D.答案A解析已知等差数列an的首项和公差均不为0，且满足a2，a

12、5，a7成等比数列，aa2a7，(a14d)2(a1d)(a16d)，10d2a1d，d0，10da1，.例2已知an为等比数列，数列bn满足b12，b25，且an(bn1bn)an1，则数列bn的前n项和为()A3n1 B3n1C. D.答案C解析b12，b25，且an(bn1bn)an1，a1(b2b1)a2，即a23a1，又数列an为等比数列，数列an的公比为q3，bn1bn3，数列bn是首项为2，公差为3的等差数列，数列bn的前n项和为Sn2n3.故选C.1已知等比数列an满足a11，a3a716，则该数列的公比为()A B.C2 D2答案A解析根据等比数列的性质可得a3a7aaq8q

13、81624，所以q22，即q，故选A.2已知递增的等比数列an中，a26，a11，a22，a3成等差数列，则该数列的前6项和S6等于()A93 B189 C. D378答案B解析设数列an的公比为q，由题意可知，q1，且2a11a3，即216q，整理可得2q25q20，则q2，则a13，数列an的前6项和S6189.3(2018满洲里质检)等比数列an的前n项和为Sn32n1r，则r的值为()A. BC. D答案B解析当n1时，a1S13r，当n2时，anSnSn132n132n332n3(321)832n3832n2319n1，所以3r，即r，故选B.4已知等比数列an的公比为2，且Sn为其

14、前n项和，则等于()A5 B3 C5 D3答案C解析由题意可得，1(2)25.5古代数学著作九章算术有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，该女子所需的天数至少为()A10 B9 C8 D7答案C解析设该女子第一天织布x尺，则5，解得x，所以前n天织布的尺数为(2n1)，由(2n1)30，得2n187，解得n的最小值为8.6若正项等比数列an满足anan122n(nN)，则a6a5的值是()A. B16C2 D16答案D

15、解析设正项等比数列an的公比为q0，anan122n(nN)，4q2，解得q2，a222n，an0，解得an，则a6a516，故选D.7已知等比数列an的前n项和为Sn，且a12 018，a2a42a3，则S2 019 .答案2 018解析a2a42a3，a2a42a30，a22a2qa2q20，q22q10，解得q1.a12 018，S2 0192 018.8.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”若某勾股树含有1 023个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为 答案解析由题意，得正方形的边长构成

16、以为首项，以为公比的等比数列，现已知共得到1 023个正方形，则有122n11 023，n10，最小正方形的边长为9.9已知各项均为正数的等比数列an满足a1，且a2a82a53，则a9 .答案18解析a2a82a53，a2a53，解得a53(舍负)，即a1q43，则q46，a9a1q83618.10设等比数列an的前n项和为Sn，若a3a112a，且S4S12S8，则 .答案解析a3a112a，a2a，q42，S4S12S8，1q41q12(1q8)，将q42代入计算可得.11(2018全国)已知数列an满足a11，nan12(n1)an.设bn.(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列bn

17、是否为等比数列，并说明理由；(3)求an的通项公式解(1)由条件可得an1an，将n1代入得，a24a1，而a11，所以a24.将n2代入得，a33a2，所以a312.从而b11，b22，b34.(2)bn是首项为1，公比为2的等比数列由条件可得，即bn12bn，又b11，所以bn是首项为1，公比为2的等比数列(3)由(2)可得2n1，所以ann2n1.12已知数列an满足a11，a22，an2，nN.(1)令bnan1an，证明：bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式(1)证明b1a2a11.当n2时，bnan1anan(anan1)bn1，bn是以1为首项，为公比的等比数列(2)解由(

18、1)知bnan1ann1，当n2时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)11n211n1.当n1时，111a1，ann1(nN)13(2019鄂尔多斯模拟)正项等比数列an中的a1，a4 037是函数f(x)x34x26x3的极值点，则等于()A1 B2 C1 D.答案A解析因为f(x)x28x6，所以a1a4 0376，所以a2 019(舍负)，1. 14已知数列an的前n项和为Sn2n12，bnlog2(a)，数列bn的前n项和为Tn，则满足Tn1 024的最小n的值为 答案9解析 由数列an的前n项和为Sn2n12，则当n2时，anSnSn12n122n22n，a1S12，满足

19、上式，所以bnlog2(a)log2alog22n2n，所以数列bn的前n和为Tnn(n1)2n12，当n9时，T991021021 1121 024，当n8时，T8892925821 024的最小n的值为9.15已知等比数列an的各项均为正数且公比大于1，前n项积为Tn，且a2a4a3，则使得Tn1的n的最小值为()A4 B5C6 D7答案C解析an是各项均为正数的等比数列，且a2a4a3，aa3，a31.又q1，a1a21(n3)，TnTn1(n4，nN)，T11，T2a1a21，T3a1a2a3a1a2T21，T4a1a2a3a4a11，故n的最小值为6，故选C.16在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”将数列1，2进行“扩展”，第一次得到数列1，2，2；第二次得到数列1，2，2，4，2；.设第n次“扩展”后得到的数列为1，x1，x2，xt，2，并记anlog2(1x1x2xt2)，其中t2n1，nN+，求数列an的通项公式解anlog2(1x1x2xt2)，所以an1log21(1x1)x1(x1x2)xt(xt2)2log2(12xxxx22)3an1，所以an13，所以数列是一个以为首项，以3为公比的等比数列，所以an3n1，所以an.