2020版高考数学大一轮复习 第七章 不等式、推理与证明 7.1 不等关系与不等式

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1、7.1不等关系与不等式最新考纲考情考向分析1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系2.了解不等式(组)的实际背景.以理解不等式的性质为主，本节在高考中主要以客观题形式考查不等式的性质；以主观题形式考查不等式与其他知识的综合属低档题.1两个实数比较大小的方法(1)作差法 (a，bR)(2)作商法 (aR，b0)2不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性abbb，bcac可加性abacbc可乘性acbc注意c的符号acbd同向同正可乘性acbd可乘方性ab0anbn(nN，n1)a，b同为正数可开方性ab0(nN，n1)3.不等式的一些常用性质(1)倒数的性质ab，ab0.a0bb0,0

2、c.0axb或axb0b0，m0，则(bm0)；0)概念方法微思考1若ab，且a与b都不为0，则与的大小关系确定吗？提示不确定若ab，ab0，则0b，则 ，即正数大于负数2两个同向不等式可以相加和相乘吗？提示可以相加但不一定能相乘，例如21，13.题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)两个实数a，b之间，有且只有ab，ab，a1，则ab.()(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变()(4)ab0，cd0.()(5)ab0，ab0”是“a2b20”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析0aba2b2

3、，但由a2b200.3设ba，dc，则下列不等式中一定成立的是()Aacbd Bacbd Dadbc答案C解析由同向不等式具有可加性可知C正确题组三易错自纠4若ab0，cd0 B. D.答案D解析cd0，0dc，又0ba，bdac，又cd0，即.5设a，bR，则“a2且b1”是“ab3且ab2”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析若a2且b1，则由不等式的同向可加性可得ab213，由不等式的同向同正可乘性可得ab212.即“a2且b1”是“ab3且ab2”的充分条件；反之，若“ab3且ab2”，则“a2且b1”不一定成立，如a6，b.所以“a2且

4、b1”是“ab3且ab2”的充分不必要条件故选A.6若，则的取值范围是_答案(，0)解析由，得0.题型一比较两个数(式)的大小例1 (1)若a0，b0，则p与qab的大小关系为()Apq Dpq答案B解析(作差法)pqab(b2a2)，因为a0，b0，所以ab0.若ab，则pq0，故pq；若ab，则pq0，故pb0，比较aabb与abba的大小解ab，又ab0，故1，ab0，ab1，即1，又abba0，aabbabba，aabb与abba的大小关系为：aabbabba.思维升华 比较大小的常用方法(1)作差法：作差；变形；定号；结论(2)作商法：作商；变形；判断商与1的大小关系；结论(3)函数

5、的单调性法跟踪训练1 (1)已知pR，M(2p1)(p3)，N(p6)(p3)10，则M，N的大小关系为_答案MN解析因为MN(2p1)(p3)(p6)(p3)10p22p5(p1)240，所以MN.(2)若a0，且a7，则()A77aa7aa7D77aa与7aa7的大小不确定答案C解析77aaa77a，则当a7时，01，7a1，77aa7aa7；当0a1，7a0，则7a1，77aa7aa7.综上，77aa7aa7.题型二不等式的性质例2 (1)对于任意实数a，b，c，d，下列命题中正确的是()A若ab，c0，则acbcB若ab，则ac2bc2C若ac2bc2，则abD若ab，则答案C解析对于

6、选项A，当cbc2，c0，c20，一定有ab.故选项C正确；对于选项D，当a0，b0a；0ab；a0b；ab0，能推出b，ab0，正确又正数大于负数，所以正确思维升华 常用方法：一是用性质逐个验证；二是用特殊值法排除利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件跟踪训练2 (1)已知a，b，c满足cba，且acac Bc(ba)0Ccb20答案A解析由cba且ac0，知c0.由bc，得abac一定成立(2)若0，则下列不等式：ab|b|；ab；abb2中，正确的不等式有_(填序号)答案解析因为0，所以ba0，ab0，所以abab，|a|b|，在ba两边同时乘以b，因为b0，所以abb0

7、，给出下列四个不等式：a2b2；2a2b1；a3b32a2b.其中一定成立的不等式为()A BC D答案A解析方法一由ab0可得a2b2，成立；由ab0可得ab1，而函数f(x)2x在R上是增函数，f(a)f(b1)，即2a2b1，成立；ab0，()2()222b2()0，成立；若a3，b2，则a3b335，2a2b36，a3b3b2，2a2b1，均成立，而a3b32a2b不成立，故选A.命题点2求代数式的取值范围例4 已知1x4，2y3，则xy的取值范围是_，3x2y的取值范围是_答案(4，2)(1，18)解析1x4，2y3，3y2，4xy2.由1x4，2y3，得33x12，42y6，13x

8、2y18.引申探究若将本例条件改为1xy4，2xy3，求3x2y的取值范围解设3x2ym(xy)n(xy)，则即3x2y(xy)(xy)，又1xy4，2xy3，(xy)10，1(xy)，(xy)(xy)，即3x2y，3x2y的取值范围为.思维升华 (1)判断不等式是否成立的方法逐一给出推理判断或反例说明结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断(2)求代数式的取值范围一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围跟踪训练3 (1)若ab Ba2abC.bn答案C解析(特值法)取a2，b1，逐个检验，可知A，B，D项均不正确；C项，|b|(|a|1)|a|(|b|1)|a|

9、b|b|a|b|a|b|a|，ab0，|b|a|成立，故选C.(2)已知1xy3，则xy的取值范围是_答案(4，0)解析1x3，1y3，3y1，4xy4.又xy，xy0，4xyb，cd，则acbdB若acbc，则abC若，则ab，cd，则acbd答案C解析A项，取a2，b1，c1，d2，可知A错误；B项，当cbcab，所以B错误；C项，因为0，所以ab，C正确；D项，取ac2，bd1，可知D错误，故选C.2若b2 B1baC.bea答案D解析由题意知，ba0，则a2a1，2，baeb0，ba0beaaeb，aebbea，故选D.3若ab0，则下列不等式中一定成立的是()Aab B.Cab D.

10、答案A解析取a2，b1，排除B与D；另外，函数f(x)x是(0，)上的增函数，但函数g(x)x在(0，1上单调递减，在1，)上单调递增，所以，当ab0时，f(a)f(b)必定成立，即abab，但g(a)g(b)未必成立，故选A.4(2018沈阳模拟)已知xyz，xyz0，则下列不等式成立的是()Axyyz BxzyzCxyxz Dx|y|z|y|答案C解析xyz且xyz0，3xxyz0，3z0，zz，xyxz.5设x0，P2x2x，Q(sin xcos x)2，则()APQ BP0，所以P2；又(sin xcos x)21sin 2x，而sin 2x1，所以Q2.于是PQ.故选A.6若，满足，

11、则2的取值范围是()A20 B2C2 D02答案C解析 ，2.，2.又0，2.故2.7设0ba1，则下列不等式成立的是()Aabb21 Bba0C2b2a2 Da2ab1答案C解析方法一(特殊值法)：取b，a.方法二(单调性法)：0bab2a，B不对；ab0a2ab，D不对，故选C.8若a，b，c，则()Aabc BcbaCcab Dbae)，y，易知当xe时，函数f(x)单调递减因为e34f(4)f(5)，即cba.方法二易知a，b，c都是正数，log8164b；log6251 0241，所以bc.即cbay(0aln(y21) Bsin xsin yCx3答案C解析方法一因为实数x，y满足

12、axay(0a1)，所以xy.对于A，取x0，y3，不成立；对于B，取x，y，不成立；对于C，由于f(x)x3在R上单调递增，故x3y3成立；对于D，取x2，y1，不成立故选C.方法二根据指数函数的性质得xy，此时x2，y2的大小不确定，故选项A，D中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项B中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项C中的不等式成立10设0babln a Baln bbln aCaebbea Daebbea答案B解析观察A，B两项，实际上是在比较和的大小，引入函数y，0x1.则y，可见函数y在(0，1)上单调递增所以，B正确对于C，D两项，引入函数f(x)，0x1，则f

13、(x)0，所以函数f(x)在(0，1)上单调递减，又因为0ba1，所以f(a)f(b)，即bea，故选B.二、填空题11已知ab0，则与的大小关系是_答案解析(ab).ab0，(ab)20，0.12已知有三个条件：ac2bc2；a2b2，其中能成为ab的充分条件的是_答案解析由ac2bc2可知c20，即ab，故“ac2bc2”是“ab”的充分条件；当c0时，ab；当a0，b0时，ab的充分条件13已知a，b，c，d均为实数，有下列命题：若ab0，bcad0，则0；若ab0，0，则bcad0；若bcad0，0，则ab0.其中正确的命题是_(填序号)答案解析ab0，bcad0，0，正确；ab0，又0，即0，bcad0，正确；bcad0，又0，即0，ab0，正确故都正确14设，T1cos(1)，T2cos(1)，则T1与T2的大小关系为_答案T1T2解析T1T2(cos 1cos sin 1sin )(cos 1cos sin 1sin )2sin 1sin 0.故T10，求证：；(2)已知cab0，求证：.证明(1)bcad，bd0，11，.(2)cab0，ca0，cb0.16已知1a4，2b8，试求ab与的取值范围解因为1a4，2b8，所以8b2.所以18ab42，即7ab2.又因为，所以2，即2.