2020版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何 8.2 空间几何体的表面积与体积

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1、8.2空间几何体的表面积与体积最新考纲考情考向分析了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.主要考查涉及空间几何体的表面积与体积常以选择题与填空题为主，涉及空间几何体的结构特征、三视图等内容，要求考生要有较强的空间想象能力和计算能力，难度为中低档.1多面体的表面积、侧面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和2圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧2rlS圆锥侧rlS圆台侧(r1r2)l3.柱、锥、台、球的表面积和体积 名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积S侧2S底VSh锥体(

2、棱锥和圆锥)S表面积S侧S底VSh台体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下V(S上S下)h球S4R2VR3概念方法微思考1如何求旋转体的表面积？提示求旋转体的侧面积时需要将曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面积之和2如何求不规则几何体的体积？提示求不规则几何体的体积要注意分割与补形，将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则的几何体求解题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和()(2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差()(3)锥体的体积等于底面积与高之积()(4)已知球O的半径为R，其内接正方体的边长为a，则Ra.()(5

3、)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2S.()题组二教材改编2已知圆锥的表面积等于12 cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为()A1 cm B2 cmC3 cm D. cm答案B解析S表r2rlr2r2r3r212，r24，r2.3如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为_答案147解析设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出棱锥的体积V1abcabc，剩下的几何体的体积V2abcabcabc，所以V1V2147.题组三易错自纠4体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()

4、A12 B. C8 D4答案A解析由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线为2即为球的直径，所以球的表面积为4R2(2R)212，故选A.5已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_答案解析由三视图可知，该几何体是一个圆柱挖去了一个同底等高的圆锥，其体积为222222.题型一求空间几何体的表面积1(2018全国)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A12 B12C8 D10答案B解析设圆柱的轴截面的边长为x，则由x28，得x2，S圆柱表2S底S侧2()22212.故选B.2(2019抚顺模拟)下图是某

5、几何体的三视图，则此几何体的表面积为()A422 B44C242 D84答案A解析该几何体为三棱锥，其直观图如图所示，为三棱锥B1ACD，则其表面积为四个面面积之和S222(2)2422.思维升华 空间几何体表面积的求法(1)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理(3)以三视图为载体的需确定几何体中各元素之间的位置关系及数量题型二求空间几何体的体积命题点1求以三视图为背景的几何体的体积例1 (2017全国)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何

6、体的体积为()A90 B63C42 D36答案B解析方法一(割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示将圆柱补全，并将圆柱从点A处水平分成上下两部分由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的，所以该几何体的体积V32432663.故选B.方法二(估值法)由题意知，V圆柱V几何体V圆柱，又V圆柱321090，45V几何体90.观察选项可知只有63符合故选B.命题点2求简单几何体的体积例2 如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC的中点，则三棱锥AB1DC1的体积为()A3 B.C1 D.答案C解析如题图，因为AB

7、C是正三角形，且D为BC中点，则ADBC.又因为BB1平面ABC，AD平面ABC，故BB1AD，且BB1BCB，BB1，BC平面BCC1B1，所以AD平面BCC1B1，所以AD是三棱锥AB1DC1的高所以AD1.思维升华 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)直接利用公式进行求解(2)用转换法、分割法、补形法等方法进行求解(3)以三视图的形式给出的应先得到几何体的直观图跟踪训练1 (1)(2018兰州模拟)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长

8、4丈；上棱长2丈，高1丈，问它的体积是多少？”已知1丈为10尺，现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为()A5 000 立方尺 B5 500 立方尺C6 000 立方尺 D6 500 立方尺答案A解析(分割法)该楔体的直观图如图中的几何体ABCDEF.取AB的中点G，CD的中点H，连接FG，GH，HF，则该几何体的体积为四棱锥FGBCH与三棱柱ADEGHF的体积之和又可以将三棱柱ADEGHF割补成高为EF，底面积为S31(平方丈)的一个直棱柱，故该楔体的体积V22315(立方丈)5 000(立方尺)(2)如图，直三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长均为2，D为

9、棱B1C1上任意一点，则三棱锥DA1BC的体积是_答案解析 .题型三与球有关的切、接问题例3 已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，则球O的半径为()A. B2C. D3答案C解析如图所示，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AMBC，OMAA16，所以球O的半径ROA .引申探究1本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？解由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为r.又正方体的棱长为4，故其体对角

10、线长为4，从而V外接球R3(2)332，V内切球r323.2本例若将直三棱柱改为“正四面体”，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为多少？解正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S14a2a2，其内切球半径r为正四面体高的，即raa，因此内切球表面积为S24r2，则.3本例中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是3的正四棱锥”，则其外接球的半径是多少？解依题意，得该正四棱锥底面对角线的长为36，高为3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.思维升华 “切”“接”问题的处理规律(1)“切”的处理首先要找准切点，通过作

11、截面来解决，截面过球心(2)“接”的处理抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径跟踪训练2 (1)(2019长春东北师大附中模拟)一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的外接球的表面积为()A34 B25C41 D50答案A解析根据题中所给的三视图可以断定该几何体应该是由长、宽、高分别是4，3，3的长方体所截成的四棱锥，所以该棱锥的外接球相当于对应的长方体的外接球，所以长方体的体对角线就是其外接球的直径，所以有R，从而求得其表面积为S4R234，故选A.(2)中国古代数学名著九章算术中记载了一种名为“堑堵”的几何体，其三视图如图所示，则其外接球的表面积为A. B.4 C.8 D.6

12、4答案B解析由已知可得该“堑堵”是一个由长方体切去一半得到的直三棱柱，且长、宽、高分别是，1,1，该几何体的外接球就是对应的长方体的外接球，而长方体的体对角线是2，所以其外接球的半径为1，所以其外接球的表面积为4124，故选B.1某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是()A168 B164C488 D484答案C解析根据三视图知，该几何体是底面为等边三角形，高为4的直三棱柱，画出几何体的直观图，如图所示，结合图中数据，计算它的表面积是S224344488.2(2018鞍山质检)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A38 B28C244 D344答案D解析由三视图可知，该几

13、何体是一个组合体，左边是一个半球，球的半径为1，右边是一个三棱柱，三棱柱底面是斜边长为2的等腰直角三角形，高为2，组合体表面积由球表面积的一半，圆面积、棱柱的侧面积组成，其值为 41212(22)2344，故选D.3算术书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出圆锥的底面周长l与高h，计算其体积V的近似公式Vl2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取3，那么，近似公式Vl2h相当于将圆锥体积公式中的近似取()A. B.C. D.答案C解析Vr2h2hl2h，由，得

14、，故选C.4某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为2，则该几何体的表面积为()A24(1) B24(22)C24(1) D24(22)答案B解析根据三视图可得该几何体是由棱长为2的正方体挖去两个底面半径为1，母线长为的圆锥所得如图所示的组合体，则该组合体的侧面积为S142216，两个底面的面积为S22(2212)82，两个圆锥的侧面积为S3212，所以该组合体的表面积为SS1S2S31682224(22).5(2018营口模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. B.C. D.答案B解析由给定的三视图可知，该几何体表示左侧是一个以边长为2的正方形为底面，高为2的四

15、棱锥，其体积为V1222；右侧为一个直三棱柱，其底面如俯视图所示，高为2，其体积为V22224，所以该几何体的体积为VV1V24，故选B.6.如图所示，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则_.答案解析由水面高度升高r，得圆柱体积增加了R2r，恰好是半径为r的实心铁球的体积，因此有r3R2r.故.7一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为_答案12解析设六棱锥的高为h，则VSh，所以46h2，解得h1.设六棱锥的斜高为h，则h2()2h2，故h2.所以该六棱锥的侧面积为22612.8一个几何体的

16、三视图如图所示，则该几何体的体积为_答案解析由三视图可知，该几何体是一个组合体，它由半个圆锥与四分之一球体组成，其中，圆锥的底面半径为1，高为2，体积为122；球半径为1，体积为13，所以，该几何体的体积为.9某组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为_答案解析如图所示，该组合体由一个四棱锥和四分之一个球组成，球的半径为1，四棱锥的高为球的半径，四棱锥的底面为等腰梯形，上底为2，下底为1，高为，所以该组合体的体积V(21)113.10(2017全国)长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为_答案14解析长方体的顶点都在球O的球面上，长方体的体对角线的长度就

17、是其外接球的直径设球的半径为R，则2R.球O的表面积为S4R24214.11(2019呼伦贝尔模拟)已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_答案解析由三视图可得该几何体由左、右两部分组成，左边为圆锥，右边为三棱锥该几何体的体积V121121.12.如图，在ABC中，AB8，BC10，AC6，DB平面ABC，且AEFCBD，BD3，FC4，AE5.求此几何体的体积解方法一如图，取CMANBD，连接DM，MN，DN，用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥则V几何体V三棱柱V四棱锥由题知三棱柱ABCNDM的体积为V186372.四棱锥DMNEF的体积为V2S梯形MNEFDN(

18、12)6824，则几何体的体积为VV1V2722496.方法二用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AABBCC8，所以V几何体V三棱柱SABCAA24896.13如图所示，某几何体的三视图是三个半径均为1的圆，且每个圆中的直径相互垂直，则它的体积为()A BC D答案D解析由题意可知该几何体是一个球，被3个经过球心的垂直平面所截，上半球保留相对的2个球体，下半球保留相对的2个球体，剩余几何体的体积是原几何体的一半，即13.14(2019湛江模拟)已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球体积为_答案4解析如图所示，在长、宽、高分别为2，2的长方体中，点

19、E，F分别为对应棱的中点，则三视图对应的几何体为三棱锥EABF，将三棱锥补形为三棱柱ABFA1B1E，则三棱锥的外接球即三棱柱的外接球，取AB，A1B1的中点G，H，易知外接球的球心为GH的中点，据此可得外接球半径R，外接球的体积VR34.15某几何体的三视图如图所示，坐标纸上的每个小方格的边长为1，则该几何体的外接球的体积是()A. B112C. D.答案D解析该几何体是如图所示的三棱锥PABC，三棱锥的高PD6，且侧面PAC底面ABC，ACBC，PAPC，AC8，BC6，AB10，ABC的外接圆的圆心为斜边AB的中点E，设该几何体的外接球的球心为O，OE底面ABC，设OEx，外接球的半径为

20、R，则x2232(6x)2，解得x.R2252，外接球的体积VR3.16.如图，ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC平面ABC，AB4，EB2.(1)求证：DE平面ACD；(2)设ACx，V(x)表示三棱锥BACE的体积，求函数V(x)的解析式及最大值(1)证明四边形DCBE为平行四边形，CDBE，BCDE.DC平面ABC，BC平面ABC，DCBC.AB是圆O的直径，BCAC，且DCACC，DC，AC平面ADC，BC平面ADC.DEBC，DE平面ADC.(2)解DC平面ABC，DCBE，BE平面ABC.在RtABE中，AB4，EB2.在RtABC中，ACx，BC(0x4)，SABCACBCx，V(x)V三棱锥EABCx(0x4)x2(16x2)264，当且仅当x216x2，即x2时取等号，当x2时，体积有最大值.