2020版高考数学大一轮复习 第七章 不等式、推理与证明 7.2 一元二次不等式及其解法

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1、7.2一元二次不等式及其解法最新考纲考情考向分析1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.以理解一元二次不等式的解法为主，常与集合的运算相结合考查一元二次不等式的解法，有时也在导数的应用中用到，加强函数与方程思想，分类讨论思想和数形结合思想的应用意识在高考中常以选择题的形式考查，属于低档题，若在导数的应用中考查，难度较高.1.一元二次不等式的解集判别式b24ac000)的图象方程ax2bxc0 (a0)的根有两相异实根x1，x2(x10 (a0)的解

2、集x|xx2x|xRax2bxc0)的解集x|x1 x0或(xa)(xb)0型不等式的解法不等式解集ab(xa)(xb)0x|xbx|xax|xa(xa)(xb)0x|axbx|bx0(a0)的解集与其对应的函数yax2bxc的图象有什么关系？提示 ax2bxc0(a0)的解集就是其对应函数yax2bxc的图象在x轴上方的部分所对应的x的取值范围2一元二次不等式ax2bxc0(0恒成立的条件是ax2bxc0恒成立的条件是题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若不等式ax2bxc0.()(2)若不等式ax2bxc0的解集是(，x1)(x2，)，则方程ax2bxc0的

3、两个根是x1和x2.()(3)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0的解集为R.()(4)不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a0且b24ac0.()(5)若二次函数yax2bxc的图象开口向下，则不等式ax2bxc0，则RA等于()Ax|2x3Bx|2x3Cx|x3Dx|x2x|x3答案B解析x2x60，(x2)(x3)0，x3或x3或x0，令3x22x20，得x1，x2，3x22x20的解集为.题组三易错自纠4不等式x23x40的解集为_(用区间表示)答案(4，1)解析由x23x40可知，(x4)(x1)0，得4x0的解集是，则ab_.答案14解析x1，x2是方

4、程ax2bx20的两个根，解得ab14.6不等式(a2)x22(a2)x40，对一切xR恒成立，则实数a的取值范围是()A(，2 B(2，2 C(2，2) D(，2)答案B解析2a2，另a2时，原式化为40，不等式恒成立，2a2.故选B.题型一一元二次不等式的求解命题点1不含参的不等式例1 (2019呼和浩特模拟)已知集合Ax|x2x20，By|y2x，则AB等于()A(1，2) B(2，1)C(0，1) D(0，2)答案D解析由题意得Ax|x2x20x|1x0， ABx|0x2(0，2)故选D.命题点2含参不等式例2 解关于x的不等式ax2(a1)x10)解原不等式变为(ax1)(x1)0，

5、所以(x1)1时，解为x1；当a1时，解集为；当0a1时，解为1x.综上，当0a1时，不等式的解集为.思维升华 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类(2)根据判别式判断根的个数(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论跟踪训练1 解不等式12x2axa2(aR)解原不等式可化为12x2axa20，即(4xa)(3xa)0，令(4xa)(3xa)0，解得x1，x2.当a0时，不等式的解集为；当a0时，不等式的解集为(，0)(0，)；当a0时，不等式的解集为.题型二一元二次不等式恒成立问题命题点1在R上的恒成立问题例3 已知函数f(x)mx2mx1.若

6、对于xR，f(x)0恒成立，求实数m的取值范围解当m0时，f(x)10恒成立当m0时，则即4m0.综上，4m0，故m的取值范围是(4，0命题点2在给定区间上的恒成立问题例4 已知函数f(x)mx2mx1.若对于x1，3，f(x)5m恒成立，求实数m的取值范围解要使f(x)m5在x1，3上恒成立，即m2m60时，g(x)在1，3上是增函数，所以g(x)maxg(3)，即7m60，所以m，所以0m；当m0时，60恒成立；当m0时，g(x)在1，3上是减函数，所以g(x)maxg(1)，即m60，所以m6，所以m0，又因为m(x2x1)60，所以m.因为函数y在1，3上的最小值为，所以只需m即可所以

7、m的取值范围是.引申探究1若将“f(x)5m恒成立”改为“f(x)5m无解”，如何求m的取值范围？解若f(x)5m无解，即f(x)5m恒成立，即m恒成立，又x1，3，得m6，即m的取值范围为6，)2若将“f(x)5m恒成立”改为“存在x，使f(x)5m成立”，如何求m的取值范围？解由题意知f(x)5m有解，即m有解，则mmax，又x1，3，得m6，即m的取值范围为(，6)命题点3给定参数范围的恒成立问题例5 若mx2mx10对于m1，2恒成立，求实数x的取值范围解设g(m)mx2mx1(x2x)m1，其图象是直线，当m1，2时，图象为一条线段，则即解得x，故x的取值范围为.思维升华 解决恒成立

8、问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数跟踪训练2 函数f(x)x2ax3.(1)当xR时，f(x)a恒成立，求实数a的取值范围；(2)当x2，2时，f(x)a恒成立，求实数a的取值范围；(3)当a4，6时，f(x)0恒成立，求实数x的取值范围解(1)当xR时，x2ax3a0恒成立，需a24(3a)0，即a24a120，实数a的取值范围是6，2(2)当x2，2时，设g(x)x2ax3a0，分如下三种情况讨论(如图所示)：如图，当g(x)的图象与x轴不超过1个交点时，有a24(3a)0，即6a2.如图，g(x)的图象与x轴有2个交点，但当x2，)

9、时，g(x)0，即即可得解得a.如图，g(x)的图象与x轴有2个交点，但当x(，2时，g(x)0.即即可得7a6，综上，实数a的取值范围是7，2(3)令h(a)xax23.当a4，6时，h(a)0恒成立只需即解得x3或x3.实数x的取值范围是(，33，)一、选择题1已知集合Ax|x0，Bx|(x1)(x5)0，则AB等于()A1，4) B0，5)C1，4 D4，1) 4，5)答案B解析由题意得Bx|1x5，故ABx|x0x|1x0的解集为x|1x0的解集为()A. B.Cx|2x1 Dx|x1答案A解析不等式ax2bx20的解集为x|1x2，ax2bx20的两根为1，2，且a0，解得x，故选A

10、.3若一元二次不等式2kx2kx0对一切实数x都成立，则k的取值范围为()A(3，0) B3，0 C3，0) D(3，0答案A解析由题意可得解得3k0.4若存在实数x2，4，使x22x5mx22x5，设f(x)x22x5(x1)24，x2，4，当x2时f(x)min5，x2，4使x22x5mf(x)min，m5.故选B.5若不等式x2(a1)xa0的解集是4，3的子集，则a的取值范围是()A4，1 B4，3C1，3 D1，3答案B解析原不等式为(xa)(x1)0，当a1时，不等式的解集为a，1，此时只要a4即可，即4a1时，不等式的解集为1，a，此时只要a3即可，即10在区间1，5上有解，则a

11、的取值范围是()A. B.C(1，) D.答案A解析由a280知方程恒有两个不等实根，又因为x1x220，解得a，故选A.7在关于x的不等式x2(a1)xa0的解集中至多包含1个整数，则a的取值范围是()A(3，5) B(2，4)C1，3 D2，4答案C解析 因为关于x的不等式x2(a1)xa0可化为(x1)(xa)1时，不等式的解集为x|1xa，当a1时，不等式的解集为x|ax1，当a1时，不等式的解集为，要使得解集中至多包含1个整数，则a1或1a1，所以实数a的取值范围是a1，3，故选C.8设a0，(4x2a)(2xb)0在(a，b)上恒成立，则ba的最大值为()A. B. C. D.答案

12、C解析当ab0时，x(a，b)，2xb0，所以(4x2a)(2xb)0在(a，b)上恒成立，可转化为x(a，b)，a4x2，所以a4a2，所以a0，所以0ba；当a0b时，(4x2a)(2xb)0在(a，b)上恒成立，当x0时，(4x2a)(2xb)ab0，不符合题意；当a0b时，由题意知x(a，0)，(4x2a)2x0恒成立，所以4x2a0，所以a0，所以ba.综上所述，ba的最大值为.二、填空题9(2018全国名校大联考)不等式x22ax3a20)的解集为_答案x|ax3a解析x22ax3a20(x3a)(xa)0，a3a，不等式的解集为x|ax的解集为_答案(1，0)(1，)解析当x0时

13、，原不等式等价于x21，解得x1；当x0时，原不等式等价于x21，解得1x的解集为(1，0)(1，)11若关于x的不等式x2axa0的解集为R，则实数a的取值范围是_答案(4，0)解析因为x2axa0的解集为R，所以(a)24(a)0，解得4a0，故实数a的取值范围是(4，0)12(2019上海长宁、嘉定区模拟)不等式0的解集为_答案(1，0解析由0得x(x1)0(x1)，解得10，求实数a的取值范围解设f(x)x22(a2)xa，当4(a2)24a0时，即1a0 对xR恒成立；当a1时，f(1)0，不合题意；当a4时，f(2)0 符合题意；当0 时，由即即40；(2)若不等式f(x)b的解集

14、为(1，3)，求实数a，b的值解(1)f(x)3x2a(6a)x6，f(1)3a(6a)6a26a30，即a26a30，解得32a32.原不等式的解集为a|32ab的解集为(1，3)，方程3x2a(6a)x6b0的两根为1，3，解得16已知f(x)2x2bxc，不等式f(x)0的解集是(0，5)(1)求f(x)的解析式；(2)若对于任意的x1，1，不等式f(x)t2恒成立，求t的取值范围解(1)f(x)2x2bxc，不等式f(x)0的解集是(0，5)，即2x2bxc0的解集是(0，5)，0和5是方程2x2bxc0的两个根，由根与系数的关系知，5，0，b10，c0，f(x)2x210x.(2)f(x)t2恒成立等价于2x210xt20恒成立，2x210xt2在x1，1上的最大值小于或等于0.设g(x)2x210xt2，x1，1，则由二次函数的图象可知g(x)2x210xt2在区间1，1上为减函数，g(x)maxg(1)10t，10t0，即t10.