2020版高考数学大一轮复习 第十一章 概率 11.1 随机事件的概率与古典概型

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1、11.1随机事件的概率与古典概型最新考纲考情考向分析1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别.2.了解两个互斥事件的概率加法公式.3.理解古典概型及其概率计算公式.4.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.以考查随机事件、互斥事件与对立事件的概率为主，常与事件的频率交汇考查.本节内容在高考中三种题型都有可能出现，随机事件的频率与概率的题目往往以解答题的形式出现，互斥事件、对立事件的概念及概率常常以选择、填空题的形式出现.1.事件(1)不可能事件、必然事件、随机事件：在同样的条件下重复进行试验时，有的结果始终不会发生，它称为不可能事件；有的结果

2、在每次试验中一定会发生，它称为必然事件；有的结果可能发生，也可能不发生，它称为随机事件.(2)基本事件、基本事件空间：试验连同它出现的每一个结果称为一个基本事件，它是试验中不能再分的最简单的随机事件；所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，基本事件空间常用大写希腊字母表示.2.概率与频率(1)概率定义：在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率，当n很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A).(2)概率与频率的关系：概率可以通过频率来“测量”，频率是概率的一个近似.3.事件的关系与运算名称定义并事件(和事件)由事件A和B至少有一

3、个发生所构成的事件C互斥事件不可能同时发生的两个事件A、B互为对立事件不能同时发生且必有一个发生的两个事件A、B4.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0P(A)1.(2)必然事件的概率P(E)1.(3)不可能事件的概率P(F)0.(4)概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P(AB)P(A)P(B).(5)对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)1P(B).5.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.6.古典概型的两个特点(1)有限性：在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件；(2)等

4、可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的.7.如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A).8.古典概型的概率公式P(A).概念方法微思考1.随机事件A发生的频率与概率有何区别与联系？提示随机事件A发生的频率是随机的，而概率是客观存在的确定的常数，但在大量随机试验中事件A发生的频率稳定在事件A发生的概率附近.2.随机事件A，B互斥与对立有何区别与联系？提示当随机事件A，B互斥时，不一定对立，当随机事件A，B对立时，一定互斥.3.任何一个随机事件与基本事件有何关系？提示任何一个随机事件都

5、等于构成它的每一个基本事件的和.4.如何判断一个试验是否为古典概型？提示一个试验是否为古典概型，关键在于这个试验是否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)事件发生的频率与概率是相同的.()(2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值.()(3)两个事件的和事件是指两个事件都得发生.()(4)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能的.()(5)从市场上出售的标准为5005 g的袋装食盐中任取一袋测其重量，属于古典概型.()题组二教材改编2.一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”

6、的对立事件是()A.至多有一次中靶 B.两次都中靶C.只有一次中靶 D.两次都不中靶答案D解析“至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”.3.一个盒子里装有标号为1,2,3,4的4张卡片，随机地抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是()A. B.C. D.答案D解析抽取两张卡片的基本事件有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种，和为奇数的事件有：(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种.所求概率为.4.同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为_.答案解析掷两个骰子一次，向上的点数共6636(种)可能的结果，其中点数相同的结

7、果共有6种，所以点数不相同的概率P1.题组三易错自纠5.将一枚硬币向上抛掷10次，其中“正面向上恰有5次”是()A.必然事件 B.随机事件C.不可能事件 D.无法确定答案B解析抛掷10次硬币，正面向上的次数可能为010，都有可能发生，正面向上5次是随机事件.6.将号码分别为1,2,3,4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个小球，其号码为b，则使不等式a2b40成立的事件发生的概率为_.答案解析由题意知(a，b)的所有可能结果有4416(种)，其中满足a2b40，就去打球，若X0，就去唱歌，若X0，就去下棋，则小

8、波不去唱歌的概率是_.答案解析根据题意可知，X的所有可能取值为2，1,0,1.数量积为2的有，共1种；数量积为1的有，共6种；数量积为0的有，共4种；数量积为1的有，共4种，故所有可能的情况共有164415(种)，其中X0的情况有16411(种)，故根据古典概型的概率计算公式知小波不去唱歌的概率P.引申探究1.本例(2)中，若将4个球改为颜色相同，标号分别为1,2，3,4的四个小球，从中一次取两球，求标号和为奇数的概率.解基本事件数仍为6.设标号和为奇数为事件A，则A包含的基本事件为(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种，所以P(A).2.本例(2)中，若将条件改为有放回地取球

9、，取两次，求两次取球颜色相同的概率.解基本事件为(白，白)，(白，红)，(白，黄)，(白，黄)，(红，红)，(红，白)，(红，黄)，(红，黄)，(黄，黄)，(黄，白)，(黄，红)，(黄，黄)，(黄，黄)，(黄，白)，(黄，红)，(黄，黄)，共16种，其中颜色相同的有6种，故所求概率P.思维升华 求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树状图法，具体应用时可根据需要灵活选择.跟踪训练2 (1)(2016全国)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,

10、2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是()A. B. C. D.答案C解析由题意可知，共15种可能性，而只有1种是正确的.输入一次密码能够成功开机的概率为.(2)(2018大连模拟)已知a0,1,2，b1,1,3,5，则函数f(x)ax22bx在区间(1，)上为增函数的概率是()A. B. C. D.答案A解析a0,1,2，b1,1,3,5，基本事件总数n3412.函数f(x)ax22bx在区间(1，)上为增函数，当a0时，f(x)2bx，符合条件的只有(0，1)，即a0，b1；当a0时，需要满足1，符合条件的有(1，1)，(1,1)，(2，1)，(2,1)，共4种

11、.函数f(x)ax22bx在区间(1，)上为增函数的概率是P.题型三古典概型与统计的综合应用例5某县共有90个农村淘宝服务网点，随机抽取6个网点统计其元旦期间的网购金额(单位：万元)的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数.(1)根据茎叶图计算样本数据的平均数；(2)若网购金额(单位：万元)不小于18的服务网点定义为优秀服务网点，其余为非优秀服务网点，根据茎叶图推断这90个服务网点中优秀服务网点的个数；(3)从随机抽取的6个服务网点中再任取2个作网购商品的调查，求恰有1个网点是优秀服务网点的概率.解(1)由题意知，样本数据的平均数12.(2)样本中优秀服务网点有2个，概率为，由此估计这90

12、个服务网点中优秀服务网点有9030(个).(3)样本中优秀服务网点有2个，分别记为a1，a2，非优秀服务网点有4个，分别记为b1，b2，b3，b4，从随机抽取的6个服务网点中再任取2个的可能情况有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2，b3)，(b2，b4)，(b3，b4)，共15种，记“恰有1个是优秀服务网点”为事件M，则事件M包含的可能情况有：(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，

13、b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，共8种，故所求概率P(M).思维升华 有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出信息，准确从题中提炼信息是解题的关键.跟踪训练3 从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155 cm和195 cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组155,160)，第二组160,165)，第八组190,195，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第六组比第七组多1人，第一组和第八组人数相同.(

14、1)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图；(2)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名，记他们的身高分别为x，y，求|xy|5的概率.解(1)由频率分布直方图知，前五组的频率为(0.0080.0160.040.040.06)50.82，所以后三组的频率为10.820.18，人数为0.18509，由频率分布直方图得第八组的频率为0.00850.04，人数为0.04502，设第六组人数为m，则第七组人数为m1，又mm129，所以m4，即第六组人数为4，第七组人数为3，频率分别为0.08,0.06，频率除以组距分别等于0.016,0.012，则完整的频率分布直方图如图所示：(2

15、)由(1)知身高在180,185)内的男生有四名，设为a，b，c，d，身高在190,195的男生有两名，设为A，B.若x，y180,185)，有ab，ac，ad，bc，bd，cd共6种情况；若x，y190,195，只有AB 1种情况；若x，y分别在180,185)，190,195内，有aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB共8种情况，所以基本事件的总数为68115，事件|xy|5包含的基本事件的个数为617，故所求概率为.概率与统计例 (12分)海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些

16、商品中共抽取6件样品进行检测.地区ABC数量50150100(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.规范解答解(1)A，B，C三个地区商品的总数量为50150100300，抽样比为，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是501,1503,1002.所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别是1,3,2.6分(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：A；B1，B2，B3；C1，C2.则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：A，B1，A，B2，A，B3，A，C1，A，C2，B

17、1，B2，B1，B3，B1，C1，B1，C2，B2，B3，B2，C1，B2，C2，B3，C1，B3，C2，C1，C2，共15个.8分每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的.记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有：B1，B2，B1，B3，B2，B3，C1，C2，共4个.所以P(D)，11分即这2件商品来自相同地区的概率为.12分求概率与统计问题的一般步骤第一步：根据概率统计的知识确定元素(总体、个体)以及要解决的概率模型；第二步：将所有基本事件列举出来(可用树状图)；第三步：计算基本事件总数n，事件A包含的基本事件数m，代入公式P(A)；第四步：

18、回到所求问题，规范作答.1.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是()A.至少有一个黑球与都是黑球B.至少有一个黑球与都是红球C.至少有一个黑球与至少有一个红球D.恰有一个黑球与恰有两个黑球答案D解析对于A，事件“至少有一个黑球”与事件“都是黑球”可以同时发生，A不正确；对于B，事件“至少有一个黑球”与事件“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，这两个事件是对立事件，B不正确；对于C，事件“至少有一个黑球”与事件“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球，一个黑球，C不正确；对于D，事件“恰有一个黑球”与事件“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取

19、两个球时还有可能是两个都是红球，两个事件是互斥事件但不是对立事件，D正确.2.(2016天津)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为()A. B. C. D.答案A解析事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件，所以甲不输的概率为.3.对一批产品的长度(单位：mm)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图.根据标准，产品长度在区间20,25)上的为一等品，在区间15,20)和区间25,30)上的为二等品，在区间10,15)和30,35上的为三等品.用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为()A.0.09 B.0.20 C.0

20、.25 D.0.45答案D解析设25,30)上的频率为x，由所有矩形面积之和为1，即x(0.020.040.030.06)51，得25,30)上的频率为0.25.所以产品为二等品的概率为0.0450.250.45.4.(2018抚顺期中)根据某医疗研究所的调查，某地区居民血型的分布为：O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%.现有一血液为A型病人需要输血，若在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为()A.15% B.20% C.45% D.65%答案D解析因为某地区居民血型的分布为：O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%，现在能为A型病人输血的有O型和A型，故为病人输血的概率为

21、50%15%65%，故选D.5.(2018鞍山检测)每年三月为学雷锋活动月，某班有青年志愿者男生3人，女生2人，现需选出2名青年志愿者到社区做公益宣传活动，则选出的2名志愿者性别相同的概率为()A. B. C. D.答案B解析设男生为A，B，C，女生为a，b，从5人中选出2名志愿者有：(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，共10种等可能情况，其中选出的2名志愿者性别相同的有(A，B)，(A，C)，(B，C)，(a，b)，共4种等可能的情况，则选出的2名志愿者性别相同的概率为P.6.设m，n分别是先后抛掷一枚骰子得

22、到的点数，则在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2mxn0有实根的概率为()A. B. C. D.答案C解析先后两次出现的点数中有5的情况有：(1,5)，(2,5)，(3,5)，(4,5)，(5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共11种，其中使方程x2mxn0有实根的情况有：(5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共7种.故所求事件的概率P.7.若a，b0,1,2，则函数f(x)ax22xb有零点的概率为_.答案解析a，b0,1,2，当函数f(x)ax22xb没有零点时，a0，且44ab1，(a，b

23、)有3种情况：(1,2)，(2,1)，(2,2).基本事件总数n339，函数f(x)ax22xb有零点的概率为P1.8.如图所示的茎叶图是甲、乙两人在4次模拟测试中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为_.答案0.3解析依题意，记题中被污损的数字为x，若甲的平均成绩不超过乙的平均成绩，则有(8921)(53x5)0，解得x7，即此时x的可能取值是7,8,9，因此甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率P0.3.9.在集合中任取一个元素，所取元素恰好满足方程cos x的概率是_.答案解析基本事件总数为10，满足方程cos x的基本事件数为3，故所求概率P.10.在3张奖

24、券中有一、二等奖各1张，另1张无奖.甲、乙两人各抽取1张，则两人都中奖的概率是_.答案解析设中一、二等奖及不中奖分别记为1,2,0，那么甲、乙抽奖结果有(1,2)，(1,0)，(2,1)，(2,0)，(0,1)，(0,2)，共6种.其中甲、乙都中奖有(1,2)，(2,1)，共2种，所以P(A).11.设连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m，n，令平面向量a(m，n)，b(1，3).(1)求事件“ab”发生的概率；(2)求事件“|a|b|”发生的概率.解(1)由题意知，m1,2,3,4,5,6，n1,2,3,4,5,6，故(m，n)所有可能的情况共36种.因为ab，所以m3n0，即m3n，有(3,

25、1)，(6,2)，共2种，所以事件“ab”发生的概率为.(2)由|a|b|，得m2n210，有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6种，其概率为.所以事件“|a|b|”发生的概率为.12.(2016山东)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：若xy3，则奖励玩具一个；若xy8，则奖励水杯一个；其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动.(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮

26、获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.解(1)用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间与点集S(x，y)|xN，yN，1x4，1y4一一对应.因为S中元素的个数是4416，所以基本事件总数n16.记“xy3”为事件A，则事件A包含的基本事件共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)，所以P(A)，即小亮获得玩具的概率为.(2)记“xy8”为事件B，“3xy，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.13.(2018湖北省部分重点中学考试)某商场对某一商品搞活动，已知该商品每一个的进价为3元，售价为8元，每天销售的第20个及之后的商品按半价出售

27、，该商场统计了近10天这种商品的销售量，如图所示.设x为这种商品每天的销售量，y为该商场每天销售这种商品的利润，从日利润不少于96元的几天里任选2天，则选出的这2天日利润都是97元的概率为()A. B. C. D.答案B解析日销售量不少于20个时，日利润不少于96元，其中日销售量为20个时，日利润为96元；日销售量为21个时，日利润为97元.从条形统计图可以看出，日销售量为20个的有3天，日销售量为21个的有2天，日销售量为20个的3天记为a，b，c，日销售量为21个的2天记为A，B，从这5天中任选2天，可能的情况有10种：(a，b)，(a，c)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，A)

28、，(b，B)，(c，A)，(c，B)，(A，B)，其中选出的2天日销售量都为21个的情况只有1种，故所求概率P，故选B.14.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39,32,33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示.现随机选取一个成员，他属于至少2个小组的概率是_，他属于不超过2个小组的概率是_.答案解析“至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况，故他属于至少2个小组的概率为P.“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”，其对立事件是“3个小组”.故他属于不超过2个小组的概率是P1.15.掷一个骰子的试验，事件A表示“出现小于5的偶数点

29、”，事件B表示“出现小于5的点”，若表示B的对立事件，则一次试验中，事件A发生的概率为()A. B. C. D.答案C解析掷一个骰子的试验有6种可能的结果.依题意知P(A)，P(B)，P()1P(B)1，表示“出现5点或6点”，事件A与互斥，P(A)P(A)P().16.一个三位数个位、十位、百位上的数字依次为x，y，z，当且仅当yx，yz时，称这样的数为“凸数”(如243)，现从集合5,6,7,8中取出三个不同的数组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为()A. B. C. D.答案B解析从集合5,6,7,8中取出3个不同的数组成一个三位数共有24个结果：567,576,657,675,756,765,568,586,658,685,856,865,578,587,758,785,857,875,678,687,768,786,867,876，其中是“凸数”的是：576,675,586,685,587,785,687,786共8个结果，这个三位数是“凸数”的概率为，故选B.