2020版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形高考专题突破2 高考中的三角函数与解三角形问题

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1、高考专题突破二高考中的三角函数与解三角形问题题型一三角函数的图象和性质例1 (2016山东)设f(x)2sin(x)sin x(sin xcos x)2.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)把yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位长度，得到函数yg(x)的图象，求g的值解(1)由f(x)2sin(x)sin x(sin xcos x)22sin2x(12sin xcos x)(1cos 2x)sin 2x1sin 2xcos 2x12sin1.由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)所以f(x)的单调递增区间是(kZ).(2)由(1)知f

2、(x)2sin1，把yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y2sin1的图象，再把得到的图象向左平移个单位长度，得到y2sin x1的图象，即g(x)2sin x1.所以g2sin 1.思维升华 三角函数的图象与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为yAsin(x)k的形式，然后将tx视为一个整体，结合ysin t的图象求解跟踪训练1 已知函数f(x)5sin xcos x5cos2x(其中xR)，求：(1)函数f(x)的最小正周期；(2)函数f(x)的单调区间；(3)函数f(x)图象的对称轴和对称中心解(1)因为f(x)sin 2x(1cos 2x)55si

3、n，所以函数的最小正周期T.(2)由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，所以函数f(x)的单调递增区间为(kZ)由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，所以函数f(x)的单调递减区间为(kZ)(3)由2xk(kZ)，得x(kZ)，所以函数f(x)的对称轴方程为x(kZ)由2xk(kZ)，得x(kZ)，所以函数f(x)的对称中心为(kZ)题型二解三角形例2 ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Acos A0，a2，b2.(1)求角A和边长c；(2)设D为BC边上一点，且ADAC，求ABD的面积解(1)sin Acos A0，tan A，又0A，A，由余弦定理可得a2b

4、2c22bccos A，即284c222c，即c22c240，解得c6(舍去)或c4，故c4.(2)c2a2b22abcos C，16284222cos C，cos C，CD，CDBC，SABCABACsinBAC422，SABDSABC.思维升华 根据三角形中的已知条件，选择正弦定理或余弦定理求解；在解决有关角的范围问题时，要注意挖掘题目中隐含的条件，对结果进行正确的取舍跟踪训练2 (2017北京)在ABC中，A60，ca.(1)求sin C的值；(2)若a7，求ABC的面积解(1)在ABC中，因为A60，ca，所以由正弦定理得sin C.(2)因为a7，所以c73.由余弦定理a2b2c22

5、bccos A，得72b2322b3，解得b8或b5(舍去)所以ABC的面积Sbcsin A836.题型三三角函数和解三角形的综合应用例3如图，某机械厂欲从AB2米，AD2 米的矩形铁皮中裁剪出一个四边形ABEF加工成某仪器的零件，裁剪要求如下：点E，F分别在边BC，AD上，且EBEF，AFBE.设BEF，四边形ABEF的面积为f()(单位：平方米)(1)求f()关于的函数关系式，求出定义域；(2)当BE，AF的长为何值时，裁剪出的四边形ABEF的面积最小，并求出最小值解(1)过点F作FMBE，垂足为M.在RtFME中，MF2，EMF，FEM，所以EF，ME，故AFBMEFEM，所以f()(A

6、FBE)AB2，由题意可知，AFBE，所以，且当点E重合于点C时，EFEB2，FM2，所以函数f()的定义域为.(2)由(1)可知，f()23tan 22，当且仅当3tan 时，等号成立，又，故当tan ，即，时，四边形ABEF的面积最小，此时BE，AF，f()2.答当BE，AF的长度分别为 米， 米时，裁剪出的四边形ABEF的面积最小，最小值为2 平方米思维升华 三角函数和解三角形的综合问题要利用正弦定理、余弦定理进行转化，结合三角函数的性质，要注意角的范围对变形过程的影响跟踪训练3 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asin Bbcos Cccos B.(1)判断ABC的

7、形状；(2)若f(x)cos 2xcos x，求f(A)的取值范围解(1)因为asin Bbcos Cccos B，由正弦定理可得sin Asin Bsin Bcos Csin Ccos B.即sin Asin Bsin Ccos Bcos Csin B，所以sin(CB)sin Asin B.因为在ABC中，ABC，所以sin Asin Asin B，又sin A0，所以sin B1，B，所以ABC为直角三角形(2)因为f(x)cos 2xcos xcos2xcos x2，所以f(A)2，因为ABC是直角三角形，所以0A，且0cos A0，故A2.周期T，又T，2.f(x)2sin(2x)，

8、由题干图象知f2sin2，2k，kZ，2k，kZ，又|0)(1)求函数f(x)的值域；(2)若函数yf(x)的图象与直线y1的两个相邻交点间的距离为，求函数yf(x)的单调递增区间解(1)f(x)sin xcos xsin xcos x(cos x1)212sin1.由1sin1，得32sin11，所以函数f(x)的值域为3,1(2)由题设条件及三角函数的图象和性质可知，yf(x)的周期为，所以，即2.所以f(x)2sin1，再由2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)所以函数yf(x)的单调递增区间为(kZ)4(2016北京)在ABC中，a2c2b2ac.(1)求B的大小；(2)求cos A

9、cos C的最大值解(1)由a2c2b2ac，得a2c2b2ac.由余弦定理，得cos B.又0B，所以B.(2)ACB，所以CA,0A.所以cos Acos Ccos Acoscos Acoscos Asin sin Acos Acos Asin Asin Acos Asin.因为0A，所以A，故当A，即A时，cos Acos C取得最大值1.5.已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，且acos Casin Cbc0.(1)求A；(2)若AD为BC边上的中线，cos B，AD，求ABC的面积解(1)acos Casin Cbc0，由正弦定理得sin Acos Csin Asin

10、 Csin Bsin C，即sin Acos Csin Asin Csin(AC)sin C，亦即sin Acos Csin Asin Csin Acos Ccos Asin Csin C，则sin Asin Ccos Asin Csin C.又sin C0，所以sin Acos A1，所以sin(A30).在ABC中，0A180，则30A300)，则在ABD中，AD2AB2BD22ABBDcos B，即25x249x225x7x，解得x1(负值舍去)，所以a7，c5，故SABCacsin B10.6已知函数f(x)cos 2xsin 2xt(0)，若f(x)的图象上相邻两条对称轴的距离为，图

11、象过点(0,0)(1)求f(x)的表达式和f(x)的单调增区间；(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数yg(x)的图象，若函数F(x)g(x)k在区间上有且只有一个零点，求实数k的取值范围解(1)f(x)cos 2xsin 2xt2sint，f(x)的最小正周期为，2，f(x)的图象过点(0,0)，2sin t0，t1，即f(x)2sin1.令2k4x2k，kZ，求得x，kZ，故f(x)的单调增区间为，kZ.(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，可得y2sin12sin1的图象，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)2sin1的图象x，2x，sin，故g(x)2sin1在区间上的值域为.若函数F(x)g(x)k在区间上有且只有一个零点，由题意可知，函数g(x)2sin1的图象和直线yk有且只有一个交点，根据图象(图略)可知，k1或1k1.故实数k的取值范围是1(1，1