2020版高考数学大一轮复习 第十二章 系列4选讲 12.1第1课时 坐标系

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1、12.1坐标系与参数方程第1课时坐标系最新考纲考情考向分析1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.会求伸缩变换，求点的极坐标和应用直线、圆的极坐标方程是重点，主要与参数方程相结合进行考查，以解答题的形式考查，难度中档.1.平面直角坐标系设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：的作用下，点P(x，y)对应到点P(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.2.极坐标系(1)极坐标与极坐标系的概

2、念在平面内取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.点O称为极点，射线Ox称为极轴.平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度和从射线Ox到射线OM的角度来刻画(如图所示).这两个数组成的有序数对(，)称为点M的极坐标.称为点M的极径，称为点M的极角.一般认为0.当极角的取值范围是0,2)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(，)(0)建立一一对应的关系.我们设定，极点的极坐标中，极径0，极角可取任意角.(2)极坐标与直角坐标的互化设M为平面内的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(，).由图可知下面关系式成立：

3、或，这就是极坐标与直角坐标的互化公式.3.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆r(02)圆心为(r,0)，半径为r的圆2rcos 圆心为，半径为r的圆2rsin (0)过极点，倾斜角为的直线(R) 或(R)过点(a,0)，与极轴垂直的直线cos a过点，与极轴平行的直线sin a(00).设圆的圆心为O，ya与x2(y2)24的两交点A，B与O构成等边三角形，如图所示.由对称性知OOB30，ODa.在RtDOB中，易求DBa，B点的坐标为.又B在x2y24y0上，2a24a0，即a24a0，解得a0(舍去)或a3.所以a3.题型一极坐标与直角坐标的互化1.(1)化圆的

4、直角坐标方程x2y2r2(r0)为极坐标方程；(2)化曲线的极坐标方程8sin 为直角坐标方程.解(1)将xcos ，ysin 代入x2y2r2(r0)，得2cos22sin2r2，即r.所以以极点为圆心，r为半径的圆的极坐标方程为r(00)，点M的极坐标为(1，)(10).由题意知|OP|，|OM|1.由|OM|OP|16，得C2的极坐标方程4cos (0).因此C2的直角坐标方程为(x2)2y24(x0).(2)设点B的极坐标为(B，)(B0).由题设知|OA|2，B4cos ，于是OAB的面积S|OA|BsinAOB4cos 22.当时，S取得最大值2.所以OAB面积的最大值为2.1.在

5、极坐标系中，已知圆C被直线截得的弦长为，圆心为直线sin与极轴的交点，求圆C的极坐标方程.解由已知在直线sin中，令0，得1，圆C的圆心的极坐标为C(1,0).又圆C被直线截得的弦长为，圆心C到直线的距离为d1sin，圆C的半径为r1.又圆C过坐标原点，圆C的极坐标方程为cos ，即2cos .2.在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(为参数).以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求圆C的普通方程；(2)直线l的极坐标方程是2sin4，射线OM：与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长.解(1)圆C的参数方程为(为参数)，消去参数可得圆C的普通方程为x2(y3)

6、29.(2)化圆C的普通方程为极坐标方程得6sin ，设P(1，1)，则由解得13，1，设Q(2，2)，则由解得24，2，|PQ|21|1.3.已知直线l的参数方程为(t为参数)，在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为24cos 2sin 4.(1)求直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|OA|OB|的值.解(1)直线l的参数方程为(t为参数)，直线l的普通方程为y(x1)，即yx，直线l的极坐标方程为(R)，又曲线C的极坐标方程为24cos 2sin 4，xcos ，ysin ，x2y24x2y4，即(x2)2

7、(y)23，曲线C的直角坐标方程为(x2)2(y)23.(2)将直线l：代入曲线C的极坐标方程24cos 2sin 4，得2540，设直线l与曲线C的两交点A，B的极坐标分别为A(1，1)，B(2，2)，|OA|OB|124.4.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为其中为参数，曲线C2：x2y22y0，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l：(0)与曲线C1，C2分别交于点A，B(均异于原点O)(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；(2)当0时，求|OA|2|OB|2的取值范围.解(1)C1的普通方程为(x2)2y24，C1的极坐标方程为4cos ，C2的极坐标方程为2si

8、n .(2)联立(0)与C1的极坐标方程得|OA|216cos2，联立(0)与C2的极坐标方程得|OB|24sin2，|OA|2|OB|2412cos2，0b0，为参数)，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心在极轴上，且经过极点的圆.已知曲线C1上的点M对应的参数，射线与曲线C2交于点D.(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程；(2)若点A，B为曲线C1上的两个点且OAOB，求的值.解(1)将M及对应的参数，代入得即所以曲线C1的方程为为参数，所以曲线C1的直角坐标方程为y21.设圆C2的半径为R，由题意，圆C2的极坐标方程为2Rcos (或(xR)2y2R2)，将点D代入2Rcos ，得12Rcos ，即R1，所以曲线C2的极坐标方程为2cos ，所以曲线C2的直角坐标方程为(x1)2y21.(2)设A(1，)，B在曲线C1上，所以sin21，cos21，所以.