2020版高考数学大一轮复习 第六章 数 列 高考专题突破3第2课时 数列的综合问题
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1、第2课时数列的综合问题题型一数列与函数例1数列an的前n项和为Sn,2Snan12n11,nN,且a1,a25,19成等差数列(1)求a1的值;(2)证明为等比数列,并求数列an的通项公式;(3)设bnlog3(an2n),若对任意的nN,不等式bn(1n)n(bn2)60恒成立,试求实数的取值范围解(1)在2Snan12n11,nN中,令n1,得2S1a2221,即a22a13,又2(a25)a119,则由解得a11.(2)当n2时,由得2anan1an2n,则1,又a25,则1.数列是以为首项,为公比的等比数列,1n1,即an3n2n.(3)由(2)可知,bnlog3(an2n)n.当bn
2、(1n)n(bn2)60恒成立时,即(1)n2(12)n60(nN)恒成立设f(n)(1)n2(12)n6(nN),当1时,f(n)n60恒成立,则1满足条件;当1时,由于对称轴n0,则f(n)在1,)上单调递减,f(n)f(1)341满足条件,综上所述,实数的取值范围是1,)思维升华 数列与函数的交汇问题(1)已知函数条件,解决数列问题,此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题;(2)已知数列条件,解决函数问题,解题时要注意数列与函数的内在联系,掌握递推数列的常见解法跟踪训练1 (2018葫芦岛模拟)已知数列an满足a11,2an1an,数列bn满足bn2log2a2n1.(1)求数列a
3、n,bn的通项公式;(2)设数列bn的前n项和为Tn,求使得2Tn4n2m对任意正整数n都成立的实数m的取值范围解(1)由a11,an0,an是首项为1,公比为的等比数列,ann1.bn2log22n2n2.(2)由(1)得,Tnn23n,m2n26n对任意正整数n都成立设f(n)2n26n,f(n)2n26n22,当n1或2时,f(n)的最大值为4,m4.即m的取值范围是4,)题型二数列与不等式例2 已知数列an中,a1,其前n项的和为Sn,且满足an(n2)(1)求证:数列是等差数列;(2)证明:S1S2S3Sn1.证明(1)当n2时,SnSn1,整理得Sn1Sn2SnSn1(n2),2,
4、从而构成以2为首项,2为公差的等差数列(2)由(1)可知,(n1)22n,Sn.当n1时,Sn1,方法一当n2时,Sn,S1S2S3Sn 11.原不等式得证方法二当n2时,S1S2S3Sn,1.原命题得证思维升华 数列与不等式的交汇问题(1)函数方法:即构造函数,通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式,通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式;(2)放缩方法:数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到跟踪训练2已知数列an为等比数列,数列bn为等差数列,且b1a11,b2a1a2,a32b36.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)设cn,数列cn的前n项和为Tn
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