2020版高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 2.9 函数模型及其应用

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1、2.9函数模型及其应用最新考纲考情考向分析1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.考查根据实际问题建立函数模型解决问题的能力，常与函数图象、单调性、最值及方程、不等式交汇命题，题型以解答题为主，中高档难度.1几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb(a，b为常数，a0)反比例函数模型f(x)b(k，b为常数且k0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)指数函数模型f(x)baxc(a，

2、b，c为常数，b0，a0且a1)对数函数模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)幂函数模型f(x)axnb (a，b为常数，a0)2.三种函数模型的性质 函数性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxnax概念方法微思考请用框图概括解函数应用题的一般步骤提示解函数应用题的步骤题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)某种商品

3、进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利()(2)函数y2x的函数值比yx2的函数值大()(3)不存在x0，使x0，b1)增长速度越来越快的形象比喻()题组二教材改编2某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是()A收入最高值与收入最低值的比是31B结余最高的月份是7月C1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D前6个月的平均收入为40万元答案D解析由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是31，故A正确；由题图可知，7月份的结余最高，为802060(万元)，故B正确；由题图可知，1

4、至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确；由题图可知，前6个月的平均收入为(406030305060)45(万元)，故D错误3生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)x22x20(万元)一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为 万件答案18解析利润L(x)20xC(x)(x18)2142，当x18时，L(x)有最大值4用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为 答案3解析设隔墙的长度为x(0x0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息1

5、0分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为()答案D解析y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C.又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.3汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况下列叙述中正确的是()A消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多C甲车以80千米/时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D某城市机动车最高限速80千米/时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油答案D解析根据图

6、象所给数据，逐个验证选项根据图象知，当行驶速度大于40千米/时时，消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错；最高限速80千米/时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对思维升华 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象(2)验证法：根据实际问题中两变量的变

7、化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案题型二已知函数模型的实际问题例1 (1)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系pat2btc(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为 分钟答案3.75解析根据图表，把(t，p)的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得消去c化简得解得所以p0.2t21.5t222，所以当t3.75时，p取得最大值，即最佳加工

8、时间为3.75分钟(2)某公司招聘员工，面试对象人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y其中x代表拟录用人数，y代表面试对象人数若面试对象人数为60，则该公司的拟录用人数为()A15 B40 C25 D70答案C解析当1x10时，y40；当x100时，y150.因此所求人数x(10,100，由2x1060，得x25，故选C.思维升华 求解所给函数模型解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数(3)利用该模型求解实际问题跟踪训练1 (1)拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)1.06(0.5m1)给出，其中m0

9、，m是不超过m的最大整数(如33，3.73，3.13)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为 元答案4.24解析m6.5，m6，则f(6.5)1.06(0.561)4.24.(2)西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销在一年内，根据预算得羊皮手套的年利润L万元与广告费x万元之间的函数解析式为L(x0)，则当年广告费投入_万元时，该公司的年利润最大答案4解析24(x0)，当且仅当x4时，min4，当x4时，Lmax4(万元)题型三构建函数模型的实际问题命题点1构造一次函数、二次函数模型例2 (1)某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)之间的关系由如

10、图所示的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为 kg.答案19解析由图象可求得一次函数的解析式为y30x570，令30x5700，解得x19.(2)在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()x1.992345.156.126y1.5174.041 87.51218.01A.y2x2 By(x21)Cylog2x Dy答案B解析由题中表可知函数在(0，)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大的越来越快，分析选项可知B符合，故选B.命题点2构造指数函数、对数函数模型例3 一片森林原来面积为a，计

11、划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？解(1)设每年降低的百分比为x(0x0)型函数例4 (1)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为 答案5解析根据图象求得y(x6)211，年平均利润12，x10，当且仅当x5时等号成立要使平均利润最大，客车营运年数为5.(2

12、)某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9 平方米，且高度不低于 米记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x 米答案2解析由题意可得BC(2x6)，y2 6.当且仅当(2x6)，即x2时等号成立命题点4构造分段函数模型例5 已知某公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元设该公司一年内共生产该款手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R(x)万美元，且R(x)

13、(1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万只)的函数解析式；(2)当年产量为多少万只时，该公司在该款手机的生产中所获得的年利润最大？并求出最大年利润解(1)当040时，WxR(x)(16x40)16x7 360.所以W(2)当040时，W16x7 360，由于16x2 1 600，当且仅当16x，即x50(40，)时，取等号，所以W取最大值5 760.综合，当年产量为32万只时，W取最大值6 104万美元思维升华 构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制跟踪训练2 (1)某化工

14、厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，至少应过滤 次才能达到市场要求(参考数据：lg 20.301 0，lg 30.477 1)答案8解析设至少过滤n次才能达到市场要求，则2%n0.1%，即n，所以nlg 1lg 2，所以n7.39，所以n8.(2)大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为20 000元，每天需要房租、水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益R(元)与门面经营天数x的关系是R(x)则当总利润最大时，该门面经营的天数是 答案300解析由题意，总利润y当0x400时，y(

15、x300)225 000，所以当x300时，ymax25 000；当x400时，y60 000100x280)，则有(p0.25)%，解得x320.故该公司的年收入为320万元5某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入若该民企2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)()A2017年 B2018年 C2019年 D2020年答案D解析设从2016年起，过了n(nN)年该民企全年投入的研发资金超过200万元，则130(

16、112%)n200，则n3.8，由题意取n4，则n2 0162 020.故选D.6某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y14.1x0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y22x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是()A10.5万元 B11万元C43万元 D43.025万元答案C解析设公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16x)辆，所以可得利润y4.1x0.1x22(16x)0.1x22.1x320.120.110.5232.因为x0,16且xN，所以当x10或11时，

17、总利润取得最大值43万元7某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为yekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k_，经过5小时，1个病毒能繁殖为_个答案2ln 21 024解析当t0.5时，y2，2， k2ln 2，ye2tln 2，当t5时，ye10ln 22101 024.8.(2018湖北八校联考)某人根据经验绘制了2018年春节前后，从12月21日至1月7日自己种植的西红柿的销售量y(千克)随时间x(天)变化的函数图象，如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿 千克答案解析前10天满足一次函数关系，设为ykxb(k0)，将点(1,10)和点

18、(10,30)代入函数解析式得解得k，b，所以yx，则当x6时，y.9.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为 m.答案20解析设内接矩形另一边长为y m，则由相似三角形性质可得，解得y40x，所以面积Sx(40x)x240x(x20)2400(0x40)，所以当x20时，Smax400.10“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的已知某品牌商品广告销售的收入R与广告费A之间满足关系Ra(a为常数)，广告效应为DaA.那么精明的商人为了取得最大的广告效应，投入的广告费应为 (用常数a表示)答案a2解析令t(t0)，则At2，

19、Datt22a2，当ta，即Aa2时，D取得最大值11某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以v km/h的速度直达灾区，已知某市到灾区公路线长400 km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于2 km，那么这批物资全部到达灾区的最少时间是 h(车身长度不计)答案12解析设全部物资到达灾区所需时间为t h，由题意可知，t相当于最后一辆车行驶了 km所用的时间，因此，t12，当且仅当，即v时取“”故这些汽车以 km/h的速度匀速行驶时，所需时间最少，最少时间为12 h.12某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到(150.1x)万套

20、现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润售价供货价格，问：(1)每套丛书售价定为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？(2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？解(1)每套丛书售价定为100元时，销售量为150.11005(万套)，此时每套供货价格为3032(元)，书商所获得的总利润为5(10032)340(万元)(2)每套丛书售价定为x元时，由解得0x150.依题意，单套丛书利润Pxx30，所以P1

21、20.因为0x0，则(150x)2 21020，当且仅当150x，即x140时等号成立，此时，Pmax20120100.所以每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，最大值为100元13一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v的平方成正比，且比例系数为k，除燃料费外其他费用为每小时96元当速度为10海里/时时，每小时的燃料费是6元若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为 海里/时时，总费用最小答案40解析设每小时的总费用为y元，则ykv296，又当v10时，k1026，解得k0.06，所以每小时的总费用y0.06v296，匀速行驶10海里所用的时间为 小时，故总费用为Wy(0.06v

22、296)0.6v248，当且仅当0.6v，即v40时等号成立故总费用最小时轮船的速度为40海里/时14商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b(ba)以及实数x(0x1)确定实际销售价格cax(ba)这里，x被称为乐观系数经验表明，最佳乐观系数x恰好使得(ca)是(bc)和(ba)的等比中项据此可得，最佳乐观系数x .答案解析由题意得x，(ca)2(bc)(ba)，bc(ba)(ca)，(ca)2(ba)2(ba)(ca)，两边同除以(ba)2，得x2x10，解得x.0x1，x.15物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度

23、是T0，经过一定时间t(单位：min)后的温度是T，则TTa(T0Ta)，其中Ta称为环境温度，h称为半衰期现有一杯用85 热水冲的速溶咖啡，放在21 的房间中，如果咖啡降到37 需要16 min，那么这杯咖啡要从37 降到29 ，还需要 min.答案8解析由题意知Ta21 .令T085 ，T37 ，得3721(8521)，h8.令T037 ，T29 ，则2921(3721)，t8.16.某禁毒机构测定，某种毒品服用后每毫升血液中的含毒量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线(1)写出服用毒品后y与t之间的函数关系式；(2)据进一步测定，每毫升血液中含毒量不少于0.50微克时会有重度躁动状态，求服用毒品后重度躁动状态的持续时间解(1)由题中图象，设y当t1时，由y4，得k4；由1a4，得a3.所以y(2)由y0.50，得或解得t4，因此服用毒品后重度躁动状态持续4(小时)