2020版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.7 抛物线

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1、9.7抛物线最新考纲考情考向分析1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.抛物线的方程、几何性质及与抛物线相关的综合问题是命题的热点.题型既有小巧灵活的选择、填空题，又有综合性较强的解答题.1.抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.2.抛物线的标准方程与几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点坐标O(0,0)对称轴x轴y

2、轴焦点坐标FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下概念方法微思考1.若抛物线定义中定点F在定直线l上时，动点的轨迹是什么图形？提示过点F且与l垂直的直线.2.直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的什么条件？提示直线与抛物线的对称轴平行时，只有一个交点，但不是相切，所以直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.()(2)方程yax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其

3、焦点坐标是，准线方程是x.()(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.()(4)AB为抛物线y22px(p0)的过焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1y2p2，弦长|AB|x1x2p.()(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x22ay(a0)的通径长为2a.()题组二教材改编2.过抛物线y24x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1x26，则|PQ|等于()A.9 B.8 C.7 D.6答案B解析抛物线y24x的焦点为F(1,0)，准线方程为x1.根据题意可得，|PQ|P

4、F|QF|x11x21x1x228.3.若抛物线y24x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x4y70的距离之和的最小值是()A.2 B. C. D.3答案A解析由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y24x及直线方程3x4y70可得直线与抛物线相离.点P到准线l的距离与点P到直线3x4y70的距离之和的最小值为点F(1,0)到直线3x4y70的距离，即2.故选A.4.已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(2，4)，则该抛物线的标准方程为_.答案y28x或x2y解析设抛物线方程为y2mx(m0)或x2my(m0).将P(2

5、，4)代入，分别得方程为y28x或x2y.题组三易错自纠5.设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()A.4 B.6C.8 D.12答案B解析如图所示，抛物线的准线l的方程为x2，F是抛物线的焦点，过点P作PAy轴，垂足是A，延长PA交直线l于点B，则|AB|2.由于点P到y轴的距离为4，则点P到准线l的距离|PB|426，所以点P到焦点的距离|PF|PB|6.故选B.6.已知抛物线C与双曲线x2y21有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是()A.y22x B.y22xC.y24x D.y24x答案D解析由已知可知双曲线的焦点为(，0)，(，0).设抛物

6、线方程为y22px(p0)，则，所以p2，所以抛物线方程为y24x.故选D.7.设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是_.答案1,1解析Q(2,0)，当直线l的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l的方程为yk(x2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2(4k28)x4k20，由(4k28)24k24k264(1k2)0，解得1k1.题型一抛物线的定义和标准方程命题点1定义及应用例1 设P是抛物线y24x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|PF|的最小值为_.答案4解析如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q

7、|P1F|.则有|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4，即|PB|PF|的最小值为4.引申探究1.若将本例中的B点坐标改为(3,4)，试求|PB|PF|的最小值.解由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部.|PB|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，F(1,0)，|PB|PF|BF|2，即|PB|PF|的最小值为2.2.若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y24x，直线l的方程为xy50，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1d2的最小值.解由题意知，抛物线的焦点为F(1,0).点P到y轴的距离d1|PF|1，所以d1d2d2|PF|1.易知d2|PF|的最小值

8、为点F到直线l的距离，故d2|PF|的最小值为3，所以d1d2的最小值为31.命题点2求标准方程例2设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点M在C上，|MF|5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的标准方程为()A.y24x或y28x B.y22x或y28xC.y24x或y216x D.y22x或y216x答案C解析由题意知，F，抛物线的准线方程为x，则由抛物线的定义知，xM5，设以MF为直径的圆的圆心为，所以圆的方程为22，又因为圆过点(0,2)，所以yM4，又因为点M在C上，所以162p，解得p2或p8，所以抛物线C的标准方程为y24x或y216x，故选C.思维升华 (1)与抛物线

9、有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径.(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.跟踪训练1 (1)如果P1，P2，Pn是抛物线C：y24x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，xn，F是抛物线C的焦点，若x1x2xn10，则|P1F|P2F|PnF|等于()A.n10 B.n20C.2n10 D.2n20答案A解析抛物线的焦点为(1,0)，准线方程为x1，由抛物线的定义，可知|P1F|x11，|P2

10、F|x21，故|P1F|P2F|PnF|n10.(2)如图所示，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线的标准方程为()A.y2x B.y29xC.y2x D.y23x答案D解析分别过点A，B作AA1l，BB1l，且垂足分别为A1，B1，由已知条件|BC|2|BF|，得|BC|2|BB1|，所以BCB130.又|AA1|AF|3，所以|AC|2|AA1|6，所以|CF|AC|AF|633，所以F为线段AC的中点.故点F到准线的距离为p|AA1|，故抛物线的标准方程为y23x.题型二抛物线的几何性质例3 (1)过

11、抛物线y24x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，若|AF|3，则AOB的面积为()A. B. C. D.2答案C解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)(y10，y20)，则焦点坐标为，将x代入y22px可得y2p2，|AB|12，即2p12，所以p6.因为点P在准线上，所以点P到AB的距离为p6，所以PAB的面积为61236.题型三直线与抛物线例4 设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F在y轴正半轴上，过点F的直线交抛物线于A，B两点，线段AB的长是8，AB的中点到x轴的距离是3.(1)求抛物线的标准方程；(2)设直线m在y轴上的截距为6，且与抛物线交于P，Q两点.连接QF并延长

12、交抛物线的准线于点R，当直线PR恰与抛物线相切时，求直线m的方程.解(1)设抛物线的方程是x22py(p0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义可知y1y2p8，又AB的中点到x轴的距离为3，y1y26，p2，抛物线的标准方程是x24y.(2)由题意知，直线m的斜率存在，设直线m：ykx6(k0)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，由消去y得x24kx240， (*)易知抛物线在点P处的切线方程为y(xx3)，令y1，得 x，R，又Q，F，R三点共线，kQFkFR，又F(0,1)，即(x4)(x4)16x3x40，整理得(x3x4)24(x3x4)22x3x41616x3x40

13、，将(*)式代入上式得k2，k，直线m的方程为yx6.思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点(设焦点在x轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.(4)设AB是过抛物线y22px(p0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1y2p2

14、.弦长|AB|x1x2p(为弦AB的倾斜角).以弦AB为直径的圆与准线相切.通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦.跟踪训练3 (2018抚顺调研)已知抛物线C：x22py(p0)和定点M(0,1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线交点为N.(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；(2)若ABN面积的最小值为4，求抛物线C的方程.解(1)可设AB：ykx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将AB的方程代入抛物线C，得x22pkx2p0，4p2k28p0，显然方程有两不等实根，则x1x22pk，x1x22p.由x22py得y，则A，B

15、处的切线斜率乘积为1，则有p2.(2)设切线AN为yxb，又切点A在抛物线y上，y1，b，yANx.同理yBNx.又N在yAN和yBN上，解得N.N(pk，1).|AB|x2x1|，点N到直线AB的距离d，SABN|AB|d2，24，p2，故抛物线C的方程为x24y.直线与圆锥曲线问题的求解策略例 (12分)已知抛物线C：ymx2(m0)，焦点为F，直线2xy20交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.(1)求抛物线C的焦点坐标；(2)若抛物线C上有一点R(xR,2)到焦点F的距离为3，求此时m的值；(3)是否存在实数m，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角

16、形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.规范解答解(1)抛物线C：x2y，它的焦点为F. 2分(2)|RF|yR，23，得m. 4分(3)存在，联立方程消去y得mx22x20(m0)，依题意，有(2)24m(2)8m40恒成立，方程必有两个不等实根. 6分设A(x1，mx)，B(x2，mx)，则 (*)P是线段AB的中点，P，即P，Q， 8分得，.若存在实数m，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，则0，即0， 10分结合(*)式化简得40，即2m23m20，m2或m，m0，m2.存在实数m2，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形.12分解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤第一步：联立

17、方程，得关于x或y的一元二次方程；第二步：写出根与系数的关系，并求出0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)；第三步：根据题目要求列出关于x1x2，x1x2(或y1y2，y1y2)的关系式，求得结果；第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况.1.点M(5,3)到抛物线yax2(a0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是()A.y12x2 B.y12x2或y36x2C.y36x2 D.yx2或yx2答案D解析分两类a0，a0)的焦点，且与该抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线的方程是()A.y212x B.y28xC.y26x D.y24x答案B解析设A(

18、x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的定义可知|AB|(x1x2)p8.又AB的中点到y轴的距离为2，2，x1x24，p4，所求抛物线的方程为y28x.故选B.3.(2018辽宁五校联考)抛物线x24y的焦点为F，过点F作斜率为的直线l与抛物线在y轴右侧的部分相交于点A，过点A作抛物线准线的垂线，垂足为H，则AHF的面积是()A.4 B.3 C.4 D.8答案C解析由抛物线的定义可得|AF|AH|，AF的斜率为，AF的倾斜角为30，AH垂直于准线，FAH60，故AHF为等边三角形.设A，m0，过F作FMAH于M，则在FAM中，|AM|AF|，1，解得m2，故等边三角形AHF的边长|AH|

19、4，AHF的面积是44sin 604.故选C.4.抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，M是抛物线C上的点，若OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36，则p等于()A.2 B.4 C.6 D.8答案D解析OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径.圆的面积为36，圆的半径为6.又圆心在OF的垂直平分线上，|OF|，6，p8.故选D.5.(2018盘锦模拟)过抛物线y22px(p0)的焦点F且倾斜角为120的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A，B两点，则的值等于()A. B. C. D.答案A解析记抛物线y22px的准线为l，如图，作AA

20、1l，BB1l，ACBB1，垂足分别是A1，B1，C，则cosABB1，即cos 60，由此得.6.已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若12，则抛物线C的方程为()A.x28y B.x24yC.y28x D.y24x答案C解析由题意，设抛物线方程为y22px(p0)，直线方程为xmy，联立消去x得y22pmyp20，显然方程有两个不等实根.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y22pm，y1y2p2，得x1x2y1y2y1y2m2y1y2(y1y2)y1y2p212，得p4(舍负)，即抛物线C的方程为y28x.7.动点P到点A(

21、0,2)的距离比它到直线l：y4的距离小2，则动点P的轨迹方程为_.答案x28y解析动点P到点A(0,2)的距离比它到直线l：y4的距离小2，动点P到点A(0,2)的距离与它到直线y2的距离相等.根据抛物线的定义可得点P的轨迹为以A(0,2)为焦点，以直线y2为准线的抛物线，其标准方程为x28y.8.(2018呼伦贝尔质检)已知F是抛物线y24x的焦点，A，B是抛物线上两点，若AFB是等边三角形，则AFB的边长为_.答案84或84解析由题意可知点A，B一定关于x轴对称，且AF，BF与x轴夹角均为30，由于y24x的焦点为(1,0)，由化简得y24y40，解得y124，y224，所以AFB的边长

22、为84或84.9.已知直线l：ykxt与圆：x2(y1)21相切，且与抛物线C：x24y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是_.答案t0或t0，得t0或t0，得t0或t0或t0)的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AF|2|BF|6，则p_.答案4解析设AB的方程为xmy，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x2，将直线AB的方程代入抛物线方程得y22pmyp20，所以y1y2p2，4x1x2p2.设抛物线的准线为l，过A作ACl，垂足为C，过B作BDl，垂足为D，因为|AF|2|BF|6，根据抛物线的定义知，|AF|AC|x16，|BF|BD|x23，所以x1x23，x1x2

23、9p，所以(x1x2)2(x1x2)24x1x2p2，即18p720，解得p4.11.已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10，方程必有两个不等实根.所以x1x2，由抛物线定义得|AB|x1x2pp9，所以p4，从而抛物线方程为y28x.12.(2018包头模拟)过抛物线C：y24x的焦点F且斜率为k的直线l交抛物线C于A，B两点，且|AB|8.(1)求l的方程；(2)若A关于x轴的对称点为D，求证：直线BD过定点，并求出该点的坐标.解(1)易知点F的坐标为(1,0)，则直线l的方程为yk(x1)，代入抛物线方程y24x得k2x2

24、(2k24)xk20，由题意知k0，且(2k24)24k2k216(k21)0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2，x1x21，由抛物线定义知|AB|x1x228，6，k21，即k1，直线l的方程为y(x1).(2)由抛物线的对称性知，D点的坐标为(x1，y1)，直线BD的斜率kBD，直线BD的方程为yy1(xx1)，即(y2y1)yy2y1y4x4x1，y4x1，y4x2，x1x21，(y1y2)216x1x216，即y1y24(y1，y2异号)，直线BD的方程为4(x1)(y1y2)y0，恒过点(1,0).13.如图所示，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A，

25、B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|4，则线段AB的长为()A.5 B.6C. D.答案C解析方法一如图所示，设l与x轴交于点M，过点A作ADl并交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|AF|4，由F是AC的中点，知|AF|2|MF|2p，所以2p4，解得p2，所以抛物线的方程为y24x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|x1x114，所以x13，解得y12，所以A(3,2)，又F(1,0)，所以直线AF的斜率k，所以直线AF的方程为y(x1)，代入抛物线方程y24x得，3x210x30，所以x1x2，|AB|x1x2p.故选C.方法二如图所示，设l与x轴交于点M，过

26、点A作ADl并交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|AF|4，由F是AC的中点，知|AF|2|MF|2p，所以2p4，解得p2，所以抛物线的方程为y24x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|x1x114，所以x13，又x1x21，所以x2，所以|AB|x1x2p.故选C.方法三如图所示，设l与x轴交于点M，过点A作ADl并交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|AF|4，由F是AC的中点，知|AF|2|MF|2p，所以2p4，解得p2，所以抛物线的方程为y24x.因为，|AF|4，所以|BF|，所以|AB|AF|BF|4.故选C.14.过点(0,3)的直线与抛物线y24x交于A，B

27、两点，线段AB的垂直平分线经过点(4,0)，F为抛物线的焦点，则|AF|BF|的值为_.答案6解析设AB的中点为H，抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x1，设A，B，H在准线上的射影为A，B，H，则|HH|(|AA|BB|)，由抛物线的定义可得，|AF|AA|，|BF|BB|，|AF|BF|AA|BB|2|HH|.由题意知直线的斜率必存在，设为ykx3，与y24x联立得k2x2(6k4)x90，(6k4)236k20，计算得出k0)相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是_.答案(2,4)解析如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则两式相减得，(y1y2)(y1y2)4(x1x2).当l的斜率k不存在时，符合条件的直线l必有两条.当k存在时，x1x2，则有2，又y1y22y0，所以y0k2.由CMAB，得k1，即y0k5x0，因此25x0，x03，即M必在直线x3上.将x3代入y24x，得y212，则有2y02，因为点M在圆上，所以(x05)2yr2，故r2y44(为保证有4条，在k存在时，y00)，所以4r216，即2r4.