2020版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形4.7 解三角形的实际应用

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1、4.7解三角形的实际应用最新考纲考情考向分析能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.以利用正弦定理、余弦定理测量距离、高度、角度等实际问题为主，常与三角恒等变换、三角函数的性质结合考查，加强数学知识的应用性题型主要为选择题和填空题，中档难度.实际测量中的常见问题求AB图形需要测量的元素解法求竖直高度底部可达ACB，BCa解直角三角形ABatan 底部不可达ACB，ADB，CDa解两个直角三角形AB求水平距离山两侧ACB，ACb，BCa用余弦定理AB河两岸ACB，ABC，CBa用正弦定理AB河对岸ADC，BDC，BCD，ACD，CDa在ADC中，AC；在BD

2、C中，BC；在ABC中，应用余弦定理求AB概念方法微思考在实际测量问题中有哪几种常见类型，解决这些问题的基本思想是什么？提示实际测量中有高度、距离、角度等问题，基本思想是根据已知条件，构造三角形(建模)，利用正弦定理、余弦定理解决问题题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系为180.()(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.()(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系()(4)方位角大小的范围是0,2)，方向角大小的范围一般是.()题组二教材改编2.如图所示，设A，B两点在河

3、的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出A，C的距离为50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算出A，B两点的距离为_ m.答案50解析由正弦定理得，又B30，AB50(m)3如图，在山脚A测得山顶P的仰角为30，沿倾斜角为15的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为60，则山高h_米答案a解析由题图可得PAQ30，BAQ15，在PAB中，PAB15，又PBC60，BPA30，在PAB中，PBa，PQPCCQPBsin asin asin 60asin 15a.题组三易错自纠4要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45，在D点测得塔顶A的仰角30

4、，并测得水平面上的BCD120，CD40 m，则电视塔的高度为()A10 m B20 mC20 m D40 m答案D解析设电视塔的高度为x m，则BCx，BDx.在BCD中，由余弦定理得3x2x2402240xcos 120，即x220x8000，解得x20(舍去)或x40.故电视塔的高度为40 m.5在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60，C点的俯角是70，则BAC_.答案130解析6070130.6海上有A，B，C三个小岛，A，B相距5 海里，从A岛望C和B成45视角，从B岛望C和A成75视角，则B，C两岛间的距离是_海里答案5解析由题意可知ACB60，由正弦定理得，即，

5、得BC5.题型一测量距离问题1(2018营口检测)江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45和60，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距_m.答案10解析如图，OMAOtan 4530(m)，ONAOtan 303010(m)，在MON中，由余弦定理得MN10 (m)2.如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，若测得CD km，ADBCDB30，ACD60，ACB45，则A，B两点间的距离为_ km.答案解析ADCADBCDB60，ACD60，DAC60，ACDC

6、km.在BCD中，DBC45，由正弦定理，得BCsinBDCsin 30(km)在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcos 452.AB km.A，B两点间的距离为 km.3如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得PAB90，PAQPBAPBQ60，则P，Q两点间的距离为_ m.答案900解析由已知，得QABPABPAQ30.又PBAPBQ60，AQB30，ABBQ.又PB为公共边，PABPQB，PQPA.在RtPAB中，APABtan 60900，故PQ900，P，Q两点间的

7、距离为900 m.思维升华 求距离问题的两个策略(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理题型二测量高度问题例1 (2018赤峰测试)如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30，45，且BAC135，若山高AD100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度约为_ m/s.(精确到0.1，参考数据：1.414，2.236)答案22.6解析因为小明在A处测得

8、公路上B，C两点的俯角分别为30，45，所以BAD60，CAD45，设这辆汽车的速度为v m/s，则BC14v，在RtADB中，AB200.在RtADC中，AC100.在ABC中，由余弦定理，得BC2AC2AB22ACABcosBAC，所以(14v)2(100)220022100200cos 135，所以v22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.思维升华 (1)高度也是两点之间的距离，其解法同测量水平面上两点间距离的方法是类似的，基本思想是把要求的高度(某线段的长度)纳入到一个可解的三角形中(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图

9、形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错跟踪训练1 如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为，在塔底C处测得A处的俯角为.已知铁塔BC部分的高为h，则山高CD_.答案解析由已知得BCA90，ABC90，BAC，CAD.在ABC中，由正弦定理得，即，AC.在RtACD中，CDACsinCADACsin .故山高CD为.题型三角度问题例2 如图所示，一艘巡逻船由南向北行驶，在A处测得山顶P在北偏东15(BAC15)的方向，匀速向北航行20分钟后到达B处，测得山顶P位于北偏东60的方向，此时测得山顶P的仰角为60，已知山高为2 千米(1)船的航行速度是每小时多少千米？(2)若该船继

10、续航行10分钟到达D处，问此时山顶位于D处南偏东多少度的方向？解(1)在BCP中，由tanPBC，得BC2，在ABC中，由正弦定理得，即，所以AB2(1)，故船的航行速度是每小时6(1)千米(2)在BCD中，BD1，BC2，CBD60，则由余弦定理得CD，在BCD中，由正弦定理得，即，所以sinCDB，所以，山顶位于D处南偏东45的方向思维升华 解决测量角度问题的注意事项(1)首先应明确方位角和方向角的含义(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用跟踪训练2 如图所示，已知

11、两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40的方向上，灯塔B在观察站C的南偏东60的方向上，则灯塔A在灯塔B的_的方向上答案北偏西10解析由已知得ACB180406080，又ACBC，AABC50，605010，灯塔A位于灯塔B的北偏西10的方向上1(2018沈阳调研)已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得ABC120，则A，C两地间的距离为()A10 km B10 kmC10 km D10 km答案D解析如图所示，由余弦定理可得AC210040021020cos 120700，AC10.2.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一

12、建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45，若CD50 m，山坡对于地平面的坡度为，则cos 等于()A. B. C.1 D.1答案C解析在ABC中，由正弦定理得，AC100.在ADC中，cos sin(90)1.3一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是()A10 海里 B10 海里C20 海里 D20 海里答案A解析如图所示，易知，在ABC中，AB20，CAB30，AC

13、B45，根据正弦定理得，解得BC10.4.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()A30 B45 C60 D75答案B解析依题意可得AD20，AC30，又CD50，所以在ACD中，由余弦定理得cosCAD，又0CAD180，所以CAD45，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45.5(2018呼和浩特质检)如图所示，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得BCD15，BDC30，CD30，并在点C测得塔顶A的仰角为60，则塔高AB等于()A5 B15C5 D15答案D解析在B

14、CD中，CBD1801530135.由正弦定理得，所以BC15.在RtABC中，ABBCtanACB1515.故选D.6(2018丹东模拟)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于()A240(1)m B180(1)mC120(1)m D30(1)m答案C解析如图，ACD30，ABD75，AD60 m，在RtACD中，CD60(m)，在RtABD中，BD60(2)m，BCCDBD6060(2)120(1)m.7(2018乌海模拟)如图，某工程中要将一长为100 m，倾斜角为75的斜坡改造成倾斜角为30的斜坡，并保持坡高不变

15、，则坡底需加长_m.答案100解析设坡底需加长x m，由正弦定理得，解得x100.8.如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援，则cos 的值为_答案解析在ABC中，AB40，AC20，BAC120，由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcos 1202 800，得BC20.由正弦定理，得，即sinACBsinBAC.由BAC120，知ACB为锐角，则cosACB.由ACB30，得cos cos(ACB30)cosACBcos 30s

16、inACBsin 30.9(2018阜新模拟)一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60，另一灯塔在船的南偏西75，则这艘船的速度是每小时_海里答案10解析如图所示，依题意有BAC60，BAD75，所以CADCDA15，从而CDCA10，在RtABC中，得AB5，于是这艘船的速度是10(海里/时)10(2018盘锦质检)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟若此人步行的速度为每分钟50

17、米，则该扇形的半径为_米答案50解析如图，连接OC，在OCD中，OD100，CD150，CDO60.由余弦定理得OC2100215022100150cos 6017 500，解得OC50.11.如图，在山底A点处测得山顶仰角CAB45，沿倾斜角为30的斜坡走1 000米至S点，又测得山顶仰角DSB75，则山高BC为_米答案1 000解析由题图知BAS453015，ABS45(90DSB)30，ASB135，在ABS中，由正弦定理可得，AB1 000，BC1 000.12.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，

18、若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上(1)求渔船甲的速度；(2)求sin 的值解(1)依题意知，BAC120，AB12，AC10220，BCA.在ABC中，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosBAC12220221220cos 120784，解得BC28.所以渔船甲的速度为14(海里/时)(2)在ABC中，因为AB12，BAC120，BC28，BCA，由正弦定理，得，即sin .13.如图，在水平地面上有两座直立的相距60 m的铁塔AA1和BB1.已知从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍，从两塔底部连线中点C分

19、别看两塔顶部的仰角互为余角，则从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的正切值为_；塔BB1的高为_ m.答案45解析设从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角为，则AA160tan ，BB160tan 2.从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角，A1ACCBB1，AA1BB1900，3 600tan tan 2900，tan ，tan 2，则BB160tan 245.14.如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45方向600 km处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为_h.答案15解析记现在

20、热带风暴中心的位置为点A，t小时后热带风暴中心到达B点位置，在OAB中，OA600，AB20t，OAB45，根据余弦定理得OB26002400t2260020t，令OB24502，即4t2120t1 5750，解得t，所以该码头将受到热带风暴影响的时间为15(h)15.某舰艇在A处测得一艘遇险渔船在其北偏东40的方向距离A处10海里的C处，此时得知，该渔船正沿南偏东80的方向以每小时9海里的速度向一小岛靠近，若舰艇的时速为21海里，则舰艇追上渔船的最短时间是_小时.答案解析如图所示，设舰艇追上渔船的最短时间是t小时，经过t小时渔船到达B处，则舰艇也在此时到达B处.在ABC中，ACB408012

21、0，CA10，CB9t，AB21t，由余弦定理得(21t)2102(9t)22109tcos 120，即36t29t100，解得t或t(舍).16.如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C，现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量得cos A，sin B.(1)问乙出发多少 min后，乙在缆车上与甲的距离最短？(

22、2)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在什么范围内？解(1)cos A，sin B，sin A，cos B，sin Csin(AB)，在ABC中，由正弦定理，得AB1 040 m，设乙出发t min后，甲、乙距离为d，由余弦定理得d2(130t)2(10050t)22130t(10050t)，即d2200(37t270t50)200.0t，即0t8，当t时，即乙出发 min后，乙在缆车上与甲的距离最短(2)sin A，由正弦定理，得，即，BC500 m.乙从B出发时，甲已经走了50(281)550(m)，还需走710 m才能到达C.设乙的步行速度为v m/min，则3，故33，解得v.故为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在范围内.