2020版高考数学大一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

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1、1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词最新考纲考情考向分析1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义2.理解全称量词和存在量词的意义3.能正确地对含一个量词的命题进行否定.逻辑联结词和含有一个量词的命题的否定是高考的重点；命题的真假判断常以函数、不等式为载体，考查学生的推理判断能力，题型为选择、填空题，低档难度.1简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断pqp且qp或q非p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全称量词和存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“”表示(2)存在量词：短语

2、“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“”表示3全称命题、存在性命题及含一个量词的命题的否定命题名称语言表示符号表示命题的否定全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立xM，p(x)xM，p(x)存在性命题存在M中的一个x，使p(x)成立xM，p(x)xM，p(x)概念方法微思考含有逻辑联结词的命题的真假有什么规律？提示pq：一真即真；pq：一假即假；p，p：真假相反题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)命题“32”是真命题()(2)命题p和p不可能都是真命题()(3)“全等三角形的面积相等”是存在性命题()(4)命题(pq)是假命题，则命题p

3、，q都是真命题()题组二教材改编2已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题p，q，pq，pq中真命题的个数为()A1 B2 C3 D4答案B解析p和q显然都是真命题，所以p，q都是假命题，pq，pq都是真命题3命题“正方形都是矩形”的否定是_答案存在一个正方形，这个正方形不是矩形题组三易错自纠4已知命题p，q，“p为真”是“pq为假”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析由p为真知，p为假，可得pq为假；反之，若pq为假，则可能是p真q假，从而p为假，故“p为真”是“pq为假”的充分不必要条件，故选A.5(2018大连质检)命题“xR，x2x10”的

4、否定是()AxR，x2x10BxR，x2x10CxR，x2x10DxR，x2x10答案A6若“x，tan xm”是真命题，则实数m的最小值为_答案1解析函数ytan x在上是增函数，ymaxtan 1.依题意知，mymax，即m1.m的最小值为1.题型一含有逻辑联结词的命题的真假判断1命题p：若sin xsin y，则xy；命题q：x2y22xy.下列命题为假命题的是()Ap或q Bp且q Cq Dp答案B解析取x，y，可知命题p是假命题；由(xy)20恒成立，可知命题q是真命题，故p为真命题，p或q是真命题，p且q是假命题2已知命题p：xR，x2x10；命题q：若a2b2，则ab.下列命题为

5、真命题的是()Apq Bp(q)C(p)q D(p)(q)答案B解析一元二次方程x2x10的判别式(1)24110恒成立，p为真命题，p为假命题当a1，b2时，(1)22，q为假命题，q为真命题根据真值表可知p(q)为真命题，pq，(p)q，(p)(q)为假命题故选B.3已知命题p：xR，使sin x；命题q：xR，都有x2x10.给出下列结论：命题“pq”是真命题；命题“p(q)”是假命题；命题“(p)q”是真命题；命题“(p)(q)”是假命题，其中正确的是_(把所有正确结论的序号都填上)答案解析因为对任意实数x，|sin x|1，而1，所以p为假；因为x2x10的判别式0，所以q为真故正确

6、思维升华 “pq”“pq”“p”等形式命题真假的判断步骤(1)确定命题的构成形式；(2)判断其中命题p，q的真假；(3)确定“pq”“pq”“p”等形式命题的真假题型二含有一个量词的命题命题点1全称命题、存在性命题的真假例1 (1)(2018沈阳模拟)下列四个命题中真命题是()AnR，n2nBnR，mR，mnmCnR，mR，m2nDnR，n20 BxN，(x1)20CxR，lg x0CxR，exx10DxR，exx10答案C解析根据全称命题与存在性命题的否定关系，可得p为“xR，exx10”，故选C.(2)(2018福州质检)已知命题p：x1，x2R，f(x2)f(x1)(x2x1)0，则p是

7、()Ax1，x2R，f(x2)f(x1)(x2x1)0Bx1，x2R，f(x2)f(x1)(x2x1)0Cx1，x2R，f(x2)f(x1)(x2x1)0Dx1，x2R，f(x2)f(x1)(x2x1)0答案C解析已知全称命题p：x1，x2R，f(x2)f(x1)(x2x1)0，则p：x1，x2R，f(x2)f(x1)(x2x1)0 DxR，2x0答案C解析因为log210，cos 01，所以选项A，B均为真命题，020，选项C为假命题，2x0，选项D为真命题，故选C.(2)已知命题p：xR，log2(3x1)0，则()Ap是假命题；p：xR，log2(3x1)0Bp是假命题；p：xR，log

8、2(3x1)0Cp是真命题；p：xR，log2(3x1)0Dp是真命题；p：xR，log2(3x1)0答案B解析因为3x0，所以3x11，则log2(3x1)0，所以p是假命题；p：xR，log2(3x1)0.故选B.题型三命题中参数的取值范围例3 (1)(2018包头质检)已知命题p：“x0,1，aex”；命题q：“xR，使得x24xa0”若命题“pq”是真命题，则实数a的取值范围为_答案e,4解析若命题“pq”是真命题，那么命题p，q都是真命题由x0,1，aex，得ae；由xR，使x24xa0，得164a0，则a4，因此ea4.则实数a的取值范围为e,4(2)已知f(x)ln(x21)，g

9、(x)xm，若对x10,3，x21,2，使得f(x1)g(x2)，则实数m的取值范围是_答案解析当x0,3时，f(x)minf(0)0，当x1,2时，g(x)ming(2)m，由f(x)ming(x)min，得0m，所以m.引申探究本例(2)中，若将“x21,2”改为“x21,2”，其他条件不变，则实数m的取值范围是_答案解析当x1,2时，g(x)maxg(1)m，由f(x)ming(x)max，得0m，m.思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)

10、解决跟踪训练2 (1)已知命题“xR，x25xa0”的否定为假命题，则实数a的取值范围是_答案解析由“xR，x25xa0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x25xa0对任意实数x恒成立设f(x)x25xa，则其图象恒在x轴的上方故254a，即实数a的取值范围为.(2)已知c0，且c1，设命题p：函数ycx为减函数命题q：当x时，函数f(x)x恒成立如果“pq”为真命题，“pq”为假命题，则c的取值范围为_答案(1，)解析由命题p为真知，0c恒成立，需，若“pq”为真命题，“pq”为假命题，则p，q中必有一真一假，当p真q假时，c的取值范围是01.综上可知，c的取值范围是(1，)常

11、用逻辑用语有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等偏下解决这类问题应熟练把握各类知识的内在联系一、命题的真假判断例1 (1)下列命题的否定为假命题的是_(填序号)xR，x2x1x；x，yZ，2x5y12；xR，sin2xsin x10.答案解析命题的否定为假命题亦即原命题为真命题，只有为真命题(2)(2018哈尔滨联考)已知命题p：xR，3x5x；命题q：xR，x31x2，则下列命题中为真命题的是()Apq B(p)qCp(q) D(p)(q)答案B解析若x0，则30501，p是

12、假命题，方程x31x2有解，q是真命题，(p)q是真命题二、充要条件的判断例2 (1)设m，n为非零向量，则“存在负数，使得mn”是“mn0”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析存在负数，使得mn，非零向量m与n方向相反，mn0.mn0，即|m|n|cosm，n0，cosm，n0)设p：0r3，q：圆C上至多有2个点到直线xy30的距离为1，则p是q的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案C解析圆C：(x1)2y2r2的圆心(1,0)到直线xy30的距离d2.当r(0,1)时，直线与圆相离，圆C上没有到直线的

13、距离为1的点；当r1时，直线与圆相离，圆C上只有1个点到直线的距离为1；当r(1,2)时，直线与圆相离，圆C上有2个点到直线的距离为1；当r2时，直线与圆相切，圆C上有2个点到直线的距离为1；当r(2,3)时，直线与圆相交，圆C上有2个点到直线的距离为1.综上，当r(0,3)时，圆C上至多有2个点到直线的距离为1，又由圆C上至多有2个点到直线的距离为1，可得0r3，故p是q的充要条件，故选C.三、求参数的取值范围例3 (1)(2018周口模拟)若命题“xR，x2(a1)x10”是真命题，则实数a的取值范围是()A1,3B(1,3)C(，13，)D(，1)(3，)答案D解析因为命题“xR，x2(

14、a1)x10，即a22a30，解得a3.(2)已知命题p：xR，(m1)(x21)0，命题q：xR，x2mx10恒成立若pq为假命题，则实数m的取值范围为_答案(，2(1，)解析由命题p：xR，(m1)(x21)0，可得m1，由命题q：xR，x2mx10恒成立，可得2m2，因为pq为假命题，所以p，q中至少有一个为假命题，当p真q假时，m2；当p假q真时，1m1.1已知命题p：“x3”是“x29”的充要条件，命题q：“a2b2”是“ab”的充要条件，则()Apq为真 Bpq为真Cp真q假 Dpq为假答案D解析由x3能够得出x29，反之不成立，故命题p是假命题；由a2b2可得|a|b|，但a不一

15、定大于b，反之也不一定成立，故命题q是假命题因此选D.2以下四个命题中既是存在性命题又是真命题的是()A锐角三角形有一个内角是钝角B至少有一个实数x，使x20C两个无理数的和必是无理数D存在一个负数x，2答案B解析A中锐角三角形的内角都是锐角，所以A是假命题；B中当x0时，x20，满足x20，所以B既是存在性命题又是真命题；C中因为()0不是无理数，所以C是假命题；D中对于任意一个负数x，都有2，所以D是假命题3已知命题p：xR，x210恒成立，则0m4，那么()A“p”是假命题 Bq是真命题C“pq”为假命题 D“pq”为真命题答案C解析因为x212x，即x22x10，也即(x1)20恒成立

16、，则m0或则0mx2BxR，nN，使得nx2CxR，nN，使得nx2DxR，nN，使得nx2答案D解析改写为，改写为，nx2的否定是nx2，则该命题的否定形式为“xR，nN，使得nx2”故选D.5若x，使得2x2x10成立是假命题，则实数的取值范围是()A(，2 B(2，3C. D3答案A解析因为x，使得2x2x10成立是假命题，所以x，2x2x10恒成立是真命题，即x，2x恒成立是真命题，令f(x)2x，则f(x)2，当x时，f(x)0，所以f(x)f2，则2.6命题p：xR，ax2ax10，若p是真命题，则实数a的取值范围是()A(0,4 B0,4C(，04，) D(，0)(4，)答案D解

17、析因为命题p：xR，ax2ax10，所以p：xR，ax2a x10，则a0或解得a4.7下列命题中，真命题是()AxR，ex0BxR，2xx2Cab0的充要条件是1D“a1，b1”是“ab1”的充分条件答案D解析因为yex0，xR恒成立，所以A不正确；因为当x5时，251，b1时，显然ab1，D正确8(2018鄂尔多斯模拟)已知命题p：xR，cos x；命题q：xR，x2x10.则下列结论正确的是()A命题pq是真命题B命题p(q)是真命题C命题(p)q是真命题D命题(p)(q)是假命题答案C解析因为对任意xR，都有cos x1成立，而1，所以命题p：xR，cos x是假命题；因为对任意的xR

18、，x2x120，所以命题q：xR，x2x10是真命题由此对照各个选项，可知命题(p)q是真命题9命题p的否定是“对所有正数x，x1”，则命题p可写为_答案x(0，)，x1解析因为p是p的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定即可10若命题“对xR，kx2kx10”是真命题，则k的取值范围是_答案(4,0解析“对xR，kx2kx10”是真命题，当k0时，则有10；当k0时，则有k0且(k)24k(1)k24k0，解得4k0，由题意知，其为真命题，即(a1)2420，则2a12，即1a2x，p2：R，sin cos ，则在命题q1：p1p2；q2：p1p2；q3：(p1)p2和q4：p

19、1(p2)中，真命题是_答案q1，q4解析因为yx在R上是增函数，即yx1在(0，)上恒成立，所以命题p1是真命题；sin cos sin，所以命题p2是假命题，p2是真命题，所以命题q1：p1p2，q4：p1(p2)是真命题13(2018鞍山模拟)已知命题p：xR，使tan x1；命题q：x23x20的解集是x|1x1时，f(x)0，函数f(x)在(1，)上是单调递增函数；当0x1或x0时，f(x)0，函数f(x)在(0,1)和(，0)上是单调递减函数，所以当x1时，函数取得极小值f(1)e，所以函数f(x)的值域是(，0)e，)，由p是假命题，可得0mm(x21)，q：函数f(x)4x2x1m1存在零点若“pq”为真命题，“pq”为假命题，则实数m的取值范围是_答案解析x，2xm(x21)，即m在上恒成立，当x时，max，min，由p真得m0，所以由q真得m1.又“pq”为真，“pq”为假，p，q一真一假，则或解得m1.故所求实数m的取值范围是.