2020版高考数学大一轮复习 第六章 数 列 高考专题突破3第1课时 等差、等比数列与数列求和
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1、高考专题突破三高考中的数列问题第1课时等差、等比数列与数列求和题型一等差数列、等比数列的交汇例1 记Sn为等比数列an的前n项和已知S22,S36.(1)求an的通项公式;(2)求Sn,并判断Sn1,Sn,Sn2是否成等差数列解(1)设an的公比为q.由题设可得解得q2,a12.故an的通项公式为an(2)n.(2)由(1)可得Sn(1)n.由于Sn2Sn1(1)n22Sn,故Sn1,Sn,Sn2成等差数列思维升华 等差与等比数列的基本量之间的关系,利用方程思想和通项公式、前n项和公式求解求解时,应“瞄准目标”,灵活应用数列的有关性质,简化运算过程跟踪训练1 (2019鞍山模拟)已知公差不为0
2、的等差数列an的前n项和为Sn,S11,S3,S4成等差数列,且a1,a2,a5成等比数列(1)求数列an的通项公式;(2)若S4,S6,Sn成等比数列,求n及此等比数列的公比解(1)设数列an的公差为d,由题意可知整理得即an2n1.(2)由(1)知an2n1,Snn2,S416,S636,又S4SnS,n281,n9,公比q.题型二新数列问题例2 对于数列xn,若对任意nN,都 有xn2xn1xn1xn成立,则称数列xn为“增差数列”设an,若数列a4,a5,a6,an(n4,nN)是“增差数列”,则实数t的取值范围是_答案解析数列a4,a5,a6,an(n4,nN)是“增差数列”,故得到
3、an2an2an1(n4,nN),即2(n4,nN),化简得到(2n24n1)t2(n4,nN),即t对于n4恒成立,当n4时,2n24n1有最小值15,故实数t的取值范围是.思维升华 根据新数列的定义建立条件和结论间的联系是解决此类问题的突破口,灵活对新数列的特征进行转化是解题的关键跟踪训练2 (1)定义“等积数列”,在一个数列中,如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数,那么这个数列叫做等积数列,这个常数叫做该数列的公积已知数列an是等积数列且a12,前21项的和为62,则这个数列的公积为_答案0或8解析当公积为0时,数列a12,a20,a360,a4a5a210满足题意;当公积不为0时,
4、应该有a1a3a5a212,且a2a4a6a20,由题意可得,a2a4a6a206221140,则a2a4a6a204,此时数列的公积为248.综上可得,这个数列的公积为0或8.(2)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,8,13,.该数列的特点是:前两个数都是1,从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和,人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”若an是“斐波那契数列”,则(a1a3a)(a2a4a)(a3a5a)(a2 017a2 019a)的值为_答案1解析因为a1a3a12121,a2a4a13221,a3a5a25321,a4a
5、6a38521,a2 017a2 019a1,共有2 017项,所以(a1a3a)(a2a4a)(a3a5a)(a2 017a2 019a)1.题型三数列的求和命题点1分组求和与并项求和例3 (2018呼和浩特模拟)已知数列an是各项均为正数的等比数列,且a1a22,a3a432.(1)求数列an的通项公式;(2)设bnalog2an,求数列bn的前n项和Tn.解(1)设等比数列an的公比为q(q0),则ana1qn1,且an0,由已知得化简得即又a10,q0,a11,q2,数列an的通项公式为an2n1.(2)由(1)知bnalog2an 4n1n1,Tn(14424n1)(0123n1).
6、命题点2错位相减法求和例4 (2018大连模拟)已知数列an满足an0,a1,anan12anan1,nN+.(1)求证:是等差数列,并求出数列an的通项公式;(2)若数列bn满足bn,求数列bn的前n项和Tn.解(1)由已知可得,2,是首项为3,公差为2的等差数列,32(n1)2n1,an.(2)由(1)知bn(2n1)2n,Tn32522723(2n1)2n1(2n1)2n,2Tn322523724(2n1)2n(2n1)2n1,两式相减得,Tn622222322n(2n1)2n1.6(2n1)2n12(2n1)2n1,Tn2(2n1)2n1.命题点3裂项相消法求和例5 在数列an中,a1
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