2020版高考数学大一轮复习 第七章 不等式、推理与证明 7.4 基本不等式及其应用

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1、7.4基本不等式及其应用最新考纲考情考向分析1.了解基本不等式的证明过程2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.主要考查利用基本不等式求最值常与函数、解析几何、不等式相结合考查，作为求最值的方法，常在函数、解析几何、不等式的解答题中考查，难度为中档.1基本不等式：(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号2几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)(2)2(a，b同号)(3)ab2 (a，bR)(4)2 (a，bR)以上不等式等号成立的条件均为ab.3算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均值为，几何平均值为，均值不等式可叙述为

2、两个正实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值4利用均值不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值2.(简记：积定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最大值.(简记：和定积最大)概念方法微思考1若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？提示不一定若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值2函数yx的最小值是2吗？提示不是因为函数yx的定义域是x|x0，当x0时，y0且y0”是“2”的充要条件()(3)(ab)24ab(a，bR)()(4)若a0，则a3的最小

3、值为2.()(5)不等式a2b22ab与有相同的成立条件()(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项()题组二教材改编2设x0，y0，且xy18，则xy的最大值为()A80 B77 C81 D82答案C解析x0，y0，即xy281，当且仅当xy9时，(xy)max81.3若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_ m2.答案25解析设矩形的一边为x m，面积为y m2，则另一边为(202x)(10x)m，其中0x0”是“x2成立”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案C解析当x0时，x22.因为x，同号，所以若x2，则x0，0

4、，所以“x0”是“x2成立”的充要条件，故选C.5若函数f(x)x(x2)在xa处取最小值，则a等于()A1 B1 C3 D4答案C解析当x2时，x20，f(x)(x2)2224，当且仅当x2(x2)，即x3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x3，即a3，故选C.6若正数x，y满足3xy5xy，则4x3y的最小值是()A2 B3 C4 D5答案D解析由3xy5xy，得5，所以4x3y(4x3y)(492)5，当且仅当，即y2x时，“”成立，故4x3y的最小值为5.故选D.题型一利用均值不等式求最值命题点1配凑法例1 (1)已知0x1)的最小值为_答案22解析x1，x10，y(x1)222.当

5、且仅当x1，即x1时，等号成立命题点2常数代换法例2 (2019大连模拟)已知首项与公比相等的等比数列an中，满足amaa(m，nN+)，则的最小值为()A1 B. C2 D.答案A解析由题意可得，a1q，amaa，a1qm1(a1qn1)2(a1q3)2，即qmq2nq8，即m2n8.(m2n)1.当且仅当m2n时，即m4，n2时，等号成立命题点3消元法例3 已知正实数a，b满足a2b40，则u()A有最大值 B有最小值C有最小值3 D有最大值3答案B解析a2b40，ba24，aba2a4.又a，b0，u3333，当且仅当a2，b8时取等号故选B.思维升华 (1)前提：“一正”“二定”“三相

6、等”(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用均值不等式(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是配凑法跟踪训练1 (1)(2019丹东质检)设x0，y0，若xlg 2，lg，ylg 2成等差数列，则的最小值为()A8 B9 C12 D16答案D解析xlg 2，lg，ylg 2成等差数列，2lg(xy)lg 2，xy1.(xy)10210616，当且仅当x，y时取等号，故的最小值为16.故选D.(2)若a，b，c都是正数，且abc2，则的最小值是()A2 B3 C4 D6答案B解析a，b，c都是正数，且abc2，

7、abc13，且a10，bc0.(a1bc)(54)3.当且仅当a12(bc)，即a1，bc1时，等号成立故选B.题型二均值不等式的综合应用命题点1均值不等式与其他知识交汇的最值问题例4已知圆O的方程为x2y21，过第一象限内圆O外的点P(a，b)作圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，若8，则ab的最大值为()A3 B3C4 D6答案B解析根据题意，结合向量数量积的定义式，可求得|28，所以可求得|PO|29，即a2b29，结合均值不等式，可得ab3，当且仅当ab时取等号，故选B.命题点2求参数值或取值范围例5 (2018包头模拟)已知不等式(xy)9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a

8、的最小值为()A2 B4C6 D8答案B解析已知不等式(xy)9对任意正实数x，y恒成立，只要求(xy)的最小值大于或等于9，1aa21，当且仅当yx时，等号成立，a219，2或4(舍去)，a4，即正实数a的最小值为4，故选B.思维升华 求参数的值或范围：观察题目特点，利用均值不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围跟踪训练2 (1)在ABC中，A，ABC的面积为2，则的最小值为()A. B.C. D.答案C解析由ABC的面积为2，所以Sbcsin Abcsin 2，得bc8，在ABC中，由正弦定理得22，当且仅当b2，c4时，等号成立，故选C.(2)已知函数f(x)ax2bx(a0，b0

9、)的图象在点(1，f(1)处的切线的斜率为2，则的最小值是()A10 B9C8 D3答案B解析 由函数f(x)ax2bx，得f(x)2axb，由函数f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线斜率为2，所以f(1)2ab2，所以(2ab)(108)9，当且仅当，即a，b时等号成立，所以的最小值为9，故选B.利用均值不等式求解实际问题数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学的语言表达问题，用数学的方法构建模型解决问题过程主要包括：在实际情景中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型、确定参数、计算求解、检验结果、改进模型，最终解决实际问题例 某厂家拟在2019年举行促销活动，经调查测算，该

10、产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m0)满足x3(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件已知2019年生产该产品的固定投入为8万元每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)(1)将2019年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解(1)由题意知，当m0时，x1，13kk2，x3，每万件产品的销售价格为1.5(万元)，2019年的利润y1.5x816xm48xm48m29(m0)(2)

11、m0时，(m1)28，y82921，当且仅当m1m3(万元)时，ymax21(万元)故该厂家2019年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元素养提升利用均值不等式求解实际问题时根据实际问题抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用均值不等式求得函数的最值1函数f(x)的最小值为()A3 B4C6 D8答案B解析f(x)|x|24，当且仅当x2时，等号成立，故选B.2若x0，y0，则“x2y2”的一个充分不必要条件是()Axy Bx2yCx2且y1 Dxy或y1答案C解析x0，y0，x2y2，当且仅当x2y 时取等号故“x2且y1 ”是“x2y2”的充分不必要条件故选C.3(2018

12、沈阳模拟)已知正数a，b满足ab1，则的最小值为()A. B3C5 D9答案D解析由题意知，正数a，b满足ab1，则(ab)41529，当且仅当，即a，b时等号成立，所以的最小值为9，故选D.4若a0，b0，lg alg blg(ab)，则ab的最小值为()A8 B6C4 D2答案C解析由lg alg blg(ab)，得lg(ab)lg(ab)，即abab，则有1，所以ab(ab)2224，当且仅当ab2时等号成立，所以ab的最小值为4，故选C.5已知函数f(x)ex在点(0，f(0)处的切线为l，动点(a，b)在直线l上，则2a2b的最小值是()A4 B2C2 D.答案D解析由题意得f(x)

13、ex，f(0)e01，kf(0)e01.所以切线方程为y1x0，即xy10，ab10，ab1，2a2b222，故选D.6.几何原本卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OFAB，设ACa，BCb，则该图形可以完成的无字证明为()A.(a0，b0)Ba2b22(a0，b0)C.(a0，b0)D.(a0，b0)答案D解析由ACa，BCb，可得圆O的半径r，又OCOBBCb，则FC2OC2OF2，再根据题图知FOFC，即 ，当且仅

14、当ab时取等号故选D.7设x，y均为正数，且xyxy100，则xy的最小值是_答案6解析由xyxy100，得x1，xy1y26，当且仅当1y，即y2时，等号成立8设正项等比数列an的前n项和为Sn，若S7S53(a4a5)，则4a3的最小值为_答案4解析设正项等比数列an的公比为q(q0)，S7S5a7a63(a4a5)，q23.4a34a34a324，当且仅当4a3，即a3时等号成立4a3的最小值为4.9已知ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2b2c2bc，且ABC的面积为，则a的最小值为_答案解析由题意得b2c2a2bc，2bccos Abc，cos A，A.ABC的面积为，

15、bcsin A，bc3.a2b2c2bc，a22bcbcbc3(当且仅当bc时，等号成立)，a.10已知a，b为正实数，且(ab)24(ab)3，则的最小值为_答案2解析由题意得(ab)2(ab)24ab，代入已知得(ab)24(ab)34ab，两边同除以(ab)2得24428，当且仅当ab1时取等号所以2，即的最小值为2.11已知x0，y0，且2x5y20.(1)求ulg xlg y的最大值；(2)求的最小值解(1)x0，y0，由均值不等式，得2x5y2.2x5y20，220，xy10，当且仅当2x5y时，等号成立因此有解得此时xy有最大值10.ulg xlg ylg(xy)lg 101.当

16、x5，y2时，ulg xlg y有最大值1.(2)x0，y0，当且仅当时，等号成立由解得的最小值为.12.某人准备在一块占地面积为1 800平方米的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如图所示)，大棚占地面积为S平方米，其中ab12.(1)试用x，y表示S；(2)若要使S的值最大，则x，y的值各为多少？解(1)由题意可得xy1 800，b2a，则yab33a3，所以S(x2)a(x3)b(3x8)a(3x8)1 8083xy(x3，y3)(2)方法一S1 8083x1 8081 80821 8082401 568，当且仅当3x，即x40时等号成立，S取得最大值，此时y4

17、5，所以当x40，y45时，S取得最大值方法二设Sf(x)1 808(x3)，则f(x)3，令f(x)0，则x40，当0x0；当x40时，f(x)0.所以当x40时，S取得最大值，此时y45.13在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，b4，则ABC面积的最大值为()A4 B2C3 D.答案A解析，(2ac)cos Bbcos C，由正弦定理得(2sin Asin C)cos Bsin Bcos C，2sin Acos Bsin Ccos Bsin Bcos Csin(BC)sin A.又sin A0，cos B.0B，B.由余弦定理得b216a2c22accos a2c2ac2a

18、cacac，ac16，当且仅当ac时等号成立SABCacsin 164.故ABC面积的最大值为4.故选A.14如图，在ABC中，点D，E是线段BC上两个动点，且 xy，则的最小值为()A B2 C D答案D解析设mn，B，D，E，C共线，mn1，1，xy，则xymn2，当且仅当x，y时，等号成立故的最小值为，故选D.15已知正三棱柱ABCA1B1C1，侧面BCC1B1的面积为4，则该正三棱柱外接球表面积的最小值为()A24 B16C8 D4答案B解析设BCa，CC1b，则ab4，底面三角形外接圆的半径为r，则2r，ra.所以R222224，当且仅当ab时，等号成立所以该正三棱柱外接球表面积的最小值为4416.16设Sn为数列an的前n项和，已知a12，对任意p，qN*，都有apqapaq，则f(n) 的最小值为_答案30解析当q1时，ap1apa12ap，数列an是首项为2，公比为2的等比数列，an2n，Sn2n12，Sn12n2，Sn1(Sn12)(2n2)2n，f(n)2n22230，当且仅当2n16，即n4时，等号成立，f(n)min30.