2020版高考数学大一轮复习 第七章 不等式、推理与证明 7.6 直接证明与间接证明

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1、7.6直接证明与间接证明最新考纲考情考向分析1.了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点2.了解反证法的思考过程和特点.常以立体几何中的证明及相关选修内容中平面几何，不等式的证明为载体加以考查，注意提高分析问题、解决问题的能力；在高考中主要以解答题的形式考查，难度为中档.1直接证明内容综合法分析法定义从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论的方法，是一种从原因推导到结果的思维方法从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实的方法，是一种从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法特点从“已知”看“可知”，逐步推

2、向“未知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的必要条件从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件步骤的符号表示P0(已知)P1P2P3P4(结论)B(结论)B1B2BnA(已知)2.间接证明(1)反证法的定义：一般地，由证明pq转向证明綈qrtt与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定綈q为假，推出q为真的方法，叫做反证法(2)应用反证法证明数学命题的一般步骤：分清命题的条件和结论；做出与命题结论相矛盾的假定；由假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真概念方法微思考1直接

3、证明中的综合法是演绎推理吗？提示是用综合法证明时常省略大前提2综合法与分析法的推理过程有何区别？提示综合法是执因索果，分析法是执果索因，推理方式是互逆的3反证法是“要证原命题成立，只需证其逆否命题成立”的推理方法吗？提示不是反证法是命题中“p与綈p”关系的应用题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明()(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件()(3)用反证法证明结论“ab”时，应假设“ab”()(4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾()(5)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展

4、现解决问题的过程()(6)证明不等式Q BPQCPQ2，又P0，Q0，PQ.3设实数a，b，c成等比数列，非零实数x，y分别为a与b，b与c的等差中项，则等于()A1 B2 C4 D6答案B解析由题意，得x，y，b2ac，xy，2.题组三易错自纠4若a，b，c为实数，且ab0，则下列命题正确的是()Aac2abb2C.答案B解析a2aba(ab)，ab0，ab0，a2ab.又abb2b(ab)0，abb2，由得a2abb2.5用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3axb0至少有一个实根”时，要作的假设是()A方程x3axb0没有实根B方程x3axb0至多有一个实根C方程x3axb0至多

5、有两个实根D方程x3axb0恰好有两个实根答案A解析方程x3axb0至少有一个实根的反面是方程x3axb0没有实根，故选A.6在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则ABC的形状为_答案等边三角形解析由题意得2BAC，ABC，B，又b2ac，由余弦定理得b2a2c22accos Ba2c2ac，a2c22ac0，即(ac)20，ac，AC，ABC，ABC为等边三角形.题型一综合法的应用例1 已知a，b，c0，abc1.求证：(1)；(2).证明(1)()2(abc)222(abc)(ab)(bc)(ca)3，(当且仅当abc时取等号

6、)(2)a0，3a11，(3a1)24，33a，同理得33b，33c，以上三式相加得493(abc)6，(当且仅当abc时取等号)思维升华 (1)从已知出发，逐步推理直到得出所证结论的方法为综合法；(2)计算题的计算过程也是根据已知的式子进行逐步推导的过程，也是使用的综合法跟踪训练1 设Tn是数列an的前n项之积，并满足：Tn1an.(1)证明：数列是等差数列；(2)令bn，证明：bn的前n项和Sn.证明(1)an1 1，1，又T11a1a1，a1，2，数列是以2为首项，公差为1的等差数列(2)(n1)1，n1an(nN)，bn ，Snb1b2bn0，证明：a2.证明要证 a2，只需证 (2)

7、因为a0，所以(2)0，所以只需证22，即2(2)84，只需证a2.因为a0，a2显然成立，所以要证的不等式成立题型三反证法的应用例3 设a0，b0，且ab.证明：(1)ab2；(2)a2a2与b2b0，b0，得ab1.(1)由均值不等式及ab1，有ab22，即ab2，当且仅当ab1时，等号成立(2)假设a2a2与b2b2同时成立，则由a2a0，得0a1；同理，0b1，从而ab1，这与ab1矛盾故a2a2与b2b2不可能同时成立思维升华 反证法的一般步骤：(1)分清命题的条件与结论；(2)作出与命题的结论相矛盾的假设；(3)由假设出发，应用演绎推理的方法，推出矛盾的结果；(4)断定产生矛盾结果

8、的原因在于开始所作的假设不成立，原结论成立，从而间接地证明原命题为真跟踪训练3 等差数列an的前n项和为Sn，a11，S393.(1)求数列an的通项公式an与前n项和Sn；(2)设bn(nN)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列(1)解设等差数列an的公差为d.由已知得所以d2，故an2n1，Snn(n)(nN)(2)证明由(1)得bnn，假设数列bn中存在三项bp，bq，br(p，q，rN，且互不相等)成等比数列，则bbpbr.即(q)2(p)(r)，所以(q2pr)(2qpr)0，因为p，q，rN，所以所以2pr，(pr)20，所以pr，与pr矛盾，所以数列bn中任意不同

9、的三项都不可能成等比数列1在ABC中，sin Asin Ccos Acos C，则ABC一定是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不确定答案C解析由sin Asin C0，即cos(AC)0，所以AC是锐角，从而B，故ABC必是钝角三角形2分析法又称执果索因法，已知x0，用分析法证明1 Bx24Cx20 Dx21答案C解析因为x0，所以要证1，只需证()22，即证00，因为x0，所以x20成立，故原不等式成立3设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)单调递减，若x1x20，则f(x1)f(x2)的值()A恒为负值 B恒等于零C恒为正值 D无法确定正负答案A解析由f(x)是

10、定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1x20，可知x1x2，f(x1)f(x2)f(x2)，则f(x1)f(x2)0.4(2018阜新调研)设x，y，z为正实数，ax，by，cz，则a，b，c三个数()A至少有一个不大于2 B都小于2C至少有一个不小于2 D都大于2答案C解析假设a，b，c都小于2，则abc6，而abcxyz2226，与abc1；ab2；ab2；a2b22；ab1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是()A B C D答案C解析若a，b，则ab1，但a1，b2，故推不出；若a2，b3，则ab1，故推不出；对于，即a

11、b2，则a，b中至少有一个大于1，下面用反证法证明：假设a1且b1，则ab2与ab2矛盾，因此假设不成立，a，b中至少有一个大于1.6用反证法证明“若x210，则x1或x1”时，应假设_答案x1且x1解析“x1或x1”的否定是“x1且x1”7如果abab成立，则a，b应满足的条件是_答案a0，b0且ab解析ab(ab)(ab)(ba)()(ab)()2()当a0，b0且ab时，()2()0.abab成立的条件是a0，b0且ab.8已知点An(n，an)为函数y图象上的点，Bn(n，bn)为函数yx图象上的点，其中nN，设cnanbn，则cn与cn1的大小关系为_答案cn1cn解析由条件得cna

12、nbnn，则cn随n的增大而减小，cn10，b0，如果不等式恒成立，则m的最大值为_答案9解析因为a0，b0，所以2ab0.所以不等式可化为m(2ab)52.因为52549，当且仅当ab时，等号成立，即其最小值为9，所以m9，即m的最大值等于9.10在不等边三角形ABC中，a为最大边，要想得到A为钝角的结论，三边a，b，c应满足_答案a2b2c2解析由余弦定理cos A0，得b2c2a2b2c2.11若a，b，c是不全相等的正数，求证：lglglglg alg blg c.证明a，b，c(0，)， 0， 0， 0.由于a，b，c是不全相等的正数，上述三个不等式中等号不能同时成立，abc0成立上

13、式两边同时取常用对数，得lglg abc，lglglglg alg blg c.12若f(x)的定义域为a，b，值域为a，b(a2)，使函数h(x)是区间a，b上的“四维光军”函数？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由解(1)由题设得g(x)(x1)21，其图象的对称轴为x1，区间1，b在对称轴的右边，所以函数在区间1，b上单调递增由“四维光军”函数的定义可知，g(1)1，g(b)b，即b2bb，解得b1或b3.因为b1，所以b3.(2)假设存在常数a，b (a2)，使函数h(x)是区间a，b 上的“四维光军”函数，因为h(x)在区间(2，)上单调递减，所以有即解得ab，这与已知矛盾故

14、不存在13已知函数f(x)x，a，b是正实数，Af，Bf()，Cf，则A，B，C的大小关系为()AABC BACBCBCA DCBA答案A解析，又f(x)x在R上是减函数ff()f，即ABC.14若二次函数f(x)4x22(p2)x2p2p1，在区间1,1内至少存在一点c，使f(c)0，则实数p的取值范围是_答案解析方法一(补集法)若二次函数f(x)0在区间1,1内恒成立，则解得p3或p，故满足题干条件的p的取值范围为.方法二(直接法)依题意有f(1)0或f(1)0，即2p2p10或2p23p90，得p1或3p.故满足条件的p的取值范围是.15已知关于x的不等式mcos x2x2在上恒成立，则

15、实数m的取值范围为()A3，) B(3，)C2，) D(2，)答案C解析由题意得，m恒成立，即m的最大值，因为当x时，.令yf(x)2xcos x(2x2)sin x，x，则f(x)2cos x2xsin x(2x2)cos x2xsin xx2cos x0在上成立所以f(x)f(0)0，因此k)总成立，则称数列an是“P(k)数列”(1)证明：等差数列an是“P(3)数列”；(2)若数列an既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：an是等差数列证明(1)因为an是等差数列，设其公差为d，则ana1(n1)d，从而，当n4时，ankanka1(nk1)da1(nk1)d2a12(n1)d2an，k1，2，3，所以an3an2an1an1an2an36an，因此等差数列an是“P(3)数列”(2)数列an既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，因此，当n3时，an2an1an1an24an，当n4时，an3an2an1an1an2an36an.由知，an3an24an1(anan1)，an2an34an1(an1an)将代入，得an1an12an，其中n4，所以a3，a4，a5，是等差数列，设其公差为d.在中，取n4，则a2a3a5a64a4，所以a2a3d，在中，取n3，则a1a2a4a54a3，所以a1a32d，所以数列an是等差数列