2020版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系

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1、9.4直线与圆、圆与圆的位置关系最新考纲考情考向分析1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的判断；根据位置关系求参数的范围、最值、几何量的大小等.题型主要以选择、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，有时也会在解答题中出现.1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系.dr相离.(2)代数法：2.圆与圆的位置关系设圆O1：(xa1)2(yb1)2r(r10)，

2、圆O2：(xa2)2(yb2)2r(r20). 方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况外离dr1r2无解外切dr1r2一组实数解相交|r1r2|dr1r2两组不同的实数解内切d|r1r2|(r1r2)一组实数解内含0d|r1r2|(r1r2)无解概念方法微思考1.在求过一定点的圆的切线方程时，应注意什么？提示应首先判断这点与圆的位置关系，若点在圆上则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条；若点在圆内，切线为零条.2.用两圆的方程组成的方程组有一解或无解时能否准确判定两圆的位置关系？提示不能，当两圆方程组成的方程组有一解时，两圆有外切和

3、内切两种可能情况，当方程组无解时，两圆有相离和内含两种可能情况.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.()(2)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.()(3)过圆O：x2y2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0xy0yr2.()(4)过圆O：x2y2r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0xy0yr2.()(5)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切.()题组二教材改编2.若直线xy10与圆

4、(xa)2y22有公共点，则实数a的取值范围是()A.3，1 B.1,3C.3,1 D.(，31，)答案C解析由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为，即|a1|2，解得3a1.3.圆(x2)2y24与圆(x2)2(y1)29的位置关系为()A.内切 B.相交C.外切 D.相离答案B解析两圆圆心分别为(2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d.32d2，点A(3,5)在圆外.显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x30，当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y5k(x3)，即kxy53k0.又圆心为(1,2)，半径r2，而圆心到切线的距离d2，即|32k|2，k，故所求切线

5、方程为5x12y450或x30.题型一直线与圆的位置关系命题点1位置关系的判断例1 已知点M(a，b)在圆O：x2y21外，则直线axby1与圆O的位置关系是()A.相切 B.相交C.相离 D.不确定答案B解析因为M(a，b)在圆O：x2y21外，所以a2b21，而圆心O到直线axby1的距离d1.所以直线与圆相交.命题点2弦长问题例2 已知直线：12x5y3与圆x2y26x8y160相交于A，B两点，则|AB|_.答案4解析把圆的方程化成标准方程为(x3)2(y4)29，所以圆心坐标为(3,4)，半径r3，所以圆心到直线12x5y3的距离d1，则|AB|24.命题点3切线问题例3 已知圆C：

6、(x1)2(y2)210，求满足下列条件的圆的切线方程.(1)与直线l1：xy40平行；(2)与直线l2：x2y40垂直；(3)过切点A(4，1).解(1)设切线方程为xyb0，则，b12，切线方程为xy120.(2)设切线方程为2xym0，则，m5，切线方程为2xy50.(3)kAC，过切点A(4，1)的切线斜率为3，过切点A(4，1)的切线方程为y13(x4)，即3xy110.思维升华 (1)判断直线与圆的位置关系的常见方法几何法：利用d与r的关系.代数法：联立方程之后利用判断.点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系

7、法适用于动直线问题.(2)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形.(3)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题.跟踪训练1 (1)圆x2y22x4y0与直线2txy22t0(tR)的位置关系为_.答案相交解析直线2txy22t0恒过点(1，2)，12(2)2214(2)50，点(1，2)在圆x2y22x4y0内，直线2txy22t0与圆x2y22x4y0相交.(2)过点(3,1)作圆(x2)2(y2)24的弦，其中最短弦的长为_.答案2解析设P(3,1)，圆心C(2,2)，则|PC|，半径r2，由题意知最短的弦过P(3,1)

8、且与PC垂直，所以最短弦长为22.(3)过点P(2,4)引圆(x1)2(y1)21的切线，则切线方程为_.答案x2或4x3y40解析当直线的斜率不存在时，直线方程为x2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y4k(x2)，即kxy42k0，直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，即d1，解得k，所求切线方程为xy420，即4x3y40.综上，切线方程为x2或4x3y40.题型二圆与圆的位置关系命题点1位置关系的判断例4 分别求当实数k为何值时，两圆C1：x2y24x6y120，C2：x2y22x14yk0相交和相切.解将两圆的一般方程化为标准

9、方程，得C1：(x2)2(y3)21，C2：(x1)2(y7)250k，则圆C1的圆心为C1(2,3)，半径r11；圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2，k50.从而|C1C2|5.当|1|51，即46，即14k34时，两圆相交.当15，即k34时，两圆外切；当|1|5，即k14时，两圆内切.所以当k14或k34时，两圆相切.命题点2公共弦问题例5 已知圆C1：x2y22x6y10和C2：x2y210x12y450.(1)求证：圆C1和圆C2相交；(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.(1)证明由题意得，圆C1和圆C2一般方程化为标准方程，得(x1)2(y3)211，(x5

10、)2(y6)216，则圆C1的圆心C1(1,3)，半径r1，圆C2的圆心C2(5,6)，半径r24，两圆圆心距d|C1C2|5，r1r24，|r1r2|4，|r1r2|d0)截直线xy0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x1)2(y1)21的位置关系是()A.内切 B.相交 C.外切 D.相离答案B解析圆M：x2(ya)2a2(a0)，圆心坐标为M(0，a)，半径r1为a，圆心M到直线xy0的距离d，由几何知识得2()2a2，解得a2.M(0,2)，r12.又圆N的圆心坐标N(1,1)，半径r21，|MN|，r1r23，r1r21.r1r2|MN|r1r2，两圆相交，故选B.(2)圆x2y2

11、4x4y10与圆x2y22x130相交于P，Q两点，则直线PQ的方程为_.答案x2y60解析两个圆的方程两端相减，可得2x4y120.即x2y60.1.若两圆x2y2m和x2y26x8y110有公共点，则实数m的取值范围是()A.(，1) B.(121，)C.1,121 D.(1,121)答案C解析x2y26x8y110化成标准方程为(x3)2(y4)236.圆心距为d5，若两圆有公共点，则|6|56，所以1m121.故选C.2. (2018沈阳调研)直线x3y30与圆(x1)2(y3)210相交所得弦长为()A. B.C.4 D.3答案A解析圆(x1)2(y3)210的圆心坐标为(1,3)，

12、半径r，圆心(1,3)到直线x3y30的距离d，故弦|AB|2，故选A.3.已知直线l：xcos ysin 2(R)，圆C：x2y22xcos 2ysin 0(R)，则直线l与圆C的位置关系是()A.相交 B.相切C.相离 D.与，有关答案D解析圆C：x2y22xcos 2ysin 0(R)，即(xcos )2(ysin )21(R)，圆心C的坐标为(cos ，sin )，半径为r1.圆心C到直线l：xcos ysin 2(R)的距离d2cos().当cos()1时，dr，直线l和圆C相切；当1r，直线l和圆C相离，故选D.4. (2018包头模拟)过点P(1，2)作圆C：(x1)2y21的两

13、条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为()A.y B.yC.y D.y答案B解析圆(x1)2y21的圆心为(1,0)，半径为1，以|PC|2为直径的圆的方程为(x1)2(y1)21，将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y10，即y.5.若点A(1,0)和点B(4,0)到直线l的距离依次为1和2，则这样的直线有()A.1条 B.2条 C.3条 D.4条答案C解析如图，分别以A，B为圆心，1,2为半径作圆.由题意得，直线l是圆A的切线，A到l的距离为1，直线l也是圆B的切线，B到l的距离为2，所以直线l是两圆的公切线，共3条(2条外公切线，1条内公切线).6.(2018东北三省联考)

14、直线x2ym0(m0)与O：x2y25交于A，B两点，若|2|，则m的取值范围是()A.(，2) B.(2，5)C.(，5) D.(2，)答案B解析直线x2ym0与O：x2y25交于相异两点A，B，O点到直线x2ym0的距离d2|，2d2|，即d|2，解得d2.又d，2d，即20，解得m(2，5).7.(2016全国)已知直线l：xy60与圆x2y212交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|_.答案4解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得y23y60，解得x13，y1；x20，y22，A(3，)，B(0,2).过A，B作l的垂线方程分别为y(x3)，y2

15、x，令y0，则xC2，xD2，|CD|2(2)4.8.过点P(1，)作圆x2y21的两条切线，切点分别为A，B，则_.答案解析由题意，得圆心为O(0,0)，半径为1.如图所示，P(1，)，PBx轴，|PA|PB|.POA为直角三角形，其中|OA|1，|AP|，则|OP|2，OPA30，APB60.|cosAPBcos 60.9.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2y28x150，若直线ykx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是_.答案解析圆C的标准方程为(x4)2y21，圆心为(4,0).由题意知(4,0)到kxy20的距离应不大于2，即2，整理

16、得3k24k0，解得0k.故k的最大值是.10.(2018大连模拟)已知圆C：(x3)2(y4)225，圆C上的点到直线l：3x4ym0(m0)的最短距离为1，若点N(a，b)在直线l上位于第一象限的部分，则的最小值为_.答案解析圆C：(x3)2(y4)225，圆心坐标(3,4)，半径为5，因为圆C上的点到直线l：3x4ym0(m0，b0.则(3a4b)，当且仅当a55，b55时取等号.11.已知圆C：x2y22x4y10，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点为M.(1)若点P运动到(1,3)处，求此时切线l的方程；(2)求满足条件|PM|PO|的点P的轨迹方程.解把圆C的方

17、程化为标准方程为(x1)2(y2)24，圆心为C(1,2)，半径r2.(1)当l的斜率不存在时，此时l的方程为x1，C到l的距离d2r，满足条件.当l的斜率存在时，设斜率为k，得l的方程为y3k(x1)，即kxy3k0，则2，解得k.l的方程为y3(x1)，即3x4y150.综上，满足条件的切线l的方程为x1或3x4y150.(2)设P(x，y)，则|PM|2|PC|2|MC|2(x1)2(y2)24，|PO|2x2y2，|PM|PO|，(x1)2(y2)24x2y2，整理，得2x4y10，点P的轨迹方程为2x4y10.12.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2y212x

18、14y600及其上一点A(2,4).(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且|BC|OA|，求直线l的方程；(3)设点T(t,0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得，求实数t的取值范围.解(1)圆M的方程化为标准形式为(x6)2(y7)225，圆心M(6,7)，半径r5，由题意，设圆N的方程为(x6)2(yb)2b2(b0).且b5.解得b1，圆N的标准方程为(x6)2(y1)21.(2)kOA2，可设l的方程为y2xm，即2xym0.又|BC|OA|2.由题意，圆M的圆心M(6,7)到直线l的距离为d 2

19、.即2，解得m5或m15.直线l的方程为y2x5或y2x15.(3)由，则四边形AQPT为平行四边形，又P，Q为圆M上的两点，|PQ|2r10.|TA|PQ|10，即10，解得22t22.故所求t的取值范围为22，22.13.(2018呼伦贝尔质检)已知直线l：(m2)x(m1)y44m0上总存在点M，使得过M点作的圆C：x2y22x4y30的两条切线互相垂直，则实数m的取值范围是()A.m1或m2 B.2m8C.2m10 D.m2或m8答案C解析如图，设切点分别为A，B.连接AC，BC，MC，由AMBMACMBC90及|MA|MB|知，四边形MACB为正方形，故|MC|2，若直线l上总存在点

20、M使得过点M的两条切线互相垂直，只需圆心(1,2)到直线l的距离d2，即m28m200，2m10，故选C.14.若O：x2y25与O1：(xm)2y220(mR)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长是_.答案4解析O1与O在A处的切线互相垂直，如图，可知两切线分别过另一圆的圆心，O1AOA.又|OA|，|O1A|2，|OO1|5.又A，B关于OO1所在直线对称，AB长为RtOAO1斜边上的高的2倍，|AB|24.15.已知圆O：x2y29，点P为直线x2y90上一动点，过点P向圆O引两条切线PA，PB，A，B为切点，则直线AB过定点()A. B.C.(1,2) D.(

21、9,0)答案C解析因为P是直线x2y90上的任一点，所以设P(92m，m)，因为PA，PB为圆x2y29的两条切线，切点分别为A，B，所以OAPA，OBPB，则点A，B在以OP为直径的圆(记为圆C)上，即AB是圆O和圆C的公共弦，易知圆C的方程是22， 又x2y29， 得，(2m9)xmy90，即公共弦AB所在直线的方程是(2m9)xmy90，即m(2xy)(9x9)0，由得x1，y2.所以直线AB恒过定点(1,2)，故选C.16.已知抛物线C：y24x的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线C交于点A，B，以线段AB为直径的圆E上存在点P，Q，使得以PQ为直径的圆过点D，求实数t的取值范围.解由题意可得直线AB的方程为xy1，与y24x联立消去x，可得y24y40，显然16160，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24，y1y24，设E(xE，yE)，则yE2，xEyE13，又|AB|x1x22y11y2128，所以圆E是以(3,2)为圆心，4为半径的圆，所以点D恒在圆E外.圆E上存在点P，Q，使得以PQ为直径的圆过点D，即圆E上存在点P，Q，使得DPDQ，设过D点的两直线分别切圆E于P，Q点，要满足题意，则PDQ，所以，整理得t24t0，解得2t2，故实数t的取值范围为.